数学建模竞赛习题

第一题： 解：

问题分析与模型建立：用y 表示各位经理人的人寿保险额，用1x 表示各位经理人的平均收入，由题目可以得到，经理的年收入和人寿保险额之间存在着二次关系，可以通过画y 对1x 的散点图进行验证。用2x 表示各位经理人的风险偏好度，它的数值越大，就越偏爱高风险。现在画出y 对1x 和2x 的散点图，观察各自的变化趋势，进行验证与趋势变化分析。

图1 人寿保险额与平均收入的关系

图2 人寿保险额与风险偏好度的关系

观察图1，随着1x 的增加，y 也有明显的线性增长趋势，可以建立线性模型

011y x ββ=+

观察图2，随2x 的增加，y 也随之增大，且向上弯曲趋势增长，可以建立二次函数模型：

2

01222y x x βββ=++

将上面两点进行结合，建立一个中体的回归模型如下：

2

0112232y x x x ββββε=++++

以上各式中，0123,,,ββββ叫做回归系数，12,x x 叫做影响y 的主要因素，主要因素是人能够进行控制的，同时y 还受到各种因素的影响，这些是人没有办法进行控制的，称为随机误差，记作ε。随机误差可以被看作是一个随机变量，在模型

选择合适的情况下，ε大致服从均值为零的正态分布。所以，模型可以完整的记做：

2

01122312

(0,)

y x x x N ββββε

εσ?=++++??∈?? y 对回归系数0123,,,ββββ是线性的，

满足线性回归条件，所以建立线性回归模型。 模型求解：

在matlab 中用命令regress 解决线性回归问题。使用格式如下： [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);

其中，b 为回归系数0123(,,,)βββββ=的估计值；bint 是b 各项的显著水平为α的置信区间；stats 是检验回归模型的统计量。

其计算结果如下： b =

-113.9272 4.4587 -6.7432 1.1390

bint =

-153.5452 -74.3091 4.0434 4.8739 -16.6588 3.1723 0.2101 2.0678

stats =

0.9920 580.5290 0.0000 61.5420 画出的残差图如下：

所以回归模型结果为：2

122113.9272 4.4582 6.7432 1.1390y x x x =-+-+

结果分析：

由上表可以看出，2R =0.9920指因变量y （人寿保险额）的99.20%可以由模型确定；F =580.5290远远大于F 检验的临界值；P =0.0000远小于α=0.05；综上，所建立的模型大致可以反映实际情况。回归系数的置信区间只有2β的自置信区间包含零点，表明回归变量2x 对因变量y 的贡献是不显著的；而013

,,βββ的置信区间不包含零点，表明回归变量2

12,x x 对因变量y 的贡献是显著的，所以

可以将2x 仍保留在模型内，故得模型为：

2

122113.9272 4.4582 6.7432 1.1390y x x x =-+-+

现我们可以认定题目中的假设是成立的，即经理的年收入和人寿保险额之间存在

着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应。 模型的改进与分析求解：

（1） 假设风险偏好度（1x ）对人寿保险额（y ）是否有二次效应，将原模型可

以修改为：

22

011223142y x x x x βββββε=+++++

进行模型求解，输出结果如下：

b =

-60.8513 0.9230 4.4829 0.0360 0.1138

bint =

-72.5979 -49.1048 0.4293 1.4168 1.7085 7.2573 0.0310 0.0409 -0.1441 0.3717

stats =

1.0e+003 *

0.0010 8.2055 0 0.0033 将stats 中数据转化为长型： stats=

0.9996 8205.5 0 3.2905 画出的残差图如下：

由上表可以看出，2R =0.9996指因变量y （人寿保险额）的99.96%可以由模型确定；F =8205远远大于F 检验的临界值；P =0.0000远小于α=0.05；综上，所建立的模型大致可以反映实际情况。回归系数的置信区间只有4β的自置

信区间包含零点，表明回归变量2

2x 对因变量y 的贡献是不显著的；而0123

,,,ββββ的置信区间不包含零点，表明回归变量2121,,x x x 对因变量y 的贡献是显著的。相

对22x 而言21x ，21x 比22x 显著，所以可以剔除22x 求回归方程。进而说明风险偏好度

对人寿保险额的二次效应不显著。所以的回归方程为：

212160.85130.9230 4.48290.0360y x x x =-+++

（2） 假设年平均收入（1x ）和风险偏好度（2x ）对人寿保险额（y ）有交互效

应。将模型修改为：

20112231241y x x x x x βββββε=+++++

进行模型求解，输出结果如下： b =

-119.7086 4.5624 -5.6875 -0.0261 1.2025

bint =

-171.2646 -68.1527 3.8576 5.2672 -17.4456 6.0706 -0.1663 0.1141 0.1790 2.2260

stats =

0.9921 409.3697 0.0000 65.4612 画出的残差图如下：

数据整理如下：

从上表可知，当加入12*x x 项后做的回归分析，得到12*x x 项的置信区间为[-0.1663 0.1141]，包含零点，回归系数包含零点，因此可以得到假设年平均收入（1x ）和风险偏好度（2x ）对人寿保险额（y ）有交互效应是不显著的，所以此种假设是不成立的。

（3） 由以上各模型的求解过程可知，12*x x 和2

2x 对人寿保险额的影响是不显著

的，因此将模型改进为：

20112231y x x x ββββε=++++

进行模型求解，输出结果如下： b =

-62.2609 0.8338 5.6919 0.0371

bint =

-73.4460 -51.0758 0.3881 1.2796 5.2665 6.1173 0.0331 0.0412

stats =

1.0e+004 *

0.0001 1.1013 0 0.0003 将stats 中的数据装化为长型为： stats=

0.99958 11013 0 3.2689 画出的残差图如下：

数据整理如下：

由上表可以看出，2R =0.9996指因变量y （人寿保险额）的99.958%可以由模型确定；F =11013远远大于F 检验的临界值；P =0.0000远小于α=0.05。检查回归系数的置信区间可以发现： 所有回归系数的置信区间都不包含零点，所以所建模型是完全可靠的，即改进的模型为：

212162.26090.8338 5.69190.0371y x x x =-+++

附matlab程序如下：

散点图1

x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];

y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; plot(x1,y,’*b’)

散点图2：

x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];

y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; plot(x2,y,’+r’)

模型求解：

y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];

x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];

x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];

x3=x2.^2;

x=[ones(18,1) x1’ x2’ x3’];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y’,x);

b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

模型的改进与进一步求解：

（1）

y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];

x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];

x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];

x3=x1.^2;

x4=x2.^2;

x=[ones(18,1) x1' x2' x3' x4'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);

b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

（2）

y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];

x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];

x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];

x3=x1.*x2;

x4=x2.^2;

x=[ones(18,1) x1' x2' x3' x4'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x);

b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

（3）

x1=[66.290 40.964 72.996 45.010 57.204 26.852 38.122 35.840 75.764 37.408 54.376 46.186 46.130 30.366 39.060 79.380 52.766 55.916];

x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6];

x3=x1.^2;

y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; x=[ones(18,1) x1' x2' x3'];

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 第二题： 解：

问题的分析与模型建立：

画出高压锅得销量与时间变化的散点图：

图1 高压锅的的销售量相对于时间的散点图

再对Logistic 模型和Gompertz 的增长曲线表达式进行化简。

（1） 对表达式1t kt L y ae -=+两边同时取倒数得：11kt

t ae y L

-+=

，即11kt

t a e y L L

--=； 两边同乘L 得：

1kt t

L

ae y --=； 再对两边同时取自然对数得：ln 1ln t L a kt y ??

-=- ???；

令1ln 1t L G y ??

=- ???，ln ,a b k B =-=。

即可得一个线性表达式：1G b Bt =+。

因此Logistic 增长曲线是一个可线性化的模型。

（2） 对表达式：kt

be t y Le --=两边同除以L 得：kt be t

y e L

--=； 两边同时取自然对数得：ln

kt t

y be L

-=-； 再同时对两边取自然对数得：ln(ln )ln()t y

b kt L

=--；

令2ln ln ,,ln()t y

G d k D b L ==-=-。

得线性表达式：2G dt D =+。

因此Gompertz 增长曲线是一个可线性化的模型。 模型求解：

（1）利用matlab 进行线性化拟合，并画出原数据与拟合曲线，如图2所示。

图2 原数据与线性拟合曲线

由线性表达式：1G b Bt =+，得,-B b a e k ==，利用线性化模型给出参数a 和

k 的估计值。在matlab 中写入程序，计算结果如下:

k =

0.4941 a =

44.8463

从图形可以看出，线性模型虽然简单，但是误差太大，并且当t y →∞→∞时， 而高压锅销售量是有限的，也就是说高压锅的销售量是一个有限的量，不可能是

无限大的。所以，用线性模型不能完全反映高压锅的销售情况。必须找一个更好的模型去分析高压锅的销售情况。

（2）由上所得到的线性表达式：1G b Bt =+，用matlab 对Logistic 模型进行非线性回归。拟合Logistic 模型，画出Logistic 模型并与原数据比较，如图3所示。

图3 Logistic 模型的拟合图形

因此Logistic 增长曲线的非线性化方程为：

0.49413000

144.8463t t

y e

-=+ （3） 由上所得到的线性表达式：2G dt D =+。用matlab 对Gompertz 模型进行

非线性回归。拟合Gompertz 模型，画出Gompertz 模型并与原数据比较，如图4所示。

图4 Gompertz 模型的拟合图形

由线性表达式：2G dt D =+，得,-d D b e k ==，利用线性化模型给出参数b

和k 的估计值。在matlab 中写入程序，计算结果如下:

k=

0.4941 b=

30.4930

所以拟合的Gompertz 增长曲线方程为：

0.494130.49303000t

e t y e

--=

分析总结：下来分析两种的拐点如下:

(1),0t t dy y

ry r dt L =->。

（其中r 表示模型的增长率） Logistic 模型转化为微分形式是：00()t y t y =。

ln ,0t dy L

ry r dt y

=>。（其中r 表示模型的增长率） Gompertz 模型转化为微分形式是：00()t y t y =。

在Logistic 模型中

dy dt 是关于y 的二次函数，很容易看出，当2

L

y =时增长率最大，即是模型的拐点。

Logistic 增长曲线模型就是我们在生态学中所熟知的“S 型曲线”，它的最大值L 就是环境容纳量，它的变化受环境的影响，主要用于对种群数量及变化率的研究。其一般形式为：

1t kt

K

y ae

-=+（K 为环境容纳量） 其有个重要特征就是当y 随着t 的增加直至无穷大而趋向于K ，K 就是y 的饱和值，反过来当t 逐渐减小直至0，y 的值也趋于0。主要用于对一种新技术或新事物的产生，主要是一个“新”，对以前从来没有过的东西的趋势的研究。而Gompertz 增长曲线主要有以下特征：初期增长缓慢，后期逐渐加快，当达到一定程度后，增长率有逐渐下降，最终达到一条水平线。Gompertz 曲线通常用于描述事物的发展由萌芽、成长到饱和的周期过程。由此可见，Gompertz 增长曲线与Logistic 增长曲线还是比较相似的。

附matlab 程序如下： 散点图：

t=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];

plot(t,y,'*b')

线性拟合:

y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];

t=0:12;

p=polyfit(t,y,1);

yy=polyval(p,t,1)

polt(t,y,'*',t,yy)

plot(t,y,'*',t,yy)

对a、k值得估计：

y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];

t=0:12;

L=3000;

y1=log(L./y-1);

p=pplyfit(t,y1,1);

p=polyfit(t,y1,1);

k=-p(1);

a=exp(p(2));

yy=L./(1+a*exp(-k*t));

plot(t,y,'*',t,yy)

Logistic拟合：

t=0:12;

y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];

L=3000;

z=log(L./y-1);

p=polyfit(t,z,1)

k=-p(1),a=exp(p(2))

Gompertz拟合：

y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71];

t=0:12;

L=3000;

y1=log(log(y/L));

a=polyfit(t,y1,1);

b=-exp(a(2));

k=-a(1);

yy=L*exp(-b*exp(-k*t));

plot(t,y,'*',t,yy);