2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(理科)(有答案解析)

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={x|2x-3＜4}，则A∩B=（）

A. {4，8}

B. {0，2，6}

C. {0，2}

D. {2，4，6}

2.复数z=1-2i，则=（）

A. 2i

B. -2

C. -2i

D. 2

3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，

选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为x1，x2，…x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）

A. x1，x2，…x n的平均数

B. x1，x2，…x n的标准差

C. x1，x2，…x n的最大值

D. x1，x2，…x n的中位数

4.已知等比数列{a n}中，有a3a11=4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7=a7，则S13=

（）

A. 26

B. 52

C. 78

D. 104

5.如图，在中，，是上一点，若，则实数的

值为（）

A.

B.

C.

D.

6.学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级．老师们目送着大家远去，渐行渐远…执

行如图所示的程序框图，若输入x=64，则输出的结果为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

7.双曲线C：和直线，若过C的左焦点和点（0，-b）的直线与l

平行，则双曲线C的离心率为（）

A. B. C. D. 5

8.已知函数f（x）=sin（2x+），g（x）=sin x，要得到函数y=g（x）的图象，只需将函数y=f（x）

的图象上的所有点（）

A. 横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到

B. 横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位得到

C. 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到

D. 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位得到

9.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰

直角三角形，俯视图是边长为的正方形，该几何体的所有顶点

都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A. π

B. 2π

C. 4π

D. 6π

10.已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（）

A. B. C. D. （0，+∞）

11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）

①平面PB1D⊥平面ACD；

②A1P∥平面ACD1；

③异面直线A1P与AD1所成角的取值范围是；

④三棱锥D1-APC的体积不变．

A. ①②

B. ①②④

C. ③④

D. ①④

12.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（f（x））-2恰有5个零点，且最小的零点小

于-4，则a的取值范围是（）

A. （-∞，-1）

B. （0，+∞）

C. （0，1）

D. （1，+∞）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.（1﹣x）10的展开式中，x3的系数等于_______．

14.已知实数x，y满足约束条件，若目标函z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，则a

的取值范围是______．

15.已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x-2）2+y2=1于点A，B，C，D

四点，则|AB|+4|CD|的最小值为______

16.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n．满足a1=2，3S n=（n+m）a n，（m∈R），

且a n b n=，若对任意n∈N*，λ＞T n恒成立，则实数λ的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=6，．

（1）若b=5，求sin C的值；

（2）△ABC的面积为，求b+c的值．

18.2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经

济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：

经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计

捐款超过500元30

捐款低于500元6

合计

（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望．

附：临界值表

k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

参考公式：，n=a+b+c+d．

19.如图所示，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE＝1．

（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面ABE；

（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使三棱锥A﹣BF﹣E所成角的余弦值为？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．

20.已知点在椭圆C：=1（a＞b＞0）上，O为坐标原点，直线l：=1的斜率

与直线OA的斜率乘积为-．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）不经过点A的直线l：y=x+t（t≠0且t∈R）与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AM=AN．

21.已知函数f（x）=a（x-2ln x）+，a∈R．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为ρ=2sinθ+2a cosθ（a＞0）；直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲

线C分别交于M，N两点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若点P的极坐标为（2，π），，求a的值．

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的定义域为R,求实数a的取值范围.

-------- 答案与解析 --------

1.答案：C

解析：解：∵B={x|2x-3＜4}={x|x＜}，∴A∩B={0，2}．

故选：C．

求解一元一次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案．

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2.答案：D

解析：【分析】

本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．

根据复数代数形式的运算法则，化简计算即可．

【解答】

解：复数z=1-2i，

则====2．

故选D．

3.答案：B

解析：解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．

故选：B．

利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度．

本题考查了利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度，是基础题．

4.答案：B

解析：【分析】

由等比数列的中项性质可得a7=4，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和．

本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

【解答】

解：等比数列{a n}中，a3a11=4a7，

可得a72=4a7，解得a7=4，

数列{b n}是等差数列,且b7=a7=4，

则S13=×13（b1+b13）=13b7=13×4=52．

故选B．

5.答案：C

解析：【分析】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，属于中档题.

由题意，可根据向量运算法则得到=+（1-m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，

求出t的值.

【解答】

解：设,

由题意及图，

=，

又=，所以=，

∴=+（1-m），

又=t+，

所以，解得m=，t=，

故选C．

6.答案：C

解析：解：模拟程序的运行，可得

x=64，i=1

满足条件x＞0，执行循环体，x=3，i=2

满足条件x＞0，执行循环体，x=log23∈（，1），i=3

满足条件x＞0，执行循环体，x=log2（log23）＜0，i=4

此时，退出循环，输出i的值为4．

故选：C．

由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算x的值并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7.答案：A

解析：解：双曲线C：和直线，若过C的左焦点和点（0，-b）的直线与l平行，

可得=，即，可得，

所以双曲线的离心率为：e=．

利用已知条件求出a、b关系，然后求解双曲线的离心率即可．

本题考查双曲线的简单性质的应用，的基本知识的考查．

8.答案：D

解析：【分析】

本题主要考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

直接利用三角函数关系式的恒等变换和关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．

【解答】

解：函数f（x）=sin（2x+），

把函数的横坐标伸长为原来的2倍，得到：y=sin（x+），

再向右平移个单位得到g（x）=sin x，

故选D．

9.答案：C

解析：解：由三视图可知四棱锥的底面为边长为的正方形ABCD，四

棱锥的顶点P在底面的射影为底面ABCD的中心，

且AC=BD=2，PO=1．

显然四棱锥的外接球的球心O为正方形的中心，

故球的半径为1，

∴球的表面积为4π．

故选：C．

根据三视图作出直观图，判断球心的位置，得出球的半径，再计算表面积．

本题考查了棱锥的三视图，棱锥与球的位置关系，属于中档题．

10.答案：B

解析：解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x+（m+1）e x．

因为函数f（x）有两个极值点，所以f'（x）=x+（m+1）e x有两个不同的零点，

故关于x的方程有两个不同的解，

令，则，

当x∈（-∞，1）时，g'（x）＞0，

当x∈（，1+∞）时，g'（x）＜0，所以函数在区间（-∞，1）上单调递增，

在区间（1．+∞）上单调递减，

又当x→-∞时，g（x）→-∞；

当x→+∞时，g（x）→0，且，故，

所以，

求出函数的定义域，函数的导数，求出函数的极值点，以及函数的单调性，结合函数的最值，求解m的范围即可．

本题考查函数的导数以及函数的极值，函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．

11.答案：B

解析：解：连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，DB1?

平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，①正确；

连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥平面ACD1．从而由线面平行的

定义可得A1P∥平面ACD1，②正确；

，因为C到面AD1P的距离不变，且三角形

AD1Pd面积不变，所以三棱锥A-D1PC的体积不变，④正确；

当P与线段BC1的端点重合时，A1P与ad1所成角取得最小值，当P

与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取得最大值，故A1P与A1D所成角的范围是，

③错误．①②④正确，

故选：B．

①根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，可判断①正确

②证明平面BA1C1∥平面ACD1．从而由线面平行的定义可得A1P∥平面ACD1，可判断②正确

③分别找到当当P与线段BC1的端点重合时，A1P与ad1所成角取得最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取得最大值，可求得范围

④由图得

本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．

12.答案：C

解析：解：作出函数f（x）=的图象如图，

由y=的导数为y′=，

当x＞1时，y=递增；当0＜x＜1时，函数y=递减，

可得x=1处y=取得极小值1，

y=ax+3恒过定点（0，3），

设t=f（x），可得g（x）=f（t）-2，

当a≤0时，f（t）=2有两个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），

t=f（x）不可能有五个实根；

当a＞0时，f（t）=2有三个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），还有一个小于0，

t=f（x），t3＜0时，最小的零点x5＜-4，

由at3+3=2，即t3=-，

ax5+3=t3=-，可得3-4a＞-，可得4a2-3a-1＜0，解得-＜a＜1，

由a＞0可得0＜a＜1．

故选：C．

画出f（x）的图象，设t=f（x），可得g（x）=f（t）-2，结合函数g（x）=f（f（x））-2有5个零点，对a分类讨论求解．

本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．13.答案：-120

解析：【分析】

本题考查了二项式定理的展开式及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用通项公式即可得出．

【解答】

解：（1-x）10的展开式中，T r+1=（-x）r，

令r=3，则T4=-x3，

则x3的系数=-=-120．

故答案为：-120．

14.答案：a＜-2

解析：解：作出不等式对应的平面区域，

若a=0，则目标函数为z=2x，即此时函数在A（3，4）时取得最大值，

不满足条件．

当a≠0，由z=2x+ay得y=-x+，

若a＞0，目标函数斜率-＜0，

此时平移y=-x+，得y=-x+在点A（3，4）处的截距最大，此时z

取得最大值，不满足条件．

若a＜0，目标函数斜率-＞0，

要使目标函数z=2x+ay仅在点A（3，4）处取得最小值，

则-＜k AB=1，

即a＜-2，

故答案为：a＜-2

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数

z=2x+ay，仅在点（3，4）取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．

15.答案：13

解析：解：∵y2=8x，焦点F（2，0），准线l0：x=-2，由圆：（x-2）2+y2=1，圆心（2，0），半径为1．

由抛物线的定义得：|AF|=x A+2，

又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A+1同理：|CD|=x D+1

当AB⊥x轴时，则x D=x A=2，∴|AB|+4|CD|=15．

当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x-2）时，代入抛物线方程，

得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，

∴x A x D=4，x A+x D=，

∴|AB|+4|CD|=（x A+1）+4（x D+1）=5+x A+4x D≥5+2=13．

当且仅当x A=4x D，即x A=4，x D=1时取等号，

综上所述|AB|+4|CD|的最小值为13．

故答案为：13．

由抛物线的焦点弦公式：|AF|=x A+2，可得|AB|=x A+2同理：|CD|=x D+1，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得|AB|+4|CD|的最小值．

本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

16.答案：

解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=2，3S n=（n+m）a n，（m∈R），

n=1时，3a1=（1+m）a1≠0，解得m=2．

∴n≥2时，3a n=3S n-3S n-1=（n+2）a n-（n+1）a n-1，

化为：=．

∴n≥2时，a n=??……??a1=???……?=n（n+1）．

n=1时上式也成立．

∴a n=n（n+1）．

∵a n b n=，∴b n==．

∴T n==．

若对任意n∈N*，λ＞T n恒成立，则实数λ的最小值为．

故答案为：．

数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=2，3S n=（n+m）a n，（m∈R），n=1时，3a1=（1+m）a1≠0，解得m=2．利用n≥2时，3a n=3S n-3S n-1，化为：=．

利用n≥2时，a n=??……??a1，可得a n，再利用裂项求和方法、数列的单调性即可得

出．

本题考查了数列递推关系、累乘求积方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.答案：解：（1）由，

则，且，

由正弦定理可得：，

因为b＜a，

所以，

所以，

可得：sin C=sin（A+B）=，

（2），

∴bc=20，

可得：a2=b2+c2-2bc cos A=，

∴b2+c2=41，可得：（b+c）2=b2+c2+2bc=41+40=81，

∴b+c=9．

解析：（1）由已知及同角三角函数基本关系式可求sin A的值，由正弦定理可得，进而由，可求，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可

求sin C的值；

（2）利用三角形的面积公式可求bc=20，利用余弦定理可得b2+c2=41，联立可求b+c的值．

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18.答案：解：（1）根据频率分布直方图，计算经济损失4000元以下的人数为50×（0.00015+0.00020）×2000=35（人），

400015

经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计

捐款超过500元30939

捐款低于500元5611

合计351550

计算K2=≈4.046＞3.841，

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；（2）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，则（x，y）可以看成平面中的点，

试验的全部结果所构成的区域为{（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，且区域面积为1；

李师傅比张师傅早到小区所构成的区域为{（x，y）|y≥x，7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，对应面积为1-××=，所以对应的概率为；

所以连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数X～B（3，），

则P（X=0）=?=，

P（X=1）=??=，

P（X=2）=??（1-）=，

P（X=3）=?=；

X

X0123

P

数学期望为E（X）=np=3×=．

解析：（1）根据频率分布直方图计算经济损失4000元以下的人数，填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；

（2）利用几何概型的概率求出李师傅比张师傅早到小区的概率值，得出随机变量X～B（3，），

计算对应的概率值，写出X的分布列，求出数学期望值．

本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．

19.答案：解：（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面BCE，BE,BC平面BCE,

∴AE⊥BC，AE⊥BE.

又BC⊥AB，AE AB=A,AE,AB平面ABE，

∴BC⊥平面ABE，

又BC平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABE；

（Ⅱ）存在一点F，使三棱锥A﹣BF﹣E所成角的余弦值为.

以A为原点建立空间坐标系如图，

∵AE=1，AB=2，AE⊥BE，

∴BE=，

设AF=h，

则F（0，0，h），E（），B（0，2，0），

∴，，

设平面BEF的一个法向量为，

则?，

取y=1，得，

易知，为平面ABF的一个法向量，

由题意得：

==，

解得：h=1，

故当F为AD中点时，满足题意．

解析：此题考查了线面垂直，面面垂直，二面角的求法，难度适中。

（Ⅰ）先证BC⊥平面ABE，进而得面面垂直；

（Ⅱ）建立空间坐标系，设点F的位置，利用向量列方程求解．

20.答案：解：（Ⅰ）由题意，，即a2=4b2 ①．

又②．

联立①①解得，

∴椭圆C的方程为：；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（-x1，-y1），

由，得，

∴△=4-t2＞0，即-2＜t＜2，

又∵t≠0，∴t∈（-2，0）∪（0，2），

，，

要证明AM=AN，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，

只需证明k AM+k AN=0，即证明k AQ+k AR=0．

∵

=

=

=

=

∴k AM+k AN=0，即AM=AN．

解析：（Ⅰ）由直线l的斜率与直线OA的斜率乘积为-，得a2=4b2，再由，联立解得a，

b的值，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（-x1，-y1），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式大于0求得t的范围，再由根与系数的关系可得P，Q的横坐标的和与积，把证明AM=AN，转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，即证明k AQ+k AR=0即可．

本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：（1）∵f（x）=a（x-2ln x）+，函数的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=a（1-）-+=，

（i）当a≤0时，ax2-1＜0恒成立，

当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，2）上单调递增，

当x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（2，+∞）单调递减，

（ii）当a＞0时，令f′（x）=0，解得x1=2，或x2=，x3=-（舍去），

①当x1=x2，即a=时，f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

②当x1＞x2，即a＞时，

当x∈（0，），（2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，），（2，+∞）上单调递增，当x∈（，2）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（，2）上单调递减，

③当x1＜x2，即0＜a＜时，

当x∈（0，2），（，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，2），（，+∞）单调递增，当x∈（2，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（2，）单调递减，

综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，

当0＜a＜时，函数f（x）在（0，2），（，+∞）上单调递增，在（2，）上单调递减，

当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

当a＞时，函数f（x）在（0，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，

（2）由（1）可知，①当a＜0时，函数f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，∵f（1）=a＜0，

取x0=max{-，5}，令f1（x）=x-2ln x，f2（x）=，

则f1′（x）=1-＞0在（2，+∞）成立，

故f1（x）=x-2ln x单调递增，f1（x0）≥5-2ln5=1+2（2-ln5）＞1，

f（x0）=a（x0-2ln x0）+-≤a+-≤-＜0，

∴函数f（x）有两个零点等价于f（2）=a（2-2ln2）+＞0，

解得-＜a＜0，

当a=0时，f（x）=，只有一个零点，不符合题意，

当a=时，f（x）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，

当a＞0且a≠时，f（x）有两个极值，

f（2）=a（2-2ln2）+＞0，f（）=2+a lna-a，

令g（x）=2+x lnx-x，

∴g′（x）=+ln x，

令h（x）=+ln x，

∴h′（x）=-+=，

当x＞时，h′（x）＞0，g′（x）在（，+∞）上单调递增，

当0＜x＜时，h′（x）＜0，g′（x）在（，+∞）上单调递减，

故g′（x）＞g′（）=2-2ln2＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x→0时，g（x）→0，

故f（）=2+a lna-a＞0，

又f（2）=a（2-2ln2）+＞0，

由（1）可知，f（x）至多只有一个零点，不符合题意，

综上，实数a的取值范围为（-，0）．

解析：本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数零点的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间，

（2）根据导数和函数零点的关系，分类讨论，即可求出a的取值范围．

22.答案：解：（1）由ρ=2sinθ+2a cosθ，（a＞0），

得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ，（a＞0），

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y+2ax，

即（x-a）2+（y-1）2=a2+1，

直线l的参数方程为（t为参数），

所以直线l的普通方程为y=x+2．

（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=2y+2ax，并化简、整理，得：

+4a+4=0．

因为直线l与曲线C交于M，N两点．

所以-4（4a+4）＞0，解得a≠1．

由根与系数的关系，得t1+t2=3，t1t2=4a+4．

因为点P的直角坐标为（-2，0）在直线l上．

所以|PM|+|PN|=|t1+t2|=3=5，

解得a=2，此时满足a＞0，且a≠1，

故a=2．

解析：本题考查曲线的直角坐标方程、直线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．（1）由ρ=2sinθ+2a cosθ，（α＞0），得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ，（a＞0），由此能求出曲线C的直角坐标方程；由直线的参数方程能求出直线l的普通方程．

（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=2y+2ax，得：+4a+4=0，利用根

与系数的关系，能求出结果．

23.答案：解：（1）由已知不等式f（x）＜x+|x+1|，得|x-2|＜x+|x+1|，

当x＞2时，绝对值不等式可化为x-2＜x+x+1，

解得：x＞-3，所以x＞2；

当-1≤x≤2时，绝对值不等式可化为2-x＜x+x+1，

解得：x＞，所以＜x≤2；

当x＜-1时，由2-x＜x-x-1，得：x＞3，

此时无解．

综上可得所求不等式的解集为（，+∞）．

（2）要使函数f（x）=log2[f（x+3）+f（x）-2a]的定义域为R，

只要g（x）=f（x+3）+f（x）-2a的最小值大于0即可．

又g（x）=|x+1|+|x-2|-2a≥3-2a，

当且仅当x∈[-1，2]时取等号．

所以只需3-2a>0，即a<，

所以实数a的取值范围是（-∞，)．

解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．

（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；

（2）根据绝对值不等式的性质得到g（x）=|x+1|+|x-2|-2a≥3-2a＞0，解出即可．