常微分方程习题与解答
常微分方程习题及解答
一、问答题：
1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?
答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。 例：求
()()dy
P x y Q x dx
=+的通解。 首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx
y c ?=，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ?=，微分之，得到 ()()()()()P x dx
P x dx dy dc x c x P x dx dx
??
=+ ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()
P x dx
P x dx P x dx
dc x c x P x dx c x P x Q x ??
+?=+
即
()()
()P x dx dc x Q x dx
-?
= 积分后得到()()()P x dx
c x Q x dx c -?
=+?
进而得到方程的通解 ()()(())
P x dx P x dx
y Q x dx c -??=+?
3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？
答：n 阶线性微分方程的初值问题
()(1)11(1)
01020()...()()()(),(),....()n n n n n n
x a t x
a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t
b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，
12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题
1210010000010000010()()()()()()n n n x x a t a t a t a t f t x t η--?????
???????????'?
???=+??????
????
?
?????----????
?
=?
?
但是需要指出的是每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程
组，反之却不成立。
4．若常系数线性方程组Ax x ='和Bx x ='有相同的基本解矩阵， 则A
与B 有什么关系？
答：设常系数方程组x Ax '=的基解为1()exp t At Φ=，x Bt '=的基解为
2()exp t Bt Φ=，由于两个常系数线性方程组有相同的基解矩阵，根据的解的性质知12()()t C t Φ=Φ，则可得exp exp At C Bt =，C 为非奇异n n ?的常数矩阵。
5．写出线性微分方程组的皮卡逐次逼近序列。
001(),()[()()()](1,2,)t k
k t t a t b t A s s f s ds k ?η?η?-=??
≤≤?
=++=??? 二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：
1.22sin dy
y x
y x dx
=+ 解：方程可化为2
2
sin xy y y x '=-，当0x ≠时，
22
sin y x y y x x
'=-，是伯努利方程。
其中21sin (),()x P x Q x x x
==-。令1
z y -=，方程可化为
2sin dz z x dx x x
=-+，则
1122sin ()
111cos 2(sin )()2111
(sin 2)24
11sin 224dx dx x x
x z c x
x xdx c dx c x x x x c x x c x x
-??=+-=+=+=-+=-+??? 将1
z y -=代入上面的式子，可得111sin 224x c y x x -=
-+或者1sin 2124y y x cy
x x =-+
0y =也是方程的解。
2．20y y xy y '
''
--=
解：令y p '=，则原方程可化为20p
y xp p
--=
对x 求导，可得2220p p
dp dp
dp
p x
p p dx dx dx
----=， 则22(2)0p p dp
x p dx
---=
那么：2220p
p x p ++=或者0dp dx
=
当222p
p
x p
=--
时，则
22222
222
2(2)22p
p p
p
p
p
p
y p p p p
p p
p =--
+=--+=-
当
0dp dx =时，则p c =，那么dy p dx
=，可得y cx c =+，其中,c c 是任意常数。 3.20xy y '''''+=
解：方法一：方程两端同时乘以2x ，转化为欧拉方程3
2
20x y x y '''''+=。
它的特征方程(1)(2)2(1)0k k k k k --+-=，特征根为0，0，1. 方程的基本解组为1,ln ,,x x 故其通解为123ln y C C x C x =++ 方法二：令y z ''=，将方程转化为一阶线性方程20xz z '+=，解之得1
2
C z x =。 即有12
C y x ''=
，积分得1
2C y C x
'=-+，再积分得其通解为123ln y C C x C x =++
4.22221d y dy x xy dx dx
--= 0)0(,0)0(='=y y
解：原方程可写成2
21y x y xy '''--=，
方程的左边可写成2
2
()()y x y y x y '''''-=- 则 2
()=1y x y ''- 积分可得，
21y x y x c '-=+
那么 2
1y x y x c '=++
因为(0)0y '=，所以10c =，则2
2
2
x y x y '=+
利用常数变易法可求得方程的解为： 222()2
x dx x dx x y dx c -??=
+? 332
3
3
()2
x x x dx c -
=
+?
333
3
1()2
x x c -
=-
+
33
1
2
x c
=-+
5.x Ax '= 100013011A ????=????-?? 123x x x x ????=??????
解：特征方程为2
2
(1)(1)3(1)(1)(4)(1)(2)(2)λλλλλλλλ-+--=--=--+
可得特征值为1232,1,2λλλ=-==。
对应于特征值12λ=-的特征向量为1011v α??
??=????-??， 对应于特征值21λ=的特征向量为2100v β????=??????
，
对应于特征值32λ=的特征向量为3031v γ????=??????
。 令1,1,1αβγ===，可得方程组的基解为22220
0()030
t
t
t t t t --????Φ=?
???-?
?
。 三、证明题
1．给定方程)(2t f x x x ='+''+'''，其中)(t f 在∞<<∞-t
上连续，设
)(),(21t t ??是上述方程的任一两个解，证明极限)]()([lim 21t t t ??-∞
→存在。 证明：齐次方程20x x x ''''''++=的特征方程为
3220
λλλ++=
解之得，12,30,1λλ==-。所以齐次方程的通解为123t
t
x c c c t
--=++
因为12(),()t t ??是非齐次方程的两个解，有解的性质可得，
12()()t t ??-是对应齐次方程的解，也就是说存在适当的常数123,,c c c 使得 12()()t t ??-=12
3t
t
c c c t
--++
从而[]1212
312
3
1lim ()()lim lim t
t
t
t t t t t t t c c c t
c c c c ??----→∞
→∞
→∞?
?
??-=++=++=?????
?
2．证明：已知二阶非齐次方程)()()(t f x t q x t p x =+'+''对应齐次方程的一个非零解)(1t x ，则该方程可以求得通解。
证明：对于二阶线性方程()()()x p t x q t x f t '''++=，经过变换1()x x t y =，得到
11
1()(2()()())()x t y x t p t x t y f t ''''++= 再作变换z y '=，即1111(2()()())()
()()
x t p t x t z f t z x t x t '+'+
=
这是一个以z 为未知函数的一阶线性非齐次方程，容易求出它的通解为
()()1121(()())()
p t dt
p t dt
z C f t x t dt x t -?
?=
+?
再积分 ()()1122
1(()())()p t dt p t dt
y C f t x t dt dt C x t -??????=++????
?? 则该方程的解可表示为
()()2111221()()(()())()p t dt p t dt x t x t C f t x t dt dt C x t -??????????=++????????????
那么齐次方程的解为：
1122()()
x c x t c x t =+
然后利用常数变易法可以求得非齐次方程的一个特解()x t 那么所求方程的通解为
11223()()()()
x t c x t c x t c x t =++
即证该方程可以求得通解。