第二讲 分解质因数

第二讲分解质因数

知识要点：把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。我们

课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例题精讲

例1把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？

例2写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。

[提示]先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。

例3将2、5、14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

例4下面的算式里，□里数字各不相同，求这个四个数字的和。

□□×□□＝1995

[提示] 要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和195有相同的质因数。所以，先分解1995。1995＝3×5×7×19，可以有35×57＝1995和21×95＝1995，因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95＝1995。这四个数字的和就是2+1+9+5＝17。

例5有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都

是质数，那么这个长方体的体积是多少？

[提示] 长方体的正面面积＝长×高，上面面积＝长×宽，这两个面积之和是长×高+长×宽＝长×（宽+高）＝143。因为长、宽、高都是质数，而143＝11×13，所以：长＝13，宽+高＝11，或者：长＝11，宽+高＝13。 13＝2+11，而11＝2+9（不合题意）所以，长方体的体积应该为：11×11×2＝242。

课堂练习：

1、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？

2、把40、44、45、6

3、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等。

3、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？

甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙数分别是多少？

4、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？

5、有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3204，问这四个孩子中最大的几岁？

6、小明问小强：你射击三枪，共中几环？小强：一二枪的环数乘积时48；二三枪的环数乘积时72；一三枪的环数乘积时54。小强三枪共射中多少环？

课后练习：

1、95个同学排成长方形做操，行数与列数都大于1，共有几种排法？

2、写出若干个连续自然数，使它们的和是1680。

3、60个同学分组排队去游览，每组人数要一样多，每组不少于6人，不多于15人，有几种分法？怎样分？

4、有一个长方形，它的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是3360立方厘米，求它的表面积？

5、有三个自然数a、b、c，已知a×b＝30，b×c＝35，c×a＝42，求a×b×c

的积是多少？

6、两个两位整数的积是6232，这两个数中较大的数是多少？

7、翻开数学书，看见两页，页码的积是1806，求这两页的页码是多少？

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第三讲最大公因数

知识要点

什么叫公约数及最大公因数？

自然数a、b最大公约数可以记作（a，b）。如果（a，b）＝1，则a、b是（）；如果（a，b）＝a，则a、b呈（）关系；如果a,b既不互质又不成倍数关系，求（a，b）可用（）法。

如（8,11）＝；（4,16）＝；（10,16）＝。例题精讲

例1一张长方形的纸，长７分米５厘米、宽６分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果说要使裁得的正方形面积最大，可以裁成多少块？

[提示] ７分米５厘米＝75厘米，６分米＝60厘米，因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75厘米和60厘米，所以边长是75和60的公约数，它们的公约数有１、３、５、15，所以有４种裁法。

例2一个数除200余4,除300余6,除500余10.求这个数最大是多少?

[提示] 一个数除200余4可以转化为196(200-4)能被这个数整除,另两个条件可以转化为294和490都能被这个数整除,求这个数最大是多少,也就是求196,294,490的最大公约数是多少。

例3把长132厘米，宽60厘米，高36厘米的木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体的棱长和锯成的块数。

[提示]锯成的正方体的棱长是长方体长、宽、高的最大公约数。

例4一条道路由甲村经乙村到丙村。甲、乙两村相距450米，乙、丙两村相距630米。现在准备在路边栽树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且甲、乙两村的中点和乙两两村的中间都要栽上树，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

[提示] 由于甲、乙两村的中点和乙丙两村的中点都要种上树，也就是相当于要把450÷2=225米处和630÷2=315米处要种上树，也就是把225米和315平均分成若干段，而且距离最大，即求225和315的最大公约数。

课堂练习：

1、将一块长80厘米,宽60厘米的长方形土地分成面积相等的小正方形。问：小正方形的面积最大是多少?

2、如果把110块糖平均分给五（1）班，则多5块，如果把210块平均分给这个班，则正好分完，如果把240块糖平均分给这个班，则少5块，五（1）放最多有多少名同学？

3、一个长方体木块的长是4分米5厘米，宽3分米6厘米，高2分米4厘米，要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切的正方体的棱长最长是多少？可以切成多少块？

4、甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公约数是16，求甲、乙两数。

5、一条公路由A地经B地到C地，已知AB两地之间相距600米，BC两地之间相距780米，现在路边种树，要求相邻两棵树之间的距离相等，并且在B地以及AB、BC的中点上都要种一棵，那么相邻两棵树之间的距离最多是多少米？

课后练习：

1、有三根钢管，它们的长度分别是240厘米，200厘米，480厘米，如果把它们截成同样长的小段，且不许有剩余，每小段最长可以是多少厘米？

2、一个数除150余6，除250余10，除350余14，这个数最大是多少？

3、有一个自然数a，它符合下面的条件，a能整除112，a除38余2，102减去2也能被a整除，求a最大是多少？

4、有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？每份礼物中3种水果各有多少个？

5、在长60米，宽54米的长方形的花圃的各边上以最大且相等的距离种桃树，每两棵桃树之间5棵月季花，共种月季花多少棵？

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第四讲最小公倍数

知识要点

1、什么叫公倍数及最小公倍数？

2、自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）＝1时，[a、b]＝a ×b。

3、两个数的最大公约数×最小公倍数＝两数的乘积

例题精讲

例1一块砖长20厘米，宽12厘米，高6厘米，要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？

[提示] 把若干个长方体堆成正方体，它的棱长是长方体长、宽、高的公倍数，现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长方体长、宽、高的最小公倍数。要多少块砖，即用正方休的体积除以长方体的体积。

例2甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

[提示] 甲跑一圈需要600÷3=200（秒）乙跑一圈需要600÷4=150（秒）丙跑一圈需要600÷2=300（秒）。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一不定期是200、150、300的最小公倍数，[200、150、300]=600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。

例3有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。这个自然数最小是多少？

[提示] 条件转化一下：把这个数增加3，就恰好可以被10、7、4整除，即10、7、4的最小公倍数，然后减去3就能得到这个所求的数了！

例4从学校到少年宫的这段公路上，一共有37根电线杆，原来每两根电线杆之间相距50米，现在要改成每两根之间相距60米，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？

[提示] 从学校到少年宫的这一段路长50×（37－1）＝1800（米）从路的一端开始，是50和60的公倍数处的电线杆不必移动。它们的最小公倍数是300，所以从第一根开始，每隔300米就有一根不必移动。1800÷300＝6（根）去除最后一根，就有5根。

课堂练习：

1、用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

2、一环形跑道长240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行8米，乙每秒行6米，丙每秒行5米，至少经过几分钟后三人再次从原出发点同时出发？

3、学校六年级有若干个同学排队做操，如果3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人，六年级最少有多少人？

课后练习：

1、有200块长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

2、有一条长400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇，已知甲比乙快，求二人的速度。

3、有一批水果，总数在1000个以内，如果每24个装一箱，最后一箱差2个；如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；如果第32个装一箱，最后一箱只有30个。这批水果共有多少个？

4、有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗数在150—200之间，求共有多少棵树苗？

5、一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是90米，原为每隔2米植一棵树，由于小树长大了，必须改为每隔5米植一棵。如果两端不算，中间有几棵不必移动？

家长签名：_____________