高中数学必修3第二章 2.2.2
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习目标
1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.
2.会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征.
知识点一 众数、中位数、平均数
思考 平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案 平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大. 梳理 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数.
(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1
n (x 1＋x 2＋…＋x n )叫做这n 个数的平均数.
知识点二 方差、标准差 标准差、方差的概念及计算公式
(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.s ＝ 1
n [(x 1
－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)标准差的平方s 2叫做方差.
s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2](x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均
数).
(3)标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近.s ＝0时，每一组样本数据均为x . 知识拓展：平均数、方差公式的推广
(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，mx 3＋a ，…，mx n ＋a 的
平均数是m x ＋a .
(2)设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则 a .s 2＝1n [(x 21＋x 22
＋…＋x 2n )－n x 2
]； b .数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也为s 2； c .数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.
1.中位数是一组数据中间的数.( × )
2.众数是一组数据中出现次数最多的数.( √ )
3.一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近.( √ )
类型一 众数、中位数、平均数的应用 命题角度1 众数、中位数、平均数的计算
例1某公司的各层人员及工资数构成如下：
人员：经理1人，周工资22 000元；高层管理人员6人，周工资均为1 800元；高级技工5人，周工资均为1 500元；工人10人，周工资均为1 000元；学徒1人，周工资为500元.
(1)计算该公司员工周工资的众数、中位数、平均数；
(2)这个问题中，平均数能客观地反映这个公司的工资水平吗？
考点众数、平均数、中位数的综合
题点具体数据中的众数、平均数、中位数
解(1)众数为1 000，中位数为1 500，平均数为
22 000×1＋1 800×6＋1 500×5＋1 000×10＋500×1
≈2 209.
1＋6＋5＋10＋1
(2)虽然平均数为2 209，但由给出的数据可见，只有经理的周工资在平均数以上，其余的都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该公司的工资水平.
反思与感悟(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.
(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题.
(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中.
(4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.
(5)因为平均数与每一个样本数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质，也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息.但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.
跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：
成绩(单位：m)
1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数
解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是x ＝1
17(1.50×2＋1.60×3＋…＋
1.90×1)＝28.75
17
≈1.69(m).
答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 命题角度2 用频率分布直方图估算众数、中位数、平均数 例2 已知一组数据：
125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 (1)填写下面的频率分布表：
分组 频数 频率 [121,123) [123,125) [125,127) [127,129) [129,131] 合计
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 考点 众数、平均数、中位数的综合
题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 (1)频率分布表如下：
分组 频数 频率 [121,123)
2
0.10
[123,125)30.15
[125,127)80.40
[127,129)40.20
[129,131]30.15
合计20 1.00
(2)频率分布直方图如下：
(3)在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实
＝126.25，事实上中位数为125.5.上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋2×5
8
使用“组中值”求平均数：x＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，
平均数的精确值为x＝125.75.
反思与感悟(1)利用频率分布直方图估计数字特征
①众数是最高的矩形的底边中点的横坐标；
②中位数左右两侧直方图的面积相等；
③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.
跟踪训练2一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，球的直径频率分布直方图如图.试估计这个样本的众数、中位数和平均数.
考点 众数、平均数、中位数的综合
题点 频率分布直方图中的众数、平均数、中位数 解 众数＝39.99＋40.01
2＝40；
中位数为39.99＋0.2
25
＝39.998；
四个矩形的面积分别是0.02×5＝0.1, 0.02×10＝0.2, 0.02×25＝0.5, 0.02×10＝0.2. 平均数为39.96×0.1＋39.98×0.2＋40×0.5＋40.02×0.2＝39.996. 类型二 标准差、方差的应用
例3 计算数据89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准差(标准差结果精确到0.1). 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差
解 ①x ＝90＋18[(－1)＋3＋(－2)＋1＋4＋0＋(－2)＋(－3)]＝90＋1
8×0＝90；
②计算x i －x (i ＝1,2，…，8)，得各数据为－1,3，－2,1,4,0，－2，－3； ③计算(x i －x )2(i ＝1,2，…，8)，得各数据为1,9,4,1,16,0,4,9； ④计算方差：s 2＝18(1＋9＋4＋1＋16＋0＋4＋9)＝44
8＝5.5；
⑤计算标准差：s ＝ 5.5≈2.3.
所以这组数据的方差为5.5，标准差约为2.3.
反思与感悟 (1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.
(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散.
(3)若样本数据都相等，则s＝0.
(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的.
跟踪训练3某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：
甲：10210199981039899
乙：110115908575115110
试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定.
考点方差与标准差
题点求方差与标准差
解x甲＝1
7(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；
x乙＝1
7(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；
s2甲＝1
7[[(102－100)2
＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99
－100)2]
＝1
7(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；
s2乙＝1
7[(110－100)2
＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110
－100)2]
＝1
7(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)≈228.57. 所以s2甲＜s2乙，故甲车间产品较稳定.
1.某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：
则这组数据的中位数是()
A.19
B.20
C.21.5
D.23
考点中位数
题点求茎叶图中的中位数
答案 B
解析由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B.
2.设样本数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为1和4，若y i＝x i＋a(a为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的平均数和方差分别为()
A.1＋a,4
B.1＋a,4＋a
C.1,4
D.1,4＋a
考点平均数
题点由两组数的关系求平均数和方差
答案 A
解析∵x1，x2，…，x10的平均数x＝1，方差s21＝4，且y i＝x i＋a(i＝1,2，…，10)，∴y1，y2，…，y10的平均数
y＝1
10·(y1＋y2＋…＋y10)＝
1
10·(x1＋x2＋…＋x10＋10a)＝
1
10·(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x＋a＝
1＋a，
其方差s22＝1
10·[(y1－y)
2＋(y2－y)2＋…＋(y10－y)2]＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝s21＝4.
故选A.
3.某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是()
A.73.3,75
B.73.3,80
C.70,70
D.70,75
考点中位数
题点求频率分布直方图中的中位数
答案 A
解析由图可知小于70的有24人，大于80的有18人，则在[70,80)之间的有18人，所以
中位数落在[70,80)这组内，且为70＋10
3≈73.3；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底
边中点的横坐标，即70＋80
2
＝75.
4.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为________. 考点 方差与标准差 题点 求标准差 答案 16
解析 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ，则s ＝8， 可知数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为2s ＝16. 5.某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下： 74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.
(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差； (2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 利用定义求平均数与方差
解 (1)这10个学生体重数据的平均数为x ＝1
10
×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.
这10个学生体重数据从小到大依次为65,67,68,70,71,72,73,74,74,76，位于中间的两个数是71,72，
∴这10个学生体重数据的中位数为71＋72
2＝71.5.
这10个学生体重数据的方差为 s 2＝
1
10
×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11， 这10个学生体重数据的标准差为s ＝s 2＝11.
(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为11.
1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
2.现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性.
3.在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.
一、选择题
1.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数，众数，中位数分别为()
A.85分，85分，85分
B.87分，85分，86分
C.87分，85分，85分
D.87分，85分，90分
考点 众数、平均数、中位数的综合
题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 C
解析 平均数为100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75
10
＝87，众数为85，中位数为85，故选C.
2.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：
次品数 0 1 2 3 4 频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的平均数为( ) A.1.1 B.3 C.1.5 D.2 考点 平均数
题点 由表或图估计平均数 答案 A
解析 设数据x i 出现的频率为p i (i ＝1,2，…，n )，则x 1，x 2，…，x n 的平均数为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.
3.样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( ) A.
65
B.65
C.2
D. 2 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 答案 D
解析 ∵样本a,0,1,2,3的平均数为1， ∴a ＋65
＝1，解得a ＝－1.
则样本的方差s 2＝1
5×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.
故选D.
4.某省农科所经过5年对甲、乙两棉种的实验研究，将连续5年棉花产量(千克/亩)的统计数据用茎叶图表示，如图所示，则平均产量较高与产量较稳定的分别是( )
A.甲棉种；甲棉种
B.乙棉种；甲棉种
C.甲棉种；乙棉种
D.乙棉种；乙棉种
考点用样本数字特征估计总体数字特征
题点平均数与方差的综合应用
答案 C
解析根据茎叶图的数据知，甲棉种产量为68,69,70,71,72；乙棉种产量为68,68,69,69,71.
∴甲棉种的平均值x甲＝1
5×(68＋69＋70＋71＋72)＝70；
乙棉种的平均值x乙＝1
5×(68＋68＋69＋69＋71)＝69.
甲的方差s2甲＝1
5×[(68－70)
2＋(69－70)2＋(70－70)2＋(71－70)2＋(72－70)2]＝2，
乙的方差s2乙＝1
5×[(68－69)
2＋(68－69)2＋(69－69)2＋(69－69)2＋(71－69)2]＝1.2.
∴甲棉种平均产量较高，乙棉种产量较稳定.故选C.
5.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为()
A.62,62.5
B.65,62
C.65,62.5
D.62.5,62.5
考点 众数、中位数的综合应用 题点 频率分布直方图中的众数、中位数 答案 C
解析 ∵最高的矩形为第三个矩形， ∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4. ∵0.5－0.4＝0.1，0.1
0.4
×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.故选C.
6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞c ＞a C.c ＞a ＞b
D.c ＞b ＞a 考点 众数、平均数、中位数的综合 题点 具体数据中的众数、平均数、中位数 答案 D
解析 由已知得a ＝1
10×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，
b ＝1
2
×(15＋15)＝15，c ＝17，∴c ＞b ＞a .故选D. 7.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知
该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A.15 B.16 C.17 D.18 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D
解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋110
5＝108，
① (x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋4
5
＝35.2，
②
由①②解得????? x ＝99，y ＝117，或?????
x ＝117，
y ＝99，
所以|x －y |＝18.故选D.
8.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6
D.62.8,3.6
考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数与方差中的方程问题 答案 D
解析 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变.
9.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列结论正确的是( )
A.x 甲＜x 乙；乙比甲成绩稳定
B.x 甲＞x 乙；甲比乙成绩稳定
C.x 甲＞x 乙；乙比甲成绩稳定
D.x 甲＜x 乙；甲比乙成绩稳定 考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 A
解析 甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95， 所以x 甲＝
1
5
×(78＋77＋72＋86＋92)＝81， x
乙＝
1
5
×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8. 所以x 甲＜
x 乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说
明乙比甲成绩稳定. 二、填空题
10.一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是________. 考点 方差与标准差 题点 求方差与标准差 答案 2 2
解析 ∵一组数据2，x,4,6,10的平均数是5， ∴2＋x ＋4＋6＋10＝5×5，解得x ＝3，
∴此组数据的方差s 2＝1
5×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8，
∴此组数据的标准差s ＝2 2.
11.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a ＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________.
考点 平均数与方差的综合应用 题点 平均数和方差在决策中的意义 答案 5 甲组
解析 由题意可知75＋88＋89＋98＋90＋a
5＝
76＋85＋89＋98＋97
5＝89，
解得a ＝5.
因为s 2甲＝15×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62
]＝3145，s 2乙＝15×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝3305
， 所以s 2甲＜s 2
乙，故成绩相对整齐的是甲组.
12.已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________. 考点 平均数与方差的综合应用 题点 求平均数与方差 答案 5
743
解析 ∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5， ∴4＋x 2
＝5，∴x ＝6.
∴这组数据的平均数是－1＋0＋4＋6＋7＋14
6＝5，
这组数据的方差是16×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝74
3.
三、解答题
13.现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x 的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)内的用户中应抽取多少户？ 考点 用样本的数字特征估计总体的数字特征的综合应用 题点 众数、平均数、中位数的综合应用
解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，