高中数学专题—函数中的证明题

高中数学专题——函数中的证明题

一、偶函数证明

1、我们把定义在R 上，且满足)()(x af T x f =+（其中常数T a ,满足0,0,1≠≠≠T a a ）的函数叫做似周期函数．若某个似周期函数)(x f y =满足1=T 且图像关于直线1=x 对称．求证：函数)(x f 是偶函数；

证明：因为R x ∈关于原点对称，又函数)(x f y =的图像关于直线1=x 对称， 所以)1()1(x f x f +=-……①， 又1=T ，,)()1(x af x f =+∴ ……② 用x -代替x 得,)()1(x af x f -=+-……③ 由①②③可知,)()(x af x af -=01≠≠a a 且 ，

)()(x f x f -=∴．即函数)(x f 是偶函数；

二、唯一零点证明

2、设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R *=++∈∈. 设2,1,1n b c ==-≥，证明：()n f x 在区间

1

(,1)2

内存在唯一的零点； 证明：因为 n 1

()<02

f ，n (1)>0f 。 所以n 1

(

)2

f ?n (1)<0f 。 所以n (x)f 在1

(1)2，内存在零点。 12121212121

x (,1),x <(x )-f (x )=(x -)+(x -x )<02n n n n x x f x ∈任取、且，则，

所以n (x)f 在1(1)2，内单调递增，所以n (x)f 在1(1)2

，内存在唯一零点。 三、函数中的不等式证明

3、已知函数2

()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.

证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；

证明：由已知可得()11f a b =++，()11f a b -=-+，对称轴为2

a x =-， 因为2a ≥，所以12a -

≤-或12

a

-≥，

所以函数()f x 在[]1,1-上单调， 则()()(){}{},max 1,1max 1,1M a b f f a b a b =-=++-+，

所以()()()()111

,1+11(1)22222

M a b a b a b a b a b a a ≥

++-+≥++--+≥=≥， 从而得证.

四、单调性证明

4、设121()log 1ax

f x x x -=+-为奇函数，a 为常数．

求出a 的值并证明函数()f x 在(1,)x ∈+∞ 上的单调递增. 解：

1

21()log 1

ax

f x x x -=+- 为奇函数，

()()0f x f x ∴-+=对定义域内的任意x 都成立，

1

122

11log log 011ax ax

x x x x +-∴-++=---，11111ax ax x x +-∴?=--- ， 解得1a =-或1a =（舍去）. 证明：

1

2

1()log 1x

f x x x +=+-， 任取12,(1,)x x ∈+∞ ，设12x x < ，则

1221

121211011(1)(1)

x x x x x x x x ++--=>----， 121211011x x x x ++∴

>>-- 1211122211log log 11x x x x ++∴<-- 12

1112122211log log 11

x x x x x x ++∴+<+--

12()()f x f x ∴< ()f x ∴ 在(1,)x ∈+∞ 上是增函数.

五、反函数的存在性证明 5、已知函数9

()||f x x a a x

=--+，[1,6]x ∈，a R ∈．当()3,1∈a 时，求证函数()f x 存在反函数．

证明：因为13a <≤，所以92(),1,()9,6,a x x a x

f x x a x x ?

-+≤≤??=??-<≤??

当13a <≤时，()f x 在[1,]a 上是增函数——证明略， 同理，()f x 在[,6]a 上也是增函数——证明略； 当13a <≤时，()x f y =[]6,1∈x 上是增函数 所以任意一个[]6,1∈x ，均能找到唯一的y 和它对应， 所以()x f y =[]6,1∈x 时，()f x 存在反函数。

六、新定义证明：

6、对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ?，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，． 则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．

求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； 证明：函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，

， 不满足“保值函数”的定义，因此函数2

()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”． 七、函数中的单调性证明与反证法

7、已知函数2

()1

x x f x a x -=+

+，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．

（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =． 证明：（1）任取121x x -<<，1212121222

()()11

x x x x f x f x a a x x ---=+

--++ 1212

12121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ??---=-+-=-+ ?

++++??

． 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，

于是120x x a a -<，

12123()

0(1)(1)

x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数． （2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，

即方程2

01x x a x -+=+有负实数根．

对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ????

∈ ? ?????

，（10分）

而0

0023

1(,1)(2,)11

x x x --=-+∈-∞-+∞++． 因此，不存在负实数0x 使得2

1

x x a x -=-+，得证．

八、函数恒成立证明 8、已知函数t

x f x

+-

=22

1)(（t 是常实数）．若存在实数t 使得()y f x =是奇函数，证明()y f x =的图像在1()21x g x +=-图像的下方．

证明：由()y f x =是奇函数得1t =，所以1

()121

x f x =-

+ 2()()1(221)21

x

x

f x

g x -=-

-?-+， 0)]12(2122

[4)()(≤+++-=-x x x g x f

当“=”成立时，必有2

2(21)21x x

=++，即20x =，此式显然不成立． 所以对任意实数x 都有)()(x g x f <

即()y f x =的图像在1()21x g x +=-图像的下方． 九、抽象函数证明

9、在+

R 上的递减函数()f x 同时满足：（1）当且仅当x m

∈+R +时，函数值()f x 的集

合为[]0,2；（2）112f ??

= ???

；（2）对M 中的任意1x 、2x 都有()()()1212f x x f x f x ?=+；（4）()y f x =在M 上的反函数为1()f x -． （1）求证：

14M ∈，但1

8

M ?； （2）求证：1111212()()()f x f x f x x ---?=+； 证明：（1）因为

12M ∈，又111

=+422

，112f ??

= ???

， 所以[]1111120,242222f f f f ????????=?=+=∈ ? ? ? ?????????

，所以

1

4M ∈. 又因为[]1111130,284242f f f f ????????=?=+=? ? ? ? ?????????

，所以18

M ?. （2）因为()y f x =在M 上递减，所以()y f x =上有1()f x -，[]0,2x ∈， 任取1x 、[]20,2x ∈，设111()y f x -=，122()y f x -=， 所以()11x f y =，()22x f y =（12,y y M ∈） 因为()()()121212x x f y f y f y y +=+=， 所以1

1212()y y f x x -=+，又111212()()y y f x f x --=，

因此，1

111212()()()f

x f x f x x ---?=+.

十、至多与至少问题证明

10、已知函数f (x )=log 4(4x +1)，g (x )=(k –1)x ，记F (x )=f (x )–g (x )，且F (x )为偶函数． （1）求实常数k 的值；

（2）求证：当m ≤1时，函数y=f (2x )与函数y =g (2x+m )的图象最多只有一个交点． 解：(1)F (x )= log 4(4x +1)–(k –1)x ，

因为F (x )为偶函数，所以F (–x )= F (x ) log 4(4x +1)–(k –1)x = log 4(4–x +1)+(k –1)x 所以(2k –2)x =x ， 因为x ∈R ，所以k =

2

3 证明：(2)因为 f (2x ) =g (2x+m )， 所以log 4(42x +1)=

2

1

(2x+m )，即42x –4x 2m +1=0 又m ≤1，所以?=4m –4≤0， 当m =1时，方程有唯一解x =0，

当m <1时，方程无解，所以方程最多只有一解， 即两个函数图象最多只有一个交点。 十一、周期性证明

11、已知函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈． 若函数()11|()||()|()21223

g x f x f x x R ππ

=

+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，并用反证法证明函数()g x 的最小正周期是4

π

； 证明：()2sin(2)()6

f x x x R π

=-

∈，

∴11()|()||()||sin 2||cos 2|()21223

g x f x f x x x x R ππ

=+++=+∈．

又对任意x R ∈，有()|sin(2)||cos(2)||sin 2||cos 2|()g x x x x x g x -=-+-=+=， ∴函数()g x 是偶函数． ∵()|sin 2()||cos 2()||cos 2||sin 2|()444

g x x x x x g x π

ππ

+

=+++=+=， ∴()g x 是周期函数，4

T π

=是它的一个周期．

现用反证法证明4

T π

=

是函数()g x 的最小正周期。

反证法：假设4

T π

=

不是函数()g x 的最小正周期，设11(0)4

T T π

<<

是()g x 的最小正周期．

则1()()g x T g x +=，即11|cos(22)||sin(22)||sin 2||cos2|x T x T x x +++=+． 令0x =，得11sin 2cos21T T +=，两边平方后化简，得11sin 2cos20T T ?=，这与

11sin 20cos20T T ≠≠且(1022

T π

<<

)矛盾．因此，假设不成立．

所以，函数()g x 的最小正周期是4

π

． 十二、函数中的非命题式证明

11、设b

a

x f x x ++-=+122)(（b a ,为实常数）．当1==b a 时，证明：)(x f 不是奇函数；

证明：略！——非命题，举出反例即可。

十三、函数中的充要性证明（2017年上海高考真题）

12、设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x ，2x R ∈，当12x x <时，均有

12()()f x f x ≤.

①若3()1f x ax =+，求实数a 的取值范围； ②若()f x 为周期函数，求证：()f x 为常值函数；

③设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上且恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值，函数()()()h x g x f x =?，求证：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 为常值函数”. 解析：（1）根据已知条件，当21x x <时，()()21x f x f ≤，故()()()

02

23

121≤-=-x x a x f x f ，

根据恒成立思想，0≥a ；

（2）根据周期函数的定义可知：()()T x f x f +=，

1°当x 在一个周期内，即：[]T x x x +∈00,代入得：()()()T x f x f x f +≤≤00，又因为

()()T x f x f +=00，故()()()T x f x f x f +==00；

2°当[]T x T x x 2,00++∈时 ，()()()T x f x f T x f 200+≤≤+，又因为()()T x f x f +=， 故()()()T x f x f T x f 200+==+，

3°同理可得：当[]T k x kT x x )1(,00+++∈时，依然成立；

从而可得：R x ∈时，()x f 为常值函数；

（3）①充分性：若()x f 是常值函数，求证()x h 是周期函数；

证明：令()t x f =，则()()x g t x h ?=，因为()x g 是周期函数，设周期为T ，故满足：

()()()()x h x g t T x g t T x h =?=+?=+，从而()x h 为周期函数；

②必要性：若()x h 是周期函数，设周期为T ，求证()x f 是常值函数；

证明：1°当()x g 是常值周期函数时，令()()0>=M M x g ，则()()x f a x h ?=，则

()()()()x f M x h t x f M T x h ?==+?=+，因为0≠M ，故()()x f T x f =+，由（2）结

论可知，()x f 为常值函数，从而得证；

2°当()x g 非常值周期函数时，设()x g 周期为g T ，()x h 的周期为k T ， 若存在21,x x ，使得()01>x f ，()02

因为21x x >，假设存在正整数1N 使得112x T N x k >+，所以

()()0112>>+x f T N x f k ，且()()212x h T N x h k =+，又因为：()()()0222<=x f x g x h ，

代入：()()()()21212120x h T N x f T N x g T N x h k k k ≠>++=+，与假设矛盾，综上： 要么()0=x f 恒成立，要么()()021>x f x f 同号恒成立。

①若()0>x f 恒成立，任取A x ∈0，则必存在N N ∈2，使得g k T x T N x -≤-020， 即：[]

[]02000,,x T N x x T x k g -?-，

()()()()()()k k k T N x f T N x g T N x h x f x g x h 202020000--=-=?=，

因为()()0200>-≥=k T N x g M x g ，()()0200>-≥k T N x f x f ， 因此若()()k T N x h x h 200-=，必有()()k T N x g M x g 200-==，

则可得：()()k T N x f x f 200-=，随着自变量区间变化，由（2）结论可得，

()C x f =为常值函数。

②若()0

③若()0=x f ，则为常值函数，恒成立。综上：结论成立！