河北省大名县第一中学2021-2022高一数学9月半月考试试题.doc

河北省大名县第一中学2021-2022高一数学9月半月考试试题

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合{|20}A x x =-<，{}1,2,3B =，则A B =（ ）

A ．{}1,2,3

B ．{}1

C ．{}3

D ．?

2．设集合{}=1,2M ，则满足条件{}=1,2,3,4M N 的集合N 的个数是（ ）

A ．1

B ．3

C ．2

D ．4

3．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．32y x =-+

B ．3

y x

=

C ．245y x x -=+

D ．23810y x x +=-

4．若奇函数()f x 在[]3,7上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ） A ．增函数且最小值是1- B ．增函数且最大值是1- C ．减函数且最大值是1-

D ．减函数且最小值是1-

5．已知集合{}|1P x y x ==+，集合{}

|1Q y y x =-＝，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P Q = B ．P Q ? C ．P Q ?

D ．P Q =?

6．设()()()F x f x f x =+-，x ∈R ，若,2π?

?-π-???

?是函数F (x )的单调递增区间，

则一定是()F x 单调递减区间的是（ ） A ．,02π??

-????

B ．,2π??π????

C ．23π??π,????

D ．,223π??π????

7．已知函数()2f x x bx c =＋＋的图象的对称轴为直线x ＝1，则（ ） A ．()()1(12)f f f <<- B ．()()12()1f f f <<- C ．()())211(f f f -<<

D ．()())112(f f f -<<

8．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）

A ．()10322y x x =

-≤≤ B ．()123203

2y x x --=≤≤ C ．()1023

2

y x x =

-≤≤- D ．()1012y x x =-≤≤- 此

卷

只

装

订

不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

9．已知()()121,2

11

1,2

x x x f x f x +≥?

-

+

= ? ?????

（ ） A ．16

-

B ．

16

C ．

56 D ．56

-

10．函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(]0-∞，上是增函数，若()()2f a f ≤， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a ≤

B ．2a ≥-

C ．22a -≤≤

D ．22a a ≤-≥或

11．已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x ＝－－与()y f x =图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则123m x x x x ++???+=（ ） A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

12．已知()32f x x =－，()22g x x x =－，()()()()()()()

,,g x f x g x F x f x f x g x ??≥

（ ）

A ．最大值为3，最小值1- B

．最大值为7- C ．最大值为3，无最小值 D ．既无最大值，又无最小值

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13

．函数2y x =+________．

14．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．

15．若函数()f x 的定义域为[12]-，则函数2(3)f x -的定义域为________． 16．规定记号“?

”表示一种运算，即a b a b ?=+，a ，b ∈R ，若13k ?=， 则函数()f x k x ?＝的值域是________．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知全集U =R ，集合{}|4A x x =>，{|66}B x x =-<<． （1）求A

B 和A B ；

（2）求U C B ；

（3）定义{|,}A B x x A x B -=∈?且，求A B -，()A A B --． 18．（12分）已知函数()21

1

x f x x ++＝

． （1）判断函数()f x 在区间[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[1]4，上的最大值与最小值．

19．（12分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤-a -1}，B ＝{x |x >a ＋2}，C ＝{x |x <0或x ≥4}都是U 的子集． 若

()U

A B C ?，问这样的实数a 是否存在？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说

明理由．

20．(12分)已知a ，b 为常数，且a ≠0，f (x )＝ax 2

+bx ，f (2)＝0，方程f (x )＝x 有两个相等实根．

（1）求函数f (x )的解析式； （2）当]2[1x ∈，时，求f (x )的值域；

（3）若F (x )＝f (x )-f (-x )，试判断F (x )的奇偶性，并证明你的结论．

21．（12分）设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为4(3)P ，且过点2(2)A ，的抛物线的一部分．

（1）求函数f (x )在(),2-∞-上的解析式；

（2）在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； （3）观察图像写出函数f (x )的值域和单调区间．

22．（12分）定义在R 上的函数f (x )，满足当x >0时，f (x )>1，且对任意的x ，y ∈R ，有

()()()·f x y f x f y +＝，f (1)＝2,且(0)0f ≠. （1）求f (0)的值；

（2）求证：对任意x ∈R ，都有f (x )>0；

（3）解不等式f (3-2x )>4．

数学试题答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1-5 BDDBC 6-10BBBAD 11-12BB

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．(]4-∞， 14．2 15．1,22??

????

16．(1,)+∞

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（1）∵{}|4A x x =>，{|66}B x x =-<< ∴{|46}A B x x =<<，{}|6A B x x =>-．

（2）

{|66}U B

x x x =≥≤-或．

（3）∵定义{|,}A B x x A x B -=∈?且， ∴(){|6}U A B A

B x x -==≥，(){|46}A A B x x --=<<．

18．（1）函数()f x 在[1,)+∞上是增函数． 证明：任取12,[,)1x x ∈+∞，且12x x <， 则()()()()

1212

12121221211111x x x x f x f x x x x x ++--=

+++=

+-． 易知120x x -<，12()11(0)x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在[1,)+∞上是增函数．

（2）由（1）知函数()f x 在[1]4，上是增函数， 则函数()f x 的最大值为()945

f =，最小值为()3

12f =．

19．因为()U

A B C ?，所以应分两种情况．

（1）若() U

A

B =?，则A ∪B ＝R ，因此a +2≤-a -1，即a ≤3

2-．

（2）若

() U

A

B ≠?，则a +2>-a -1，即a >3

2

-．

又A ∪B ＝{x |x ≤-a -1或x >a +2}，

此

卷

只

装订

不

密

封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

所以()|2{}1U

A B x a x a -<≤=-+，

又

()U

A B C ?，所以a +2<0或-a -1≥4，

即2a <-或a ≤-5，即2a <-． 又a >3

2

-，故此时a 不存在．

综上，存在这样的实数a ，且a 的取值范围是3|2a a ?

?-??

≤??．

20．（1）由f (2)＝0，得4a +2b ＝0，即2a +b ＝0．①

方程f (x )＝x ，即ax 2

+bx ＝x ，即ax 2

+(b -1)x ＝0有两个相等实根， 且a ≠0，∴b -1＝0，∴b ＝1，代入①得a ＝1

2-．

∴f (x )＝12

-x 2

+x ．

（2）由（1）知f (x )＝12-(x -1)2

＋12

．显然函数f (x )在[1]2，上是减函数，

∴x ＝1时，f (x )max ＝

1

2

，x ＝2时，f (x )min ＝0． ∴]2[1x ∈，时，函数f (x )的值域是201??

????

，．

（3）F (x )是奇函数．

证明：()()2211()()(222)F x f x f x x x x x x ????

=--=-+----= ???????

＋，

∵F (-x )＝2(-x )＝-2x ＝-F (x )，∴F (x )是奇函数．

21．（1）当x >2时，设f (x )＝a (x -3)2

+4．

∵f (x )的图象过点A (2，2)，∴f (2)＝a (2-3)2

+4＝2，∴a ＝-2， ∴()23)24(f x x --+＝-．

设,2()x ∈∞--，则-x >2，∴()2()234f x x ---+＝-． 又因为f (x )在R 上为偶函数，∴f (-x )＝f (x )， ∴()23)24(f x x --+＝-，

即()23)24(f x x ++＝-，,2()x ∈∞--． （2）图象如图所示．

（3）由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}．

单调增区间为(],3-∞-和[0]3，．单调减区间为[30]-，和[3,)+∞．

22．（1）对任意x ，y ∈R ，()()()·

f x y f x f y +＝． 令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)·f (0)，即f (0)·[f (0)-1]＝0． 令y ＝0，得f (x )＝f (x )·f (0)，对任意x ∈R 成立， 所以f (0)≠0，因此f (0)＝1．

（2）证明：对任意x ∈R ，有2

·

2222()()02x x x x x f x f f f f ??

??????===≥ ? ? ???????????

+． 假设存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，

则对任意x >0，有f (x )＝f [(x -x 0)＋x 0]＝f (x -x 0)·f (x 0)＝0．

这与已知x >0时，f (x )>1矛盾．所以，对任意x ∈R ，均有f (x )>0成立． （3）令x ＝y ＝1有f (1+1)＝f (1)·f (1)， 所以f (2)＝2×2＝4．任取x 1，x 2∈R ，且x 1

f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2-x 1)＋x 1]-f (x 1)＝f (x 2-x 1)·f (x 1) -f (x 1)＝

f (x 1)·[f (x 2-x 1)-1]．

∵x 10，由已知f (x 2-x 1)>1，∴f (x 2-x 1)-1>0． 由（2）知x 1∈R ，f (x 1)>0．所以f (x 2)-f (x 1)>0，即f (x 1)

由f (3-2x )>4，得f (3-2x )>f (2)，即3-2x >2．解得x <1

2

． 所以，不等式的解集是1,2?

∞-? ??

?．