数学分析报告考研试题
2
、填空题（本题共
高数考研试题2
6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1） 【分析】
f(x)
设
当x 1若 x cos-,若x
x 0,右x
0可直接按公式求导,
0, 0,
其导函数在x=0处连续，则 的取值范围是
x=0时要求用定义求导.
【详解】 1时，有 显然当
【评
注】 f (x) 1
cos- x 0,
2
sin 1,若 x
0,
x
若 x 0,
2 时，有 ^o f
（x ）
原题见《考研数学大串讲》【 f （0）
，即其导函数在 例5】（此考题是例 x=0处连续. 5的特殊情形） 3
(2)已知曲线y x 3a 2 b 与x 轴相切，则b 可以通过a 表示为b
2 4a 6 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即y
0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在 2 切点处纵坐标为零，即可找到
b 与a 的关系 【详解】 由题设, 在切点处有 2 亠 2 2 2
y 3x 3a 0，有 X 。
a 又在此点 y 坐标为 0, 于是有
0 x 3
3a 2x 0 b 0
5
.2
2
2、2
2
.
4
“ 6
故b X 0 (3a
X 0)
a 4a 4a .
【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四第一大题第（ 3) f(x) g(x) (3)设 a>0，
a,若 0 x 0,其他,
1, 而D 表示全平面, f(x)g(y x)dxdy D a 2 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当
0 x 1,0 y 1时，被积函数才不为零, 因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 I f(x)g(y 【详解】
D x)dxdy 0 x 1,0 a 2
dxdy y x 1 2 1 x 1 a 0dx x
dy
1 °
[(x 1
)
x]dx a 2.
【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不 为零的区域的公共部分上积分即可
.
完全类似例题见《数学复习指南》【 例】.
E ( 1 2a -) T E
a
(5)设随机变量X 和丫的相关系数为，若Z X 0.4，则丫与Z 的相关系数为
【分析】利用相关系数的计算公式即可 . 【详解】 因为
cov(Y,Z) cov(Y,X 0.4) E[(Y(X 0.4)] E(Y)E(X 0.4)
= E(XY) 0.4E(Y) E(Y)E(X) 0.4E(Y) =E(XY) -E(X)E(Y)=cov(X,Y),
且 DZ DX.
于是有 1
1 2a —
a ，即
1
2
a ,a
2a a 1
0，解得 2
1.
由于A<0 ,故a=-1.
【评注】完全类似例题见《数学复习指南》第
2大题第(5)小题
(a ,0,
,0,
a) ,a 0 ； E 为n 阶单位矩阵，矩阵
1
T
B E
A E
a
其中A 的逆矩阵为 B ，则 a=
-1
【分析】这里 T
为n 阶矩阵，而
T
乘法的结合律即可
【详解】 由题
设,
有
T
1 T
AB (E
)(E
- )
a
T
1
T
1
E
—
—
=
a
a
L
T
1
T
1
E
—
—
=
a
a
E
T
丄
T
2a
=
a
2a 2为数，直接通过 AB E 进行计算并注意利用
(4)设n 维向量
T
T
T
T
X i
【评注】 大数定律见《数学复习指南》 二、选择题(本题共6小题，每小题 4分，满分24分.每小题给岀的四个选项中，只有一项符 合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数，且
(A)在x=0处左极限不存在. (C)在x=0处右极限不存在.
【分析】由题设，可推岀f(0)=0 ,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可
. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，
f(0)=0.
lim g(x) lim
lim f(x) f(0) f (0)
于是有
x 0 x 0
x
x 0
x 0
存在，故 x=0为可去间断点.
x
1,x
0,
【评注 1】 本题也可用反例排除， 例如 f(x)=x,则此时 g(x)= x
0, X °
,可排除(A),(B),(C)三 项，故应选(D).
cov(Y,Z) cov(X,Y)
于是有 cov(Y,Z)= ■- DY 、DZ = "DX ； DY
XY
09
【评注】注意以下运算公式：D(X a) DX , cov(X,Y a) cov(X,Y). 完全类似例题见《数学复习指南》【 例】的【注】.
(6)设总体X 服从参数为2的指数分布， Xi ，X 2, ,X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当
Y n
时，
X i 2
依概率收敛于
【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 Xi
, X 2, , X n ，
当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
1 n w p 1 n X
i
EX i (n ).
n i 1
n
i 1
2 2 2
【详解】 这 里 X 1 , X 2 ,
, X
n
满足大数定律的条件，且
EX i DX i
1 (EX i )
2 = ；
(2)2
2，因此根据大数定律有 Y n
EX i 2
1
n i 1
依概率收敛于
g(x)
f(x) f
(°)存在，则函数
x
(B)有跳跃间断点 x=0.
(D)有可去间断点 x=0.
[D ]
本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》的重要结论与公式
(2)设可微函数f(X,y)在点(X o ,y o )取得极小值，则下列结论正确的是 (A) f (X o ，y )在y y
o 处的导数等于零.(B )
f
(X o ,y)在y y o 处的导数大于零.
(C) f(X o ,y)在y
y
o 处的导数小于零.
(D )f (x o , y)在y
y
o 处的导数不存在.
[A ]
【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论 【详解】 可微函数f(x,y)在点(X o , y o )取得极小值，根据取极值的必要条件知 fy
(X o , yo) o ，
即f (x o , y)在y
y
o 处的导数等于零
，故应选(A).
【评注1】本题考查了偏导数的定义，f(Xo ,y)在y yo
处的导数即fy(Xo,yo)；而f(x ,yo)
在x x o 处的导数即f x (x o , y o ).
【评注2】 本题也可用排除法分析，取
f
(X, y) X?
/，在(o,o)处可微且取得极小值，并且
2
有f (0,y ) y ，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).
a n |a n a n |a n
P n ------------------------ q n ------------------------------- ’ c
(3)设 2 ， 2 ，n 1,2,，则下列命题正确的是
a n
P n
n 1
q n
(A)若 n 1
条件收敛，则
与n 1
都收敛.
a n
P n
q n
(B)若 n 1
绝对收敛，则
n 1
与n 1
都收敛.
a n
P n
q n
(C)若 n 1
条件收敛，则
n 1
与n 1
敛散性都不定
a n
P n
q n
(D)若 n 1 绝对收敛，则
n 1
与n 1
敛散性都不定
【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找岀答案
【评注2】若f(x)在X
X 0处连续，则 lim
X X 0 x
f(x) X o
f(X o ) 0, f (X o ) A
【详解】a n
绝对收敛，
a n
n 1收敛，当然也有级数
a n
收敛，再根据
(a 2b)(a b)2 0
，即有a 2b 0或a=b.
但当a=b 时，显然秩(A)
2,故必有a b 且a+2b=0.应选(C).
【评注】n (n 2)阶矩阵A 与其伴随矩阵 A*的秩之间有下列关系:
n, r(A)
r(A*)
1, r(A) 0,r(A)
(5)设「2, > s 均为n 维向量，下列结论不正确的是
s
线性无关.
本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性
无关的等价表现形
详解】(A)： 若对于任意一组不全为零的数ki ，k 2,
,k s
a n P n
a n 2，qn - a n
a n
-—
P n
2 及收敛级数的运算性质知，
n
1
与
q n
1
都收敛，故应选(B).
【评注】 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三第二大题第( 3)小题.
(4) 设三阶矩阵 a=b 或 a+2b=0.
a b 且 a+2b=0.
(A) (C) 【分析】A 的伴随矩阵的秩为 【详解】根据A 与其伴随矩阵
a
，若A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有
(B) a=b 或 a+2b 0.
(D) a b 且 a+2b 0.
1,说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有
n, 1, 1.
完全类似例题见《数学复习指南》【
例】.
(A)若对于任意一组不全为零的数k1,k 2,
,ks ，都有k1 1
k 2
2
k s
，则
(B) 若11
2,
s
线性相关，则对于任意一组不全为零的数
k i , k 2, ,k s
k i
k 2
k s s 0.
(C)
2,
s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为
s.
(D)
2,
s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关
【分析】
应注意是寻找不正确的命题
k i
1 k
2 2
ks s 0
，则 「2, , s 必线性无关，因为若
仆2,
， s 线性相关,