考研强化班高等数学讲义
考研数学春季强化班高数讲义
第一章 函数 极限 连续
一．函数
1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）
2． 函数的性态
1）单调性
定义：单调增： ).()(2121x f x f x x
单调不减： ).()(2121x f x f x x ≤?<
判定：（1）定义：
(2）导数：设)(x f 在区间I 上可导，则
a) )(0)(x f x f ?≥'单调不减；
b) )(0)(x f x f ?>'单调增；
2)奇偶性
定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=-
判定：(1）定义：
(2）设)(x f 可导，则：
a))(x f 是奇函数? )(x f '是偶函数；
b))(x f 是偶函数? )(x f '是奇函数；
(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；
连续的偶函数其原函数之一是奇函数。
3)周期性
定义：)()(x f T x f =+
判定：(1)定义；
(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；
(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；
4)有界性
定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈?>?则称)(x f 在I 上有界。 判定：（1）定义：
（2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ?在],[b a 上有界；
（3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ?在
）（b a ,上有界；
（4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ?在I 上有界；
3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)
4．基本的初等函数与初等函数
基本初等函数:
常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:
由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.
题型一 复合函数
例1设)1(-x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为
(A) ]1,1[+a (B) ]1,1[--a
(C) ],1[a a - (D) ]1,[+a a
例2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==?且,0)(≥x ?求)(x ?及其定义域。
=)((x ?)0,)1ln(≤-x x
例3设???≥<=0,10,0)(x x x f , ?
??≤-<-=||1,2||1||,2)(2x x x x x g 试求)]([)],([x f g x g f .
( ???≤<<≤=||21||,12||1,0)]([x x x x g f 或 ???≥-<=0
,10,2)]([x x x f g ) 题型二 函数性态
例1 函数2)2)(1()
2sin()(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界。
(A) )0,1(- (B) (0,1)
(C) )2,1( (D) (2,3)
例2 以下四个命题中正确的是
（A ）若)(x f '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界；
（B ）若)(x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界；
（C ）若)(x f '在)1,0(内有界，则)(x f 在)1,0(内有界；
（D ）若)(x f 在)1,0(内有界，则)(x f '在)1,0(内有界。
例3 设)()(x 、g x f 是恒大于零的可导函数，且
b x a x g x f x g x f <<<'-'则当,0)()()()(时，有
（A ）);()()()(x g b f b g x f > （B ）);()()()(x g a f a g x f >
（C ）);()()()(b g b f x g x f > （D ）);()()()(a g a f x g x f > 例4 设函数,0)0()(>'f ，x f 且连续则存在0>δ，使得
（A ）),0()(δ在x f 内单调增加； （B ）)0,()(δ-在x f 内单调减少；
（C ）对任意的)0()(),0(f x f x >∈有δ；
（D ）对任意的)0()()0,(f x f x >-∈有δ。
注：1) 0)(>'a f 在a x =的某邻域内)(x f 单调增；
2）?>'0)(a f ,0>?δ当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f <；
当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f >。
二．极限
1．极限概念
1）数列极限: A a n n =∞
→lim ：0)( ,0>?>?εεN ,当N n >时ε<-||A a n . 2）函数极限:
（1）自变量趋于无穷大时函数的极限
A x f x =∞
→)(lim ： 0)( ,0>?>?εεX ,当X x >||时ε<-|)(|A x f . A x f x =+∞→)(lim 和A x f x =-∞→)(lim 的定义与A x f x =∞→)(lim 类似。 A x f x =∞→)(lim ? =+∞→)(lim x f x A x f x =-∞
→)(lim （2）自变量趋于有限值时函数的极限 A x f x x =→)(lim 0： 0)( ,0>?>?εδε,当δ<-<||00x x 时ε<-|)(|A x f 。
右极限：=+
→)(lim 0x f x x );0(0+x f . 左极限：=-→)(lim 0
x f x x );0(0-x f . A x f x f A x f x x x x x x ==?=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0
00 几个值得注意的极限：x e x x
x 1arctan lim ,lim 010→→，.1lim ,arctan lim ,lim 2
x x x e x x x x +∞→∞→∞→ 2。极限性质
1）有界性： 收敛数列必有界；
2）有理运算性质： 若B x g A x f ==)(lim ,)(lim .
那么: B A x g x f ±=±)]()(lim[；
B A x g x f ?=?)]()(lim[；
)0( )()(lim ≠=B B
A x g x f 两个常用的结论：1）)
()(lim x g x f 存在，;0)(lim 0)(lim =?=x f x g 2) ;0)(lim 0)(lim ,0)()(lim
=?=≠=x g x f A x g x f 3）保号性： 设A x f x x =→)(lim 0
（1） 如果0>A ,则存在δ,当),(0δx U x ∈时，0)(>x f .
（2） 如果当),(0δx U x ∈时,0)(≥x f ,那么0≥A .
4）函数值与极限值之间的关系：
考研数学高数习题—极限
一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块二 极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+
（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .
考研高数基础练习题及答案解析
考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x???
当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0
f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内
考研高数辅导：高等数学的比重
考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不
2016考研高数基础精讲
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-
高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续
历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = .
考研高数精华知识点总结：极限的运算
考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的
辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。
考研高等数学复习方法指导
考研高等数学复习方法指导 考研高等数学复习方法指导 下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。 首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太 纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不 定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多 元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容 的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在 高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识 点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得 高分也就不再是难事了。 在复习过程中考生们要注意以下几点： 第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极 限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重 点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充 分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年 都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。 第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习
(2)复习顺序的选择问题 对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。 我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就 先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己 的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结 构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过 大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能 有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之 后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记 对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的 做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论 知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯 的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这 些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过 做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了，
考研高数辅导：高等数学的比重
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极
考研高数讲义 新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料
第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理
极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)
则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。
驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，
使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）
考研高等数学全面复习资料
高等数学考研复习资料，最全篇，适合于一遍，二遍复习研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破130分大关！ 目录 一、函数与极限 ········································································错误!未定义书签。 1、集合的概念····································································错误!未定义书签。 2、常量与变量····································································错误!未定义书签。 2、函数·············································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态······························································错误!未定义书签。 4、反函数··········································································错误!未定义书签。 5、复合函数·······································································错误!未定义书签。 6、初等函数·······································································错误!未定义书签。 7、双曲函数及反双曲函数·····················································错误!未定义书签。 8、数列的极限····································································错误!未定义书签。 9、函数的极限····································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ······················································错误!未定义书签。
考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；
考研数学知识点复习：高等数学复习攻略
考研数学知识点复习：高等数学复习攻 略 考研的各门科目中，考研数学考试综合性强、知识覆盖面广、难度大，应及早复习为佳。与英语相比，考研数学只要方法得当，提高分数相对要快一些。高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学的分量也就显得尤为重要。 今年试卷整体难度合适，与往年相当，题型也都是我们课堂给大家讲授到的，对知识点的考查很全面，“三基本-基本概念、基本理论和基本方法”占的比重很大，约为83%，对数学的实际应用能力的考查有所体现，抓住了数学考试的本质思想。对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等；填空题考查基本计算能力；而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。所以，我们XX年参加考试的考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是三基本，高数的基础应着重放在极限、导数、不定积分这三方面，后面当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容的联系和应用。另一部分考查的是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都
是多个知识点的综合。再一个就是知识的运用能力，有几何、物理、化学、力学等知识。所以考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。 在具体的复习过程中如何规划复习才能取得事半功倍的效果也是考试普遍关注的问题。数学复习要保证熟练度，平时应该多训练，一天至少保证三个小时。把一些基本概念、定理、公式复习好，牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练，要天天练习，必须保证一定的题量。不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。 根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段： 第一个阶段是基础阶段。这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效率就太低了，我们建议基
经济类、管理类考研数学基础班课程讲义
《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的
距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明
考研高数讲义 第六章上课资料
第六章 定积分的应用 ?? ??? ?? ??? ????????? ????????????? ???? 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二） 简单的经济应用（数三）
第一节定积分的元素法 微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。 复习上一章第一节中的引例： 求由曲线() y f x =及直线x a =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。
步骤：1、分割：1 n i i A A ==?∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-?≈??≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈??∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==??=∑?
取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +?+?； x ξ?；dA A ??。事实上，因为A A =?∑且 ()A f x dx dA ?≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑??
一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ?可近似地表示为()i i f x ξ??，其差 别是i x ?的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =?计算.
[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日
公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。
考研数学基础班概率统计讲义-汤家凤
考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率：
考研高等数学复习方法的指导
考研高等数学复习方法的指导考研高等数学复习方法的指导 按照大纲要求准确把握基本定理 数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。 加强解综合性试题和应用题能力的训练 在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与他曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。 重视历年试题的强化训练 统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。老师认为尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。
数学一：加强了探究性问题的设计与应用 从组织的十万人大联考的数学一得分可以看出，该试卷难度略大，难度系数约0.73，试题虽然注重了基础知识的考查、但是考虑到诊 断的作用，在题目设置上加大了综合性和学生复习中知识盲点的考查，因此造成学生得分率较低。试题突出对主干知识的考察，重要 的章节、内容都有所体现。在注重基础知识、基本能力和基本思想 方法的考查的同时，还注重了对数学活动过程的考查，加强了探究 性问题的设计与应用，很好的体现了数学课程标准倡导的理念。 客观题中选择题难度相对适中，得分率为0.600，填空题相对较难，得分率只有0.219，另外，试卷的解答题难度也相对较大，得 分率平均为0.295，另外，从最高分和最低分统计来看，试题的区 分度较大，试题很好的反映学生的真实水平。 根据这个数字分析，教研室文老师建议这样应对：单项选择题所考查的内容主要是基本概念、基本性质、基本定理等知识，考生只 需掌握基础概念和性质，即可拿到分数。填空题一般所考查的知识 点也是基础知识，但主要是考察考生的运算能力。填空题的特性就 是注重结果，不注重过程，只要答案正确，就可以得分，考生要掌 握利用 温馨提示：在解题时，第一步既是迅速地找到解题的切入点，为此需要熟悉规范的解题思路，有时能够看出面前的题目与他曾经见 到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。 数学二：计算是重点也是难点 从十万人大联考数学二得分情况来看，难度和覆盖率很符合考研大纲的要求，根据得分情况，表现出考生对知识的掌握情况参差不齐，按照平均情况看，选择题和填空题得分率还算正常，基本能够 体现考研数学整体方向，解答题平均得分偏低，一方面可能考题计 算量有些大，而对于一般的考生，计算其实是重点也是难点，计算 的熟练程度和计算方法的掌握都需要考生自己用更多的时间练习。