北京市东城区初三数学二模试题及答案

北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二） 数 学 试 卷 2013.6

学校

班级 姓名 考号

考

生

须

知

1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 3的相反数是 A ． 3-

B ．3

C ．

13 D ． 1

3

-

2. 太阳的半径大约是696 000千米，用科学记数法可表示为

A ．696×103千米

B ．6.96×105千米

C ．6.96×106千米

D ．0.696×106千米 3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是

A B C D 4．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 A.3sin α B.3cos α

C.

α

sin 3

D.

α

cos 3

5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为 A ．

16

B ．

14

C ．

13

D ．

12

6. 若一个多边形的内角和等于720?，则这个多边形的边数是 A ．5 B ．6

C ．7

D ．8

7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：

成绩（m ） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数

1

2

4

3

3

2

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A ．1.65，1.70 B ．1.70，1.70

C ．1.70，1.65

D ．3，4

8. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O 的半径为1，动直线AB 与x 轴交于点(,0)P x ，直线AB 与x 轴正方向夹角为45?，若直线AB 与⊙O 有公共点，则x 的取值范围是 A ．11x -≤≤ B ．22x -<<

C ．02x ≤≤

D ．22x -≤≤

二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 在函数2

3

-=

x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10. 分解因式：244mn mn m ++= ．

11. 如图，已知正方形ABCD 的对角线长为22，将正方

形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中折成的4个阴影三 角形的周长之和为 .

12. 如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线

与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与

1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分

线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=, 则1A ∠＝ ；n A ∠＝ . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13. 计算：1012cos 45()8(3)4

-?----π-． 14. 解分式方程：211

322x x x

--=--．

15. 已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边

BC ，AD 上的点，且12∠=∠. 求证：AE=CF .

16. 已知2410x x -+=，求

2(1)6

4x x x x

-+--的值.

17. 列方程或方程组解应用题：

我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的

1

5

，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13 800m 3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m 3）？ 18. 如图，一次函数1y x =--的图象与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ，与反比例函数k

y x

=图象的一个 交点为M （﹣2，m ）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 是反比例函数k

y x

=

图象上一点， 且2BOP AOB S S =△△，求点P 的坐标．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．某中学九（1）班同学为了解2013年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分

家庭，并将调查数据进行如下整理. 月均用水量x (吨)

频数(户)

频率 05x <≤ 6 0.12 510x <≤ 0.24 1015x <≤ 16 0.32 1520x <≤ 10 0.20 2025x <≤ 4 2530x <≤

2

0.04

请解答以下问题：

（1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；

（2）求该小区用水量不超过15吨的家庭占被调查家庭总数的百分比；

（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20吨的家庭

大约有多少户？

20． 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中

点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E .

(1）求证：AM =2CM ；

（2）若12∠=∠，23CD =，求ME 的值.

21．如图，点A ，B ，C 分别是⊙O 上的点，∠B =60°，AC =3，CD

是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC ． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．

22. 阅读并回答问题：

数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下：

作法：①在OA ，OB 上分别截取OD ，OE ，使OD =OE . ②分别以D ，E 为圆心，以大于

1

2

DE 为半径作弧，

两弧在AOB ∠内交于点C.

③作射线OC ，则OC 就是AOB ∠的平分线

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下：

作法： ①利用三角板上的刻度，在OA ，OB 上分

别截取OM ，ON ，使OM =ON . ②分别过以M ，N 为OM ，ON 的垂线，交于点P .

③作射线OP ，则OP 就是AOB ∠的平分

线.

小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情境，解决下列问题：

（1） 小聪的作法正确吗？请说明理由；

（2） 请你帮小颖设计用刻度尺作AOB ∠平分线的方法.（要求：不与小聪方法相同，

请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）.

五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2

=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2）求证：抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；

（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2

=--+-x m x m 有两个不相等的

整数根时，把抛物线1)2()1(2

--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

24. 在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，E 是AB 边上一点，EF CE ⊥交AD 于点F ，过

点E 作AEH BEC ∠=∠，交射线FD 于点H ，交射线CD 于点N . （1）如图1，当点H 与点F 重合时，求BE 的长；

（2）如图2，当点H 在线段FD 上时，设BE x =，DN y =，求y 与x 之间的函数关系

式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）连结AC ，当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段DN 的长.

25．定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离. 已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中的四点.

（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____；

当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是______ .

（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d.

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长.

北京市东城区2012--2013学年第二学期初三综合练习（二）

数学试卷参考答案

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

三、解答题：（本题共30分，每小题5分）

13. 解：101

2cos 45()(4

π

-?-- =2(4)214---L L 分

3=. ………5分

14. 解： 211322

x x x -+=-- ………………1分 去分母得2113(2)x x -+=-

解得6x =. ………………4分

经检验：6x =是原方程的根.

所以原方程的根为6x =. ………………5分

15. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AB=CD ，∠B=∠D .…………………………2分

在△ABE 与△CDF 中，

12.AB CD B D ∠=∠??=??∠=∠?

，，

∴△ABE ≌△CDF .…………………………4分

∴AE=CF .………………………………5分

16. 解: 2(1)64x x x x -+-- 2(1)(4)(6)=(4)x x x x x x ---+- 22424=4x x x x

-+- 2410x x -+=Q ，24=1x x ∴-- .

22424124==23.41x x x x -+-+=---原式 ………………………………………5分

17. 解：设中国人均淡水资源占有量为x m 3，美国人均淡水资源占有量为y m 3． 根据题意得：5,13800.y x x y =??+=?

……………………………………………2分 解得：2300,11500.

x y =??=? ……………………………………………4分 答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2 300m 3，11 500m 3．………………………5分

18．解: (1) ∵M （﹣2，m ）在一次函数1y x =--的图象上，

∴ 211m =-=.

∴ M （﹣2，1）.

又M （﹣2，1）在反比例函数k y x =

图象上， ∴2k =-.

∴2y x

-=. ……........................3分 (2)由一次函数1y x =--可求(10)A -，，(0,1)B -.

∴11

122112

AOB S OB OA ?=???=?=. ∴21=BOP AOB S ??=.

设BOP ?边OB 上的高位h ，则=2h . 则P 点的横坐标为2±.

把P 点的横坐标为2±代入2y x

-=可得P 点的纵坐标为1m . (2,1)P ∴-或(2,1)P -. ……5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：（1） 表格：从上往下依次是：12，0.08；图略； ……3分

（2）68％；……4分

（3）120户. ……5分

20．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形．

∴BC//AD .

∴△∽△CFM ADM . ∴CF CM AD AM =. ∵F 为边BC 的中点，

∴1

1

22CF BC AD ==.

∴1

2CF

CM AD AM ==.

∴2AM MC =. ……………………2分

（2）∵A B//DC ，

∴ 1=4∠∠.

∵1=2∠∠,

∴ 2=4∠∠.

∵ME ⊥CD ，

∴1

2CE CD =.

∵四边形ABCD 是菱形，

∴ 3=4∠∠.

∵F 为边BC 的中点，

∴1

2CF BC =.

CF CE ∴=.

在△CMF 和△CME 中，

3=4∠∠，CF =CE ，CM 为公共边， ∴△CMF ≌△CME ．

∴ =90CFM CEM ∠∠=?.

∵2=34∠∠=∠,

∴2=3430∠∠=∠=?.

∴3ME CE =. ∵223CD CE ==,∴3CE =.

∴1ME =. ……………………………5分

21．解：（1）证明：连接OA ．

∵∠B =60°，∴∠AOC =2∠B =120°．

又∵OA=OC ，∴∠ACP =∠CAO =30°．∴∠AOP =60°．

∵AP=AC ，∴∠P =∠ACP =30°．

∴∠OAP=90°，∴OA ⊥A P ．

∴ AP 是⊙O 的切线． …………………2分

（2）解：连接AD ．

∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD =90°．

∴AD =AC ?tan30°=33=3?． ∵∠ADC =∠B =60°，∴∠P AD =∠ADC ﹣∠P =60°﹣30°=30°．∴∠P =∠P AD ． ∴PD=AD =3． …………………5分

22．解：（1）小聪的作法正确. …………………1分

理由：∵PM ⊥OM , PN ⊥ON ，

∴∠OMP =∠ONP =90°.

在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，

∵OP=OP ,OM=ON ，

∴Rt △OMP ≌R t △ONP （HL ）.

∴MOP NOP ∠=∠.

∴OP 平分∠AOB . …………………2分

（2）解：如图所示. …………………3分

作法：①利用刻度尺在OA ，OB 上分别截取OG=OH .

②连结GH ，利用刻度尺作出GH 的中点Q .

③作射线OQ ，则OQ 为∠AOB 的平分线. …5分

五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．解：（1）22

(2)4(1)m m m ?=-+-=.

∵方程有两个不相等的实数根，

∴0≠m .……………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ，

∴m 的取值范围是01m m ≠≠且.………………………………………………………2分

（2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m . ∴)1(2)2()1(2)2(2-±--=-±--=m m m m m m x . ∴1)

1(221-=--+-=m m m x ，11)1(222-=-++-=m m m m x . …………………………………4分 ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,11-m ）.

∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（1,0-）.……5分

（3）∵1-=x 是整数 ∴只需1

1-m 是整数. ∵m 是整数，且01m m ≠≠且,

∴2=m .…………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12

-=x y ．

把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 861)3(22+-=--=x x x y .…………………………………………………7分

24．解：（1）∵EF EC ⊥，

∴90AEF BEC ∠+∠=?.

∵AEF BEC ∠=∠，

∴45BEC ∠=?.

∵90B ∠=?，∴BE BC =.

∵3BC =，∴3BE =.…………………2分

（2）过点E 作EG CN ⊥，垂足为点G .

∴BE CG =.∵AB ∥CN ，∴AEH N ∠=∠，BEC ECN ∠=∠.

∵AEH BEC ∠=∠，∴N ECN ∠=∠.∴EN EC =.

∴22CN CG BE ==.

∵BE x =，DN y =，4CD AB ==，

∴()2423y x x =-≤≤.…………………4分

（3）∵矩形ABCD ，

∴90BAD ∠=?.∴90AFE AEF ∠+∠=?.

∵EF EC ⊥ ，∴90AEF CEB ∠+∠=?.

∴AFE CEB ∠=∠.∴HFE AEC ∠=∠.

当以点E ，F ，H 为顶点的三角形与AEC ?相似时，

ⅰ）若FHE EAC ∠=∠，

∵BAD B ∠=∠，AEH BEC ∠=∠，∴FHE ECB ∠=∠ .∴EAC ECB ∠=∠.

∴tan tan EAC ECB ∠=∠，∴BC BE AB BC =.∴94BE =.∴12DN =. ⅱ)若FHE ECA ∠=∠，如图所示，记EG 与AC 交于点O . ∵AEH BEC ∠=∠，∴AHE BCE ∠=∠.

∴ENC ECN ∠=∠.

∵EN EC =，EG CN ⊥， ∴12∠=∠.

∵AH ∥EG ，∴1FHE ∠=∠.∴2FHE ∠=∠.

∴2ECA ∠=∠. ∴EO CO =.

设3EO CO k ==，则4,5AE k AO k ==，

∴85AO CO k +==. ∴58k =

. ∴52AE =，32

BE =. ∴1DN =. 综上所述，线段DN 的长为12

或1. ………………7分 25.解：（1）2，5； ………………4分

（2）当24m ≤≤时，(22)d n n =-≤≤；

当46m ≤≤时，2d =. ………………6分

（3）16+4π. ………………8分