方波信号频谱分析电路报告

实验研讨四：方波信号频谱分析(10) 1．回答下列问题

（1）周期函数如何分解成傅里叶级数？能分解的条件是什么？ f(t)=a 0+a 1cos(ω1t)+a 2cos(2ω1t)+…+b 1sin(ω1t)+b 2sin(2ω1t)+… = 0a +)sin()cos(11

11

t k b t k a k k k k ωω∑∑∞

=∞

=+ k=1,2,3,…

能分解的条件是给定的周期函数f(t)满足狄里赫利条件（1）周期函数极值点的数目为有限个；（2）间断点的数目为有限个； （3）在一个周期内绝对可积，即：

（2）什么是基波、谐波、频谱、单边幅度谱、谐波分析？

基波就是将非正弦周期信号按傅里叶级数展开，频率与原信号频率相同的波形； 谐波是指周期函数或周期性的波形中不能用常数、与原函数的最小正周期相同的正弦函数和余弦函数的线性组合表达的波形；

频谱就是用线段的高度表示各次谐波振幅而画出的图； 单边幅度谱是只考虑频率为正数部分得到的频谱；

谐波分析就是将一个周期函数展开或分解为一系列谐波之和的傅里叶级数。

2.(1)根据图4-1，写出f(t)在一个周期内的表达式

图4-1

f(t)=

1, 0

-1, T/2

(2)写出f(t)的傅里叶级数展开式，计算a 0,a k ,b k

∞

t t f T

d )(0

f(t)=a 0+a 1cos(ω1t)+a 2cos(2ω1t)+…+b 1sin(ω1t)+b 2sin(2ω1t)+… = 0a +)sin()cos(11

11

t k b t k a k k k k ωω∑∑∞

=∞

=+ k =1,2,3,…

式中a k 、b k 称为傅里叶系数，可由下式求得：

，

，

(3)用MATLAB 软件实现上述方波的分解与合成

%[ex3.1]方波分解与合成 t=0:0.01:6*pi;

f1=4/pi*sin(t); % 基波 f3=4/pi*(sin(3*t)/3); %三次谐波 f5=4/pi*(sin(5*t)/5); f7=4/pi*(sin(7*t)/7); f9=4/pi*(sin(9*t)/9); f11=4/pi*(sin(11*t)/11); f13=4/pi*(sin(13*t)/13); f15=4/pi*(sin(15*t)/15); f17=4/pi*(sin(17*t)/17); f19=4/pi*(sin(19*t)/19); y1=f1+f3; y2=f1+f3+f5;

y3=f1+f3+f5+f7+f9; y4=f1+f3+f5+f7+f9+f11; y5=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13; y6=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13+f15; y7=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13+f15+f17; y8=f1+f3+f5+f7+f9+f11+f13+f15+f17+f19;

subplot(3,3,1) %在第一个子窗口画基波分量 plot(t,f1),hold on

y=1*sign(pi-t); %画方波信号 plot(t,y,'r:') title('基波')

subplot(3,3,2) %在第二个子窗口画 (基波+3次谐波)分量 plot(t,y1),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('基波+3次谐波')

subplot(3,3,3) %在第三个子窗口画 (基波+3次谐波+ 5次谐波)分量

plot(t,y2),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('基波+到5次谐波')

subplot(3,3,4) %第四个子窗口画 (基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波+9次谐波)分量plot(t,y3),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('-基波+到9次谐波')

subplot(3,3,5) %第5个子窗口画 (基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波+9次谐波+11次谐波)分量

plot(t,y4),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('-基波+到11次谐波')

subplot(3,3,6) %第6个子窗口画 (基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波+9次谐波+11次谐波)分量

plot(t,y5),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('-基波+到13次谐波')

subplot(3,3,7) %第7个子窗口画 (基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波+9次谐波+11次谐波+13次谐波)分量

plot(t,y6),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('-基波+到15次谐波')

subplot(3,3,8) %第8个子窗口画 (基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波+9次谐波+11次谐波+13次谐波+15次谐波)分量

plot(t,y7),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('-基波+到17次谐波')

subplot(3,3,9) %第9个子窗口画 (基波+3次谐波+5次谐波+7次谐波+9次谐波+11次谐波+13次谐波+15次谐波)分量

plot(t,y8),hold on

y=1*sign(pi-t);

plot(t,y,'r:')

title('-基波+到19次谐波')

图形：

(4)程序运行结果，结论分析。

从图中可以明显看到：谐波次数越高，就越接近方波，从第5到第19次现象很明显，可以预测如果谐波次数无穷大，就会产生理想的方波。

3.观察图4-2中周期方波信号的单边频谱图

图4-2

(1)根据MATLAB程序给出运行结果，并列出A0,A1m,A2m……

% [ex2.2] 周期方波脉冲及单边频谱

function [A_sym,B_sym]=CTFSdbfb(T,Nf,Nn)

% 采用符号计算求[0,T]内时间函数的三角级数展开系数。

% 函数的输入输出都是数值量

% Nf 谐波的阶数

% Nn 输出数据的准确位数

% A_sym 第1元素是直流项，其后元素依次是1,2,3...次谐波cos项展开系数

% B_sym 第2,3,4,...元素依次是1,2,3...次谐波sin项展开系数

syms t n k y

T=7;

if nargin<4;Nf=input('pleas Input 所需展开的最高谐波次数:');end

T=7;

if nargin<5;Nn=32;end

y=time_fun_s(t);

A0=2*int(y,t,0,T)/T;

As=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T);

Bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T);

A_sym(1)=double(vpa(A0,Nn));

for k=1:Nf

A_sym(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn));

B_sym(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn));end

if nargout==0

S1=fliplr(A_sym); %对A_sym阵左右对称交换

S1(1,k+1)=A_sym(1); %A_sym的1*k阵扩展为1*(k+1)阵

S2=fliplr(1/2*S1); %对扩展后的S1阵左右对称交换回原位置S3=fliplr(1/2*B_sym); %对B_sym阵左右对称交换

S3(1,k+1)=0; %B_sym的1*k阵扩展为1*(k+1)阵

S4=fliplr(S3); %对扩展后的S3阵左右对称交换回原位置S5=S2-i*S4;

Akm=abs(S5)

N=Nf*2*pi/T;

k2=0:2*pi/T:N;

subplot(3,3,3)

x=squ_timefun(t,T) %调用连续时间函数-周期方波脉冲

T=7;t=-2*T:0.01:2*T;

plot(t,x)

title('周期方波脉冲')

axis([-10,10,-1,1.2])

line([-10,10],[0,0])

subplot(3,1,3)

stem(k2,abs(S5)); %画出周期方波脉冲的频谱（脉宽a=T/2）title('周期方波脉冲的单边频谱')

axis([0,60,0,0.6]);end

%-------------------------------------------

function y=time_fun_s(t)

% 该函数是CTFSdbfb.m的子函数。它由符号变量和表达式写成。

syms a a1

T=7;a=T/2;

y1=sym('Heaviside(t)')*2-sym('Heaviside(t-a1)');

y=y1-sym('Heaviside(t+a1)');

y=subs(y,a1,a);

y=simple(y);

%------------------------------

function x=squ_timefun(t,T)

% 该函数是CTFSdbfb.m的子函数,它由方波脉冲函数写成。

% t 是时间数组

% T 是周期duty'占空比'：信号为正的区域在一个周期内所占的百分

T=7;t=-2*T:0.01:2*T;duty=50;

x=square(t,duty);

(2)归纳方波信号单边频谱的性质。

谐波次数越高，该谐波的振幅就越低，只是在趋势上变化越来越慢，由于谐波的角频率是w1的正整数倍，所以频谱是离散的。

A km=4*E m/(k*3.1415926)

体会与总结：如果说单从电路的角度来理解本章前面几节内容的话，应该说是不难的，最难的地方我觉得还是在傅里叶级数的理解和推导上，特别是推导。而另外的难点是：matlab的使用。Matlab功能强大，想使用一些高级功能也不是一天两天能学会的，如matlab编程，还需要花点时间去琢磨。