水深流速计算

设水流单宽流量为q ，水深为h ，则vh q =，其量纲为m 2/s 。计算水流雷诺数Re 的公式可改写成如下形式：

υυq

vh ==Re (1)

为了计算，引入两个参数：一是沿程阻力系数λ；二是沿程能量梯度坡度f S 。如假设流程长度为L ，沿程水头损失为f h ，则：

L h S f f = (2)

对于薄层水流，f S 在数值上等于路表的坡度0S 。根据达西—魏兹巴赫定律，沿程水头损失公式为：

g

v R L h f 242

λ= (3) 式中：R 、v 分别为水流水力半径（如前所述，对路表径流，R =h ，h 为水深）及流速，合并公式（2）及（3）可知：

3232

22

888gh q gh h v gh v S f λλλ=== (4)

因0S S f =，并将公式（4）改变形式：

2

3023

88q h gS q h gS f ==λ (5) 根据水力学公式，水流为层流或紊流时沿程阻力系数的表达式可表示成另一种形式：

水流为层流时： q

υλ24Re 24== (6) 水流为紊流时： 4125.0Re ???

? ??==q C C υλ (7) 联立公式（5）和（6/7），消去沿程阻力系数λ，可得：

水流为层流时： υ

33

0h gS q = (8) 水流为紊流时： 71274

25.008h C gS q ??? ??=υ (9) 改变公式（8/9）的形式，可以得出水流水深的表达式如下：

水流为层流时： 3

103???

? ??=gS q h υ (10) 水流为紊流时： 31

047418???? ??=gS q C h υ (11) 由公式，υ为水流运动粘度，可按水流温度查取；0S 道路路表坡度，由道路线形设计得到；g 为重力加速度，g =9.81m/s 2；C 为系数，等于0.223；q 为单宽流量，即取宽度为单位长度，一定长度的流域，其面积可求，然后按流量计算公式求解q 。由以上分析可知，公式中等号右侧所有参量均为已知量，则水深可求。

值得注意的是，在计算参数中提出了参数—曼宁系数，且其值为0.012。曼宁系数代表了路表的粗糙度程度，其值大，说明路表较为粗糙；反之则说明路表较光滑。光滑的路表流速较快，因而相同条件下，路表水流水深较深。因而当路表粗糙程度不同时，应对水深计算公式（10/11）进行修正。方法如下：粗糙度不同时，主要影响雷诺数的计算及公式中的C 值。现有材料铺筑的路面结构，其曼宁系数在0.012～0.020之间变化，而公式中C =0.223也是在曼宁系数n =0.012时得出的，因而可以以此为基础进行修正。结果表明只需在公式的基础上乘以一修正系数F 即可。修正系数F 的表达式如下：

012

.0912.0n F ?= (12) 式中：n —某一材料铺筑的路面的曼宁系数。

对于道路表面的水流，更为关注的是水流的深度。应尽量降低水深以避免发生行车危险。根据计算结果，可得出如下结论：

1、路表粗糙度降低，水深降低，但同时也会造成路表过于光滑，使得行车的抗滑能力不够。所以，虽然使路表光滑可使水深降低，但在工程上并不可行。

2、从公式可知，增加道路坡度，可使水深降低，同时纵坡加大，水深增加。因此，在保证行车舒适、安全的前提下，应尽量加大道路横坡。

3、道路纵坡加大，水深增加，其原因主要是水流流程增加，使得单宽流量也增加，汇流的水量增加，因而水深增加。因此，在道路线形设计时，应尽量避免设计过大的纵坡。

4、车道数增加，水深增加较快。因此对多车道公路，在两侧道路均应采用

双向路拱，即使其中一些车道横坡坡向中间带，以避免外侧车道水深过深。

求解水流深度h 后，选定某一断面，则进一步可知这一断面的单宽流量q ，流速可利用单宽流量q 和水深h 的关系进行求解：

h

q v =(m/s) (13) 应该注意的是，利用上式计算所得结果为水深为h 的过水断面的平均流速，而实际上应求得水流的最大流速。如图，受路表摩阻力的影响，水流流速呈抛物线型分布，在接近路表某一位置，流速为零；在水流表面流速最大。

薄层水流流速分布图

如图即为薄层水流流速分布图。图中：z 0为路表绝对粗糙度，是路表在微观下表现出的不平整度；k 为粘性底层厚度，z 为自高程为0处的高度，u (z)为高度为z 处的流速，u (k )=0。其流速分布公式可用下式表示：

???

? ??=+??? ??=*1ln 1ln 1)(z z B k z u z u χχ (14) 式中：*u 为水流的剪切流速，ρτ=*u 或y gS u 0=*(针对薄层水流)，其中τ和ρ分别为流动界面的剪切力和水的密度。以剪切流速计算所得雷诺数为剪切雷诺数υk

u **=Re ；χ为常数，对路表流动，χ=0.4；B ke z χ-=1且k =z 1+z 0，k

为粘性底层厚度，其值可通过水力学公式求得；参数B 为剪切雷诺数的函数，当*Re >70时，B =8.5、当*Re <7时，*-=Re ln 62.15.11B 。

在公式(14)中，受路表绝对粗糙度的影响，z 值的选取应从(z -z 0)处开始。

???

? ??-=*10ln )(z z z u z u χ (15) 将上式从z =z 1+z 0到z =h =y +z 0积分，可得：

]ln [11z y z y y u q +-???? ??=*

χ (16) 因z 1远小于y ，所以上式可修改为：

]1[ln 1-???

? ??=

*z y y u q χ (17) 将v =q /y 带入上式，则： ]1[ln 11-???

? ??=*z y u v χ (18) 当z =h ，流速为水流表面流速，为流速分布中的最大值：

???

? ??=*1max ln 1z y u u χ (19) 比较公式(18)和(19)，即可得出水流最大流速和平均流速的关系。两者的比值是水深、雷诺数、粘性底层厚度等参数的函数，定义符号w 为平均流速与最高流速的比值，则w 有如下规律：

Re<500(层流) w =0.67

500

Re>1250 w =0.8

根据比值w 的结果，则可首先求解出平均流速，则进一步可计算水流的最大流速。

θ

如图所示，为初速度为v 1的水流顺边坡流下的示意图。要想求解坡面上任意一点的流速v 2，需首先确定水流动的加速度a 。a 值可通过坡面汇流时间公式确定：

467.01445.1???? ??=i L m t S (20)

则： 141.21

455.0t m i L S = (21) 对初速度为0的加速运动，时间和距离的关系为：

2/2at L S = (22)

比较上两式，可近似认为坡面水流的加速度为：

1

91.0m i a = (23) 初速度v 1加速度a 呈夹角2θ，即坡面流的初速度和加速度方向不一致，坡面流将做初速度为v 1的抛物线运动。假设坡面的粗糙度系数为m 2，坡度为p i ，边坡上一点D 至土路肩边缘的高度为H 。则坡面流的加速度a 及时间t 1时刻的速度v 2为：

291.0m i a p

= (24)

112at v v += (25)

速度为标量，为此，可在边坡局部范围内设置x 、y 坐标系。则：

???????+=+=+===22222

11112112sin cos y x y y x x v v v at v at v v v v v θθ (26) 由于道路横坡值较小，为了确定夹角2θ，可忽略道路横坡值，认为路面是水平面，则：

p y H L θ= (27)

p ctg H B θ=1 (28)

DF 平行于v 1的方向，在三角形△DEF 中：

111θθθctg Hctg ctg B L p x == (29)

112cos sin tan θθθθθθctg H ctg Hctg L L p p

p y x === (30) 显然，当?=0p θ时(路面和坡面在一个平面内)，得到12tan θθctg =，即有1290θθ-?=；当?=90p θ时(路面和坡面垂直)，得到0tan 2=θ，即有?=02θ。

因坡面流在y 方向的分运动为具有初速度v 2y 的等加速直线运动，因此坡面流在y 方向的运动距离L y 与运动时间t 2的关系可表示为：

21122

1at t v L y y += (31) 或： 02

11221=-+y y L t v at (32) 解方程可知： a

aL v v t y y y 22221+±-=

(33) 由于时间为正数，故： a aL v v t y y y 22221++-= (34)

将公式合并，即可得坡面上任何一点的流速v 2。然后可根据边坡所用材料的允许流速指标来确定边坡的冲刷状况。

路堑边坡

对路堑边坡的坡面，水流从雨水充分润湿坡面材料后开始形成径流，即可以看作是初速度为0的流动，且其流动的方向和边坡的坡度方向一致，即垂直于等高线的方向。对路堑边坡水流流速的求解，可采用曼宁公式中单宽流量和水深的关系式来进行。

2/103/51S h n

q = (35) 上式中：q 为单宽流量；n 为曼宁系数；h 为水深；S 0为坡面坡度。上式可变成如下形式：

6.00???

? ??=S nq h (36)