〖含高考模拟卷17套〗河北省唐山一中2020-2021学年高考冲刺(3)数学试卷含解析

河北省唐山一中2020-2021学年高考冲刺（3）数学试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知三点A(1,0)，B(0，3 )，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．

53 B ．

21 C ．25

D ．

43

2．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2

2()4??+=?+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）

A ．134

B ．866

C ．300

D ．500

3．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =?，且对任意的b M ∈，存在

{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列

集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ） A ．{}1,5

B ．{}3,5

C ．{}2,3

D ．{}2,4

4．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．

1

3

B ．

23

C ．

33

D ．

23

5．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足

2AE CF =，则DE DF ?的取值范围是（ ）

A ．11

[,

]216

- B ．1(,

]16

-∞ C ．1[,0]2

-

D ．(,0]-∞

6．()()()()(

)*

121311x x x nx n N +++???+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ）

A ．3

n C

B ．2

1n C +

C ．1

n n C -

D ．

3112

n C + 7．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2

B ．-1

C ．1

D ．2

8．已知函数1()cos 22f x x x π??=++ ???，,22x ππ??

∈-????

，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π

-

B ．6

π-

C ．

6

π D ．

3

π 9．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>

B ．b c a >>

C ．a b c >>

D ．c a b >>

10．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12

B ．16

C ．20

D ．8

11．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若

AF x AC yDE =+，则y x -的值为（ ）

A ．12

-

B ．23

-

C ．13

-

D ．1-

12．如图，在ABC ?中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足

22

3AG MB CA CB ?=+，则AG AC ?等于（ ）

A ．2

B ．5

C ．

23

D ．83

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法

有_________种. (用数字作答)

14．点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP +=在△ABC 内任取一点，则此点取自△PBC 内的概率是____

15．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.

16．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，2

35a a =，则该数列的前5项的和为______________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2

B C

a A B c ++=. （1）求A ；

（2）若ABC ?的面积为3，5b c +=，求ABC ?的周长.

18．（12分）设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()2

22:11x

C y a a

+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任

意一点，且12

?PF PF 的最小值为1．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，

2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．

19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=?，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.

（1）求证：//DM 平面PBC ；

（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小.

20．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点.

（1）面出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）； （2）求1BD 与该平面所成角的正弦值.

21．（12分）设函数()()1f x x x a a R =-+-∈. （1）当4a =时，求不等式5f x

的解集；

（2）若()4f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.

22．（10分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++-+=()

*

n ∈N .

（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n b n a =?，求数列{}n b 的前n 项和n S .

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【解析】 【分析】 【详解】

选B.

考点：圆心坐标 2、A 【解析】

分析：设三角形的直角边分别为1.

解析：设三角形的直角边分别为12，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为

)

2

14=-

∴=.

∴落在黄色图形内的图钉数大约为210001342

?≈.

故选：A.

点睛：应用几何概型求概率的方法

建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；

(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型． 3、C 【解析】 【分析】

根据题目中的基底定义求解. 【详解】

因为11213=-?+?，

21203=?+?， 30213=?+?， 41212=?+?，

51213=?+?， 61313=?+?，

所以{}2,3能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底， 故选：C 【点睛】

本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4、C 【解析】

试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的

棱长为a

，则1,,22

AE EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=

?

222

1)())

3a +-=

=，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 5、A 【解析】 【分析】

建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+

，:1)AC y x =-

设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =，找出m 与n 的关系．

通过数量积的坐标表示，将DE DF ?表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ?的取值范围． 【详解】

以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，

设(1,0),(1,0)A B C -

，则直线:1)AB y x =+

，:1)AC y x =-

设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤

所以(,3),(1,1))AE m m CF n n ==--

由||2||AE CF =得22

4(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，

所以22

713(1)(1)4734()816

DE DF mn m n n n n ?=-+-=-+-=--+

， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得

112

n ≤<，由二次函数271

4()816y n =--+的图像知，

11

[,]216y ∈-，所以DE DF ?的取值范围是11[,]216

-．故选A ．

【点睛】

本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用． 6、B

【解析】 【分析】

根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】

由题意展开式中x 的一次项系数为2

1(1)122

n n n n C +++++=

=． 故选：B ． 【点睛】

本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式． 7、B 【解析】 【分析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】

f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）1

1

x =

-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】

本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 8、A 【解析】 【分析】

求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可. 【详解】 因为()11

cos 222

f x x x x sinx π??=

++=- ???， 故可得()1

2

f x cosx '=-+

， 令()0f x '=，因为,22x ππ??

∈-????

， 故可得3

x π

=-

或3

x π

=

，

则()f x 在区间,23ππ??

-

- ??

?单调递增， 在,33ππ??

-

???

单调递减，在,32ππ?? ???单调递增，

故()f x 的极大值点为3

π-. 故选：A. 【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题. 9、D 【解析】 【分析】

与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小． 【详解】

0.5

0.4

1<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴

5511

log 2log 3

>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>． 故选：D. 【点睛】

本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较． 10、A 【解析】 【分析】

先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】

先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有2

3326A =?=种，

所以共有2612?=种. 故选：A 【点睛】

本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题. 11、D 【解析】 【分析】

使用不同方法用表示出AF ，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【详解】

解：1

3

AF AD DF AB AD =+=

+， 又11

()()()()2

2

AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=+

+- 1231y x x y ?+=?∴??-=?解得59

49x y ?

=???

?=-??

，所以1y x -=- 故选：D 【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题． 12、D 【解析】 【分析】

选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】

由题意G 是ABC ?的重心，

2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ?=??-=--?+1

()()

2

BA BC BC BA =-?+221111

52222

BA BC BA BC BA BC =-+?=-+?

222

2

2

()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-?+=++5211BA BC =-?++ ，

∴91

7222

BA BC BA BC +?=-?，1BA BC ?=， ∴AG AC ?22221213

()()()

332322

AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =?=-?-=-?+2138(5)3223

=-+=， 故选：D ． 【点睛】

本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1． 【解析】

试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1．

考点：排列、组合及简单计数问题．

点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详．

14、1 3

【解析】

【分析】

设D是BC中点，根据已知条件判断出,,

A P D三点共线且P是线段AD靠近D的三等分点，由此求得

1

3

PBC

ABC

S

S

=，结合几何概型求得点取自三角形PBC的概率.

【详解】

设D是BC中点，因为PB PC AP

+=，所以2PD AP

=，所以A P D

、、三点共线且点P是线段AD靠近D的三等分点，

故

1

3

PBC

ABC

S

S

=，所以此点取自PBC内的概率是1

3

．

故答案为：

1

3

【点睛】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

15、7.5

【解析】

【分析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.

【详解】

76+147+158410

7.5

714154

???+?

=

+++