(整理)11常微分答案.
常微分方程参考试卷(11)
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．方程x x y x
y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．
3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ．
4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件．
5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．
得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解
7. x y x
y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x
9．0e =-'+'x y y
10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．
11．求下列方程组的通解．
???????+=+=y x t
y y x t x 4d d d d
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．
13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程
y x x
y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
答案
一、填空题（每小题5分，本题共30分）
1．),(∞+-∞
2．x x 2cos ,2sin
3．必要
4．充分
5．n
6．必要
二、计算题（每小题8分，本题共40分）
7．解 齐次方程的通解为
x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为
x x C y 3e )(-=
代入原方程，确定出 C x C x +=
5e 51)( 原方程的通解为
x C y 3e -=+x 2e 51
8．解 由于x
N xy y M ??==??2，所以原方程是全微分方程． 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为
103023d d )(C y y x xy x y x =++??
即 C y y x x =++42242 。
9．解 令t y ='，则原方程的参数形式为
???='+=t
y t x t
e 由基本关系式
t t x y y t d )e 1(d d +='=
积分有
C t t y t +-+=)1(e 2
12 得原方程参数形式通解
??
???+-+=+=C t t y t x t t
)1(e 21e 2 。
10．解 方程的特征根为01=λ，52=λ
齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为i i 5±=±βα不是特征根。所以，
设非齐次方程的特解为
x B x A x y 5cos 5sin )(1+= 代入原方程，比较系数得
???=--=+-025251
2525B A B A
确定出 501
-=A ， 501
=B 。
原方程的通解为 )5s i n 5(c o s 501
e 521x x C C y x
-++= 。
11．解 特征方程为
0141
1=--=-λλλE A
即 0322=--λλ 。 特征根为 31=λ，
12-=λ 。 31=λ对应特征向量应满足
???
???=??????
???
???--0031413111b a
可确定出
??????=???
???2
111b a
同样可算出12-=λ对应的特征向量为
??
?
???-=???
???2122b a 所以，原方程组的通解为
??
?
???-+??????=??????--t t
t t C C y x 2e e 2e e 2331 。
三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．证明 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然1±=y 是方程的两个常数解． 任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10 13．证明 如果)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程 0)()(=+'+''y x q y x p y 的解，那么由刘维尔公式有 ?=-x 0d )(0e )()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有 C x W x W x W x t ==?=-)(e )()(0d 00x 0 。