2010年四川省成都市

2010年成都市中考数学试题

A 卷（共100分）

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各数中，最大的数是（ ） A.2- B.0 C.1

2

D.3 2．3

x 表示（ ）

A.3x

B.x x x ++

C.x x x ??

D.3x +

3．上海世博会吸引了来自全球众多国家数以千万计的人前来参观．据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（ ）

A.5

2.5610? B.5

25.610? C.4

2.5610? D.4

25.610? 4．如图1是一个几何体的三种视图，则这个几何体的形状是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.长方体

5．把抛物线2

y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A.2

1y x =+ B.2

(1)y x =+ C.2

1y x =- D.2

(1)y x =-

6．如图2，已知//AB ED ，65ECF ∠=，则BAC ∠的度数为（ ） A.115 B.

65 C.

60 D.

25

7．为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：

则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）

A.3，3

B.2，3

C.2，2

D.3，5

8．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） A.相交 B.外切 C.外离 D.内含

图1 图2

9．若一次函数y kx b =+的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是（ ）

A.0,0k b >>

B.0,0k b ><

C.0,0k b <>

D.0,0k b <<

10．已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ）

A.6种

B.5种

C.4种

D.3种 二、填空题：（每小题3分，共15分）

11．在平面直角坐标系中，点(2,3)A -位于第___________象限． 12．若,x y

为实数，且20x +=，则2010()x y +的值为___________．

13．如图3，在ABC △中，AB 为⊙O 的直径，60,70B C ∠=∠=，则BOD ∠的度数是_____________度．

14．甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务．设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值是_____________．

15．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是___________． 三、（第1小题7分，第2小题8分，共15分） 16．解答下列各题：

（1

）计算：1

16tan30(3.6π)2-??

+- ???

．

（2）若关于x 的一元二次方程2

420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.

17．已知：如图4，AB 与⊙O 相切于点C ，OA OB =，⊙O 的直径为4,8AB =． （1）求OB 的长； （2）求sin A 的值．

18．如图5，已知反比例函数k

y x

=

与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．

图

4

图5

、、、、五个展馆参观，公司所购门票种19．某公司组织部分员工到一博览会的A B C D E

类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图6所示．

图6

请根据统计图回答下列问题：

（1）将条形统计图和扇形统计图在图中补充完整；

（2）若A馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小明抽得的数字比小华抽得的数字大，门票给小明，否则给小华．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平．

20．已知：在菱形ABCD 中，O 是对角线BD 上的一动点．

（1）如图7-甲，P 为线段BC 上一点，连接PO 并延长交AD 于点Q ，当O 是BD 的中点时，求证：OP OQ =；

（2）如图7-乙，连接AO 并延长，与DC 交于点R ，与BC 的延长线交于点S ．若460,10

AD DCB BS ===，∠，求AS 和OR 的长．

B 卷（共50分）

一、填空题：（每小题4分，共20分）

21．设1x ，2x 是一元二次方程2

320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．

22．如图8，在△ABC 中，90B ∠=，12mm AB =，

24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的

速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以

4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A

、

图

8

图7

B 同时出发，那么经过_____________秒，四边形APQ

C 的面积最小．

23．有背面完全相同，正面上分别标有两个连续自然数,1k k +（其中0,1,2,

,19k =）的

卡片20张．小李将其混合后，正面朝下放置在桌面上，并从中随机地抽取一张，则该卡片上两个数的各个数位的数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各各数位的数字之和为91010++=）不小于14的概率为_________________.

24．已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),

n n n P x y P x y P x y 是反比例函数k

y x

=

图象上的一列点，其中121,2,

,,n x x x n ===．记112A xy =，223A x y =，1n n n A x y +=，，若1A a

=（a 是非零常数），则12n A A A ???的值是________________________（用含a 和n 的代数式

表示）．

25．如图9，△ABC 内接于⊙O ，90,B AB BC ∠==，

D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上

一点，连接AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连接BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点

R ，且满足AP BR =，则

BQ

QR

的值为_______________． 二、（共8分） 26．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．

（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．

图9

三、（共10分）

27．已知：如图10，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．

（1）求证：P 是△ABC 的外心； （2）若3

tan ,84

ABC CF ∠=

=，求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG +=?． 四、（共12分）

28．在平面直角坐标系xOy 中（如图11），抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点

（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．

图10

（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（2）如果P 是线段AC 上一点，设ABP ?、BPC ?的面积分别为ABP S ?、BPC S ?，且

:2:3ABP BPC S S ??=，求点P 的坐标；

（3）设⊙Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？

图11

成都市2010年中考数学答案

一、选择题

1. D

2. C

3. A

4. B

5. D

6. B

7. B

8. A

9. D 10. C

二、填空题

11. 四 12. 1 13.100 14. 6 15. 3 三、16．（1）解：原式

=612 3.-= （2）解：∵关于x 的一元二次方程2

420x x k ++=有两个实数根，

∴2

44121680k k ?=-??=-≥.解得2k ≤.

∴k 的非负整数值为0，1，2. 四、17．解：（1）由已知，OC=2，BC=4. 在Rt △OBC 中，由勾股定理，得

OB =（2）在Rt △OAC 中，∵

OA=OB=OC=2，

∴

sinA=

OC OA ==

. 18. 解：如图1，（1）∵已知反比例函数k

y x

=经过点(1,4)A k -+， ∴41

k

k -+=，即4k k -+=， ∴2k =， ∴A(1，2).

∵一次函数y x b =+的图象经过点A(1，2)， ∴21b =+， ∴1b =.

∴反比例函数的表达式为2

y x

=

，一次函数的表达式为1y x =+. （2）由12y x y x =+???=??

消去y ，得2

20x x +-=.

即(2)(1)0x x +-=，∴2x =-或1x =. ∴1y =-或2y =

.

图1

∴21x y =-??

=-?或1

2

x y =??=?.

∵点B 在第三象限，

∴点B 的坐标为(21)--，

. 由图象可知当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是2x <-或01x <<.

五、19..解：（1）如图2.

馆名

数量博览会门票扇形统计图

B 馆门票为50张，

C 占15%. （2）画树状图，如图3.

图2

开始

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4

小明 小华 图 3

共有16种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中小明可能获得门票的结果有6种，分别是（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）. ∴小明获得门票的概率163

168

P ==，小华获得门票的概率235188P =-=.

∵12P P <，

∴这个规则对双方不公平.

20. （1）证明：∵ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC.

∴∠OBP=∠ODQ. ∵O 是是BD 的中点， ∴OB=OD.

在△BOP 和△DOQ 中，

∵∠OBP=∠ODQ ，OB=OD ，∠BOP=∠DOQ ， ∴△BOP ≌△DOQ （ASA ）， ∴OP=OQ.

（2）解：如图4，过A 作AT ⊥BC ，与CB 的延长线交于T. ∵ABCD 是菱形，∠DCB=60°. ∴AB=AD=4，∠ABT=60°.

∴AT=ABsin60°

=TB=ABcos60°=2. ∵BS=10，∴TS=TB+BS=12， ∴

=∵AD ∥BS ，

∴△AOD ∽△SOB.

∴

42105AO AD OS SB ===，则2

5AS OS OS -=， ∴

7

5

AS OS =. ∵

AS=，

∴57OS AS =

=. 同理可得△ARD ∽△SRC.

∴4263AR AD RS SC ===，则23AS SR RS -=， ∴

5

3

AS RS =，

∴355

RS AS =

=. 图4

∴OR=OS-RS=

7535

-=

. B 卷（共50分）

一、填空题

21. 7 22. 3 23. 14 24. (2)1

n

a n + 25. 1和1213

二、26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x .根据题意，得

2150(1)216x +=.

解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）. 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.

（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[(21690%)90%y y ?+?+]万辆.根据题意得

(21690%)90%231.96y y ?+?+≤

解得30y ≤.

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆. 三、27.（1）证明：∵C 是AD 的中点，∴AC CD =， ∴∠CAD=∠ABC.

∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°.

∴∠CAD+∠AQC=90°.

又CE ⊥AB ，∴∠ABC+∠PCQ=90°. ∴∠AQC=∠PCQ.

∴在△PCQ 中，PC=PQ. ∵CE ⊥直径AB ， ∴AC AE =， ∴AE CD =，

∴∠CAD=∠ACE.

∴在△APC 中，有PA=PC ， ∴PA=PC=PQ ，

∴P 是△ACQ 的外心.

（2）解：∵CE ⊥直径AB 于F ， ∴在Rt △BCF 中，由tan ∠ABC=

34CF BF =，CF=8，得432

33

BF CF ==.

∴由勾股定理，得403

BC ==

. ∵AB 是⊙O 的直径，

∴在Rt △ACB 中，由tan ∠ABC=

34AC BC =，403BC =，得3

104

AC BC ==. 易知Rt △ACB ∽Rt △QCA ，∴2AC CQ BC =?.

∴215

2

AC CQ BC ==. （3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°.

又CF ⊥AB ，∴∠ABG+∠G=90°， ∴∠DAB=∠G ，

∴Rt △AFP ∽Rt △GFB ， ∴

AF FP

FG BF

=，即AF BF FP FG ?=?. 易知Rt △ACF ∽Rt △CBF ，

∴2

FC AF BF =?（或由射影定理得）. ∴2

FC FP FG =?.

由（1），知PC=PQ ，∴FP+PQ=FP+PC=FC. ∴2

()FP PQ FP FG +=?.

四、28. （1）解：（1）∵y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，

∴3b =，(0 3)C ，

. 将A (30)-，

代入3y kx =+，得330k -+=.解得1k =. ∴直线AC 的函数表达式为3y x =+. ∵抛物线的对称轴是直线2x =-，

∴930,

2,

23.

a b c b a

c -+=???

-=-??=??解得1,4,3.a b c =??=??=? ∴抛物线的函数表达式为2

43y x x =++. （2）如图5，过点B 作BD ⊥AC 于点D. ∵:2:3ABP BPC S S ??=，

∴11:2:3.22AP BD PC BD ????

????=

? ?????

∴:2:3AP PC =. 过点P 作PE ⊥x 轴于点E. ∵PE ∥CO ，

∴△APE ∽△ACO ， ∴

25

PE AP CO

AC

=

=

， ∴2655PE OC =

=， ∴635x =+，解得95

-， ∴点P 的坐标为9655??

- ???

，.

（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在⊙Q 与坐标轴相切的情况. 设点Q 的坐标为00()x y ，.

①当⊙Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±.

当01x =-时，得20(1)4(1)30y =-+?-+=，∴1(1 0)Q -， 当01x =时，得2014138y =+?+=，∴2(1 8)Q ， ②当⊙Q 与x 轴相切时，有01y =，即01y =±.

当01y =-时，得200143x x -=++，即200440x x ++=，解得02x =-，∴3(2 1)Q --， 当01y =时，得200143x x =++，即200420x x ++=，解

得02x =-，

∴

4(2 1)Q -

，5(2 1)Q -.

综上所述，存在符合条件的⊙Q ，其圆心Q 的坐标分别为1(1 0)Q -，，2(1 8)Q ，，3(2 1)Q --，

，

4(2 1)Q -

，5(2 1)Q -.

（Ⅱ）设点Q 的坐标为00()x y ，.

当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有00y x =±.

x

由00y x =，得200043x x x ++=，即200330x x ++=， ∵△=2

341330-??=-<， ∴此方程无解.

由00y x =-，得200043x x x ++=-，即200530x x ++=，解得052

x -=

.

∴当⊙Q 的半径052

r x ±===时，⊙Q 与两坐标轴同时相切.