宁夏银川一中2021届高三第五次月考数学(理科)试题 含答案

银川一中2021届高三年级第五次月考

理 科 数 学

命题人：

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．设集合{}35|A x x =<<，{}

2

|340B x x x =--<，则A

B =.

A ．?

B ．{}|25x x <<

C ．5{|}4x x <<-

D ．{|34}x x <<

2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是Z (1，2），则=?z i A ．12i +

B ．2i -+

C ．12i -

D ．2i --

3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()

t n （单位：小时）大致服从的关系为(

)0

n N t n n N <=≥（0t 、0N 为常数）.已知第16天检测过

程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检

测过程平均耗时大致为 A ．16小时

B ．11小时

C ．9小时

D ．8小时

4．直线1:+10l ax y a +-=，直线1:420l x ay +-=，则“2a =±”是“l 1∥l 2”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

5

．若cos()12

x π

+=5(12

x π∈，11)12π，则cos()6x π-值为 A ．35

B ．

4

5 C ．35-

D ．45

-

6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2

113234m m m a a a -+-+=，

214038m S -=，则m =.

A ．1000

B ．1010

C ．1020

D ．1030

7．如右图所示，等边ABC ?的边长为2，//AM BC ，且6AM =. 若N 为线段CM 的中点，则AN BM ?= A ．24 B ．23 C ．22

D ．18

8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有 刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问积 几何．”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底 面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积

是多少？”(已知1丈为10尺)该锲体的三视图如图所示，则该楔体的体积为 A ．12000立方尺 B ．11000立方尺 C ．10000立方尺 D ．9000立方尺 9．函数1

41

x

y e x =

--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是

A B C D 10．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21

()1

x g x x -=

-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，

，66(,)x y ，则126126x x x y y y ++

++++

+=

A ．0

B ．6

C ．12

D ．18

11．若函数()()2

122ln 2

ax f x a x x =+--在区间1,12?? ???内有极小值，则a 的取值范围是

A ．1,e ?

?-∞- ???

B ．(),1-∞-

C ．()2,1--

D ．(),2-∞-

12．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知25c =5

2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3

cos 8

CAO ∠=

，则ABC ?的面积为 A ．35B ．

554

C ．

552

D 55

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知5

1

cos sin =+x x ，π≤≤x 0，则=x tan . 14．已知函数233

1)(23

+--=

x x x x f ，则函数()x f 的 极大值点为_________.

15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，

AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的

中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为_____. 16．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一

行为2，第二行为4，6，第三行为8，10，12，第四行为 14，16，18，20，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行， 第j 列的数记为,i j a ，比如3,210=a ，4,216=a ，5,424=a ， 若,2020=i j a ，则i j +=________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分) 17．（本题满分12分）

在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 已知3a =，2c =

45B =?．

（1）求sin C 的值；

（2）在边BC 上取一点D ，使得4

cos 5

ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 18．（本题满分12分）

在数列{}n a 中，11

2

a =，1(42)(21)n n n a n a +-=+. （1）设21

n

n a b n =

-，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：3n S <. 19．（本题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b

+=>>6

右焦点为(22,0)，斜率为1的直线l 与

椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形P AB ，顶点为(3,2)P -.

（1）求椭圆G 的方程； （2）求PAB ?的面积. 20．（本题满分12分）

如图，PD ⊥平面ABCD AD CD AB CD PQ CD ⊥，，∥，∥，

222AD CD DP PQ AB =====，点E F M ，，分别为AP CD BQ ，，的中点.

（1）求证：EF ∥平面MPC ； （2）求二面角Q PM C --的正弦值；

（3）若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面PMQ 所成的角为

6

π

，求线段QN 的长. 21．（本题满分12分）

已知函数()()()3

214613x f x x e

x x g x a x lnx -?

?=-+-=--- ??

?，．

（1）求函数()f x 在()0+∞，

上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数

()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；

（3）证明：()

*111

11

ln 312

313n N n n n n n

++++

+>∈++-．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为?

?

?==αα

sin 2cos y x （α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换

?

??==y y x

x '2'后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．

（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；

（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数()413f x x x =-+--. （1）解不等式()2f x ≤；

（2）方程()20f x kx +-=解集非空，求k 的取值范围.

银川一中2021届高三第五次月考数学(理科)参考答案

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B C

C

A

B

B

C

D

D

C

D

二、

填空题

13．﹣ 14. -1 15. 58

16. 71 三、解答题

17.【解析】（1）由余弦定理，得22222

cos cos 452262

a c

b B a

c +-=?===

， 因此25b =，即5b =sin sin c b C B =，得25

sin 22

C =，因此5

sin C =． （2）∵4cos 5ADC ∠=-，∴2

3sin 1cos 5

ADC ADC ∠=-∠=，

∵(,)2ADC ππ∠∈，∴(0,)2C π∈，∴25

cos 1sin 5

C C =-=，

sin sin()sin()DAC DAC ADC C π∠=-∠=∠+∠25sin cos cos sin ADC C ADC C =∠+∠=，∵

(0,)2

DAC π

∠∈，

∴2115

cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠=

=∠． 18．【解析】（1）因为1121n n a b n ++=+，1(42)(21)n n n a n a +-=+，所以11(21)1(21)2n n n n

b n a b n a ++-==+. 又11b =，所以{}n b 是首项为

12，公比为1

2

的等比数列. 于是1

111

21222

n n n n a b n -??=== ?-??，故212n n

n a -=. （2）2313521

2222n n n S -=+++???+

. 234111352122222

n n n S +-=++++. 以上两式相减得

211111

1212222

22n n n n S +-=++++-1111

121

22212212

n n n +-?

-=+

--. 故23

332

n n

n S +=-

<. 19. 【解答】（1）由已知得622,

c c a ==，解得23a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的

方程为

22

1124

x y +=. （II ）设直线l 的方程为y x m =+，由221124

y x m x y =+???+

=??得，22

463120x mx m ++-=…①.

设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y 12()x x <，AB 中点为00(,)E x y ，

则120003,244

x x m m

x y x m +==-=+=.

因为AB 是等腰PAB ?的底边，所以PE AB ⊥.

所以PE 的斜率241334

m k m -

=

=--+

，解得2m =. 此时方程①为2

4120x x +=，解得123,0x x =-=，所以121,2y y =-=.所以||32AB =.此时，

点(3,2)P -到直线AB ：20x y -+=的距离32

22

d ==， 所以PAB ?的面积19

||22

S AB d =

?=. 20.【解析】（Ⅰ）连接EM ，因为AB CD PQ CD ∥，∥，

所以AB PQ ∥，又因为AB PQ =，所以PABQ 为平行四边形. 由点E 和M 分别为AP 和BQ 的中点， 可得EM AB ∥且EM AB =，

因为2AB CD CD AB F =∥，，为CD 的中点，

所以CF AB ∥且CF AB =，可得EM CF ∥且EM CF =， 即四边形EFCM 为平行四边形，所以EF ∥MC ， 又EF MPC ?平面，CM MPC ?平面， 所以EF MPC ∥平面.

（Ⅱ）因为PD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，可以建立以D 为原点，分别以DA DC DP ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系.

依题意可得()()()()000200210020D A B C ，

，，，，，，，，，，， ()()()002012111P Q M ，，，，，，，，.

()()()()111010111022PM PQ CM PC =-==-=-，，，，，，，，，，，设()1n x y z =，，为平面PMQ

的法向量，

则11

0n PM n PQ ??=???=??，即00x y z y +-=??=?，不妨设1z =，

可得

)

1,0,1(1=n

设()2n x y z =，，为平面MPC 的法向量，

则22

00n PC n CM ??=???=??，即2200y z x y z -=??-+=?，不妨设1z =，

可得()2=011n ，，.121212

1cos 2n n n n n n ?==?，，于是123sin 2n n =

，.

所以，二面角Q PM C --

的正弦值为

2

. （Ⅲ）设()01QN QC λλ=≤≤，即()02QN QC λλλ==-，，

，则()0122N λλ+-，，. 从而()01

22DN ，，λλ=+-. 由（Ⅱ）知平面PMQ 的法向量为()11

01n =，，， 由题意，1

11

sin cos 6DN n

DN n DN n ，π

?==?，即1

2=

整理得231030λλ-+=，解得1

3

λ=或3λ=， 因为01λ≤≤所以13λ=，所以115

33QN QC QN QC ===，.

21.【解析】（1）因为()()32

46x f x x e x x -=-+-，

所以()()()()

3

332632x x f x x e

x x e --=-+-='-+，

令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；

当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；

所以函数()f x 在()0+∞，

上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()(

)

3

32x f x x e

-'=-+，

当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；

当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}

0h x max f x g x '=≥，恒成立，

所以()0g x ≥在()03，

上恒成立， 所以11ln 03a x x ?

?---≥ ??

?，即11ln 3x

a x

+-

≥在()03，

上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()1

3max a F x -≥，由()()221ln 1ln x x F x x x

-+-'=

=， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[

)13，上单调递减，

所以()()11max F x F ==， 所以113a -≥，即43

a ≥， 综上可得4

3

a ≥

. （3）证明：设()()10x m x e x x =-->，则()10x

m x e '=->，

所以()m x 在()0+∞，

上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111

1

1111131

2

3123331

12313n n n n

n n n n

n n n n n e

e e

e

e

n n n n n

++++++++++++=???????>

????????

++- 123331231n n n n

n n n n +++>

???????=++-， 所以11111

ln 312313n n n n n +

++++>++-.

22.解析：（1）因为曲线1C 的参数方程为{ 2x cos y sin α

α

==（α为参数）

， 因为2{ .x x y y ''==，，则曲线2C 的参数方程2{ 2.

x cos y sin αα''==，．

所以2C 的普通方程为22

4x y ''+=．

所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆． 所以2C 的极坐标方程为2

4ρ=，即2ρ=． （2）直线l 的普通方程为100x y --=．

曲线2C 上的点M 到直线l 的距离|22cos(+

)10|

4

2

2

d π

α-=

=

当cos +

=14πα?? ??

?即()=24

k k Z π

απ-∈时， d 2=5222

． 当cos +=14πα?

?- ???即()3=24k k Z παπ+∈时， d |22+10|522

+．

23.【解析】()2214130

14284x

x f x x x x x x -≤??

=-+--=<

()2f x ≤，即1432x x -+--≤

所以1222x x ≤??

-≤? 或1402x <

282

x x ≥??-≤?解得01x ≤≤或14x <<或45x ≤≤

解集为{}

05x x ≤≤

（2）等价于114kx x x +=-+-有解

即函数1y kx =+和函数14y x x =-+-的图像有交点

52114314254x

x y x x x x x -≤??

=-+-=<

画出14y x x =-+-的图像，直线1y kx =+恒过点()0,1P ,

即直线1y kx =+绕点P 旋转时，与函数图象14y x x =-+-有交点时斜率的范围. 如图，当直线1y kx =+过点B 时刚好满足条件，当旋转到斜率为2-，刚好不满足条件,

1

2

BP k =

所以k 的取值范围为()1,2,2??-∞-+∞????