2011《圆的方程》专题训练一
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2011《圆的方程》专题训练一
一、选择题
1、已知圆C 与直线0x y -=和40x y --=都相切，圆心在直线0x y -=上，则圆C 的方程为
2)1()1.(22=-++y x A
2)1()1.(22=++-y x B
2)1()1.(22=-+-y x C
2)1()1.(22=+++y x D
2、以点)3,0(),0,3(--B A )7
24,715(,C 为顶点的三角形与圆)0(222>=+r r y x 没有公共点，则圆半径r 的取值范围是
389.(0,
)(,)710
A +∞ )789
3,10
103.(B (0,(3,)2
C ?+∞ )3,223.(D
3、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+++x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
4、已知M 是圆1:22=+y x C 上的动点，点N (2，0)，则MN 的中点P 的轨迹方程是
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4
1)1.(22=
+-y x A 2
1)1.(22=+-y x B 2
1)1.(22=++y x C 41)1.(22=++y x D
5、点P(4，-2)与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是
1)1()2(22=++-?y x A 4)1()2(22=++-?y x B
4)2()4(22=-++?y x C 1)1()2(22=-++?y x D
6、已知圆014222=+-++y x y x 关于直线),(022R b a by ax ∈=+-
对称，则ab 的取值范围是
]4
1,.(-∞A )4
1,0(?B )0,4
1(-?C ),4
1[+∞-?D
7、过点(1，1)的直线与圆9)3()2(22=-+-y x 相交于A ，B 两点，则|AB|的最小值为
32.A .4B 52.C 5.D
8、以点（2，-1）为圆心，与直线34 5 0x y -+=相切的圆的方程为
3)1()2.(22=++-y x A
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9)1()2(22=++-?y x C
9)1()2(22=-++?y x D
9、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA PB 、，切点分别为,60c A B APB ∠=、，则动点P 的轨迹方程为
4.22=+y x A
3.22=+y x B
2.22=+y x C
1.22=+y x D
10、已知两点A （-1，0），B(O ，2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是
)54(2
1,2.-A )54(2
1),54(21.-+B 54,5.-C
)25(2
1),25(21.-+D
11、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴相切，则该圆的标准方程是
1)3
7()3(22=-+-?y x A 1)1()2(22=-+-?y x B
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1)1()2
3(22=-+-?y x D
12、若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=--a y x 的距离为
2
2，则a 的值为 A ．-2或2 13.22
B 或
C ．-2或O
D.2或0
13、已知圆C 的方程为.25)4()3(22=-+-y x 设过点(3，5)的直线l 将圆C 分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 被圆C 截得的弦长为
66.A
64.B
62.C
6.D
二、填空题
14、已知圆5:22=+y x O 和点A (l ，2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于______．
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三、解答题
15、已知圆的方程是02)2(2222=+-+-+y a ax y x ，其中a ≠1．且a ∈R
(1)求证：a 取不为1的实数时，上述圆恒过定点；
(2)求圆心的轨迹方程．
16、如图7 -1-2，圆1O 与圆2O 的半径都是l ，124O O =，过动点P 分别作圆1O ．圆2O 的切线PM 、PN(,M N 分别为切点），使得
2.PM PN =试建立适当的坐标系，并
求动点P 的轨方程，
17、已知圆9)1()1(:22=-+-y x C ，过点A(2，3)作圆C 的任意弦，求这些弦的中点P 的轨迹方程．
18、已知圆M 过两点G （1，-1），D(-1，1)，且圆心M 在 2 0x y +-=上．
(1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3 4 8 0x y ++=上的动点，PA PB 、是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
19、已知实数,x y ，满足方程.01422=+-+x y x 求：
x
y
)1(的最大值和最小值；
x
y-
)2(的最小值；
2
2
)3(y
x+的最大值和最小值．
20、已知直线0
4:
1
=
+y
x
l，直线0
1
:
2
=
-
+y
x
l以及
2
l上一点P(3，-2)．求圆心C在
1
l上且与直
线
2
l相切于点P的圆的方程．
21、如图7 -1-4所示，已知P(4，0)是圆36
2
2=
+y
x内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB 90
∠=0，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
以下是答案
一、选择题
1、B 解析：设圆心为（a，-a），半径为r，则,1
,
2
|4
|
2
|
|
=
∴
=
-
+
=
+
a
r
a
a
a
a2．选B．2、A 解析：如图D7 -1 -3，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况：①圆在三
角形内部；②圆在三角形外部，当圆在三角形内部时，圆与BC边内切时，半
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实用文档 径最大，为1010
3；当圆在三角形外部时，圆过点C 时半径最小，为7893，所以选A ．
3、解析 设圆122=+y x 的圆心为0(0，0)，圆12822+++x y x 0=的圆心为1O （-4，0），O ' 为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则1||||(2)(1)1O O O O r r ''-=+-+=．由双曲线的定义知，选C ．
4、A 解析：设()P x y ，，M ()00,x y ，则0022,2x x y y =-=，∴22001x y +=∴点
P 的轨迹方程是4
1)1(22=
+-y x 5、解析 设圆上任一点为(,)Q s t ，PQ 的中点为A （x ，y ），则
???
????+-=+=2224t
y s x ，解得???+=-=2242y t x s ，代入已知圆的方程，得+-2)42(x 4)22(2=+y ，整理得22(2)(1)1x y -++=．选A ．
6、A 解析：圆心（-1，2）在直线22()ax by O a b R -+=∈，上，即1a b +=，
1(1)4ab a a ∴=-≤
． 7、B 解析：弦心距最大为5)13()12(22=-+-．AB 的最小值为.4592=-
8、C 解析：由于直线3450x y -+=与圆相切，所以圆的半径就是圆心到直线3450x y -+=的距
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(423|22=-++-?-?=
r ，因此可得圆的方程为9)1()2(22=++-y x 故选C ．
9、A 解析：由题设知，在Rt OPA 中，OP 为圆半径OA 的2倍，即OP =2，
∴点P 的轨迹方程为224x y +=．选A ．
10、B 解析：如图D7-1-1，圆心(1，0)到直线AB : 2 2 0x y -+=的距离为54
=d ，故圆上的
点P 到直线AB 的距离的最大值是154
+，最小值是 1.||55
AB -=又，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是?-+2
52,252
11、B 解析：本小题主要考查圆与直线相切问题，设圆心为(a ，1)，由已知得
d |43|1,25a a -=
=∴=（舍去12
-），选B ． 12、C 解析：22240x y x y +--=圆的圆心(1，2)到直线0x y a --=的距离为
2,222
|1|,22-=∴=+∴a a 或0，选C ．
13、B 解析：依题意知劣弧最短时，弦长最短，故过点(3，5)的最短弦长为2225146-=B ．
二、填空题
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14、254 解析 由题意可直接求出切线方程为12(1),22
y x x y -=--+即05=-，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和
52，所以所求三角形的面积为15255422??=
三、解答题
15、(1)将方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=整理得2242(22)0x y y a x y +-+--=
22420220
x y y x y ?+-+=?-=?令，解得11x y ?????=∴=定点为(1，1)． (2)圆心坐标为（a ，2-a ），又设圆心坐标为（x ，y ），则有2x a y a =??=-?
，消去参数a ，得2x y +=为所求圆心的轨迹方程。
16、解析 以12O O 的中点O 为坐标原点，12O O ，所在的直线为X 轴，建立如图7 -1-3 所示的平面直角坐标系，则)0,2(),0,2(21O O -
．已知PM =，即222PN PM =
因为两圆的半径都为1，所以)1(2122
21-=-PO PO ， 设222222(,),(2)12[(2)1],6)33.P x y x y x y x y ++-=-+--+=则即（
综上所述，点P 的轨迹方程为33)6(22=+-y x （或2x ?=+-+)03122x y
17、解析 设P(,x y )，圆心C(l ，1). ∴P 点是过A 的弦的中点，.PC PA ⊥∴
又(2,3),(1,1),(2)(1)(3)(1)0PA x y PC x y x x y y =--=--∴-?-+--=
∴P 点的轨迹方程为2235()(2)24
x y -+-= ∴P 点的轨迹是以)2,2
3(为圆心，25为半径的圆．
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18、(1)设圆M 的方程为：).0()()(222>=-+-r r b y a x 根据题意，得
()()()()222
222111120a b r a b r a b ?-+--=??--+-=??+-=??
，解得1 2a b r ===，，故所求圆M 的方程为 .4)1()1(22=-+-y x
(2)因为四边形PAMB 的面积1||||2PAM PHM S S S AM PA ??=+=?|,|||2
1PB BM ?+ ||||2,||||,AM BM PA PB ===又 所以2222||,||||||4,S PA PA PM AM PM ==-=-而即2
4S PM =-因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可，即在直线3 4 8 0x y ++=找一点P ，使得PM 的值最小，所以,343|
81413|||22min =++?+?=PM
所以四边形PAMB 面积的最小值为222||42342 5.S PM =-=-=
19、解析(1)如图D7-1 -2，方程22410x y x +-+=，表示以点(2，0)3为半径的圆．设,x k y kx y
==即，则圆心(2，0)到 y kx =的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，由,31|
02|2=+-k k 解得2max 3.3, 3.mm k k k ===-所以（也可由平面几何知识，得OC =2，CP 360POC ∠=，直线OP 的倾斜角为60，直线OP '的倾斜角为120）
实用文档 (2)设y x b -=，则y x b =+，当且仅当直线y x b =+与圆相切于第四象限时，纵轴上的截距b 取得最小值．由点到直线的距离公式，得
min 2()2b y x ==-±-=-即故(3) 22x y +可看作是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ，与：圆交于B 点，并延长交圆于C '，则22max 22)32(||)(+==+OC y x 2(||)(,3472.min 22==++=OB y x .347)32-=-
20、解析设圆心为C(,a b )，半径为r ，依题意，得4b a =-．又2PC l ⊥，直线2l 的斜率21k =-，∴过P ，C 两点的直线的斜率PC k 13)4(2=----=
a a
，解得1,4,||a b r PC ==-==故所求圆的方程为()()22148x y -++=．
21、解析 设AB 的中点为R ，坐标为(X ，Y)，则在Rt △ABP 中．IARI=IPRI. 又因为R 是弦AB 的中点，所以在22222,||||||36(),Rt OAR AR AO OR x y ?=-=-+中
又||||AR PR ==所以有)(36)4(2222y x y x +-=+-，即
.010422=--+x y x
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动．
设Q(x ，y)，R （X ，Y ），因为R 是PQ 的中点，所以,241+=
x x 201+=y y ．代入方程,010422=--+x y x 得.0102
4.4)2()24(22=-+-++x y x 整理得5622=+y x ，这就是所求的点Q 的轨迹方程，