简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习
一、公式体系
1、和差公式及其变形：
（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=±
（2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±=
（3）β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-
2、倍角公式的推导及其变形：
（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2
1cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=±
（2）ααααααααα2
2sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=?
1
cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα
αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或
αα2cos 22cos 1=+ 【因为α是2
α的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2
cos 2cos 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα2cos 2
4cos 12=+】 α
α
αα
αα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2sin 22cos 1=- 或 αα2sin 22cos 1=- 【因为α是2
α的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2
sin 2cos 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα2sin 2
4cos 12=-】
二、基本题型
1、已知某个三角函数，求其他的三角函数： 注意角的关系，如)4()4(
,)(,)(πβαπβααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，135)cos(,54sin =+=
βαα，求βsin 的值
（2）已知,4
0,1312)45sin(,434,53)4cos(πββππαπαπ
<<-=+<<=-求)sin(βα+的值 （提示：βαπαπβπ++=--+)4
()45(，只要求出)sin(βαπ++即可）
2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数
（1）已知βα,都是锐角，10
103cos ,55sin ==
βα，求角βα+的弧度
3、)(βα+T 公式的应用
（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0000+++的值
（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度
4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2cos 等
（1）已知2tan =α，求ααα
ααααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值
5、切化弦，再通分，再弦合一
（1）、化简：① )10tan 31(50sin 00+ ② 00
35sin 10cos )110(tan ?-
（2）、证明：x x x x x tan )2
tan tan 1(cos 22sin =+
6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合
化简4cos 2sin 22+-
1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）
A.14
B.2
C.12
D.4 2、若tan 3α=，4tan 3β=
，则tan()αβ-等于（ ） A.3- B.3 C.13- D.13 3、cos 5
πcos 52π的值等于（ ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．4
4、 已知02A π<<，且3cos 5
A =
，那么sin 2A 等于（ ） A.425 B.725 C.1225 D.2425 5、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4
tan(πα+的值等于 （ ） A ．1813 B.223 C.2213 D.183 6、s in165o= （ ）
A ．2
1 B ．23 C ．426+ D ． 426- 7、s in14ocos16o+sin76ocos74o的值是（ ）
A ．23
B ．21
C ．23
D ．2
1- 8、已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．7
24 D ．724- 9、化简2sin （4π－x ）·sin（4
π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x
10、sin 12π—3cos 12
π的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ． 2 D ． 2 sin
125π 11、)( 75tan 75tan 12的值为?
?- A ．32 B ．332
C ． 32-
D ．3
32-