全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线

一、知识概述

1、角的平分线的作法

（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.

（2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.

（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）

指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.

（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.

2、角平分线的性质

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.

（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形.

（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.

指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.

（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.

4、三角形的角平分线的性质

三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.

指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.

（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.

二、典型例题剖析

例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.

例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC.

例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF（）

A．大于EF B．小于EF

C．等于EF D．与EF的大小无法比较

例4、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．

例5、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．

例6、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.

三、中考解析

1、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）

A．6cm B．7cm

C．8cm D．9cm

2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC

3、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB 于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.

4、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．

(1)求证：BF=AC；

(2)求证：CE=BF；

(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．

5、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°

6、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：

7、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.

求证：BD=2CE.

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