习题课课堂课件

电子科技大学概率论与数理统计MOOC

第5章

习题课：大数定律和中心极限定理

主讲人：龚丽莎

12100,,

X X X 1. 设噪声电压相互独立且都服从区间(0, 6) 上的均匀分布(单位：伏特），用切比雪夫不等式估计叠加后的总噪声电压

1001

k k Y X ==∑在260伏到340伏之间的概率。

解: 由题意知100

1()1003300,k k E Y E X =??==?= ???∑21001

6()()10030012k k D Y D X ===?=∑{}{}260340()40P Y P Y E Y ≤≤=-≤第五章大数定律和中心极限定理

D Y 2()40≥１－1316=

2.设{X k }为相互独立的随变量序列，且

{}{}1/2,1,2,

k k P X k P X k k αα===-=

=0α≤{}k X 证明：当时，服从大数定律。

证明：{X k }为相互独立的随变量序列，且

,2,1,02

121)(==-=k k k X E k αα),0(1)(2

1)()(2222≤≤=+==ααααk k k X E X D k k 即期望存在，方差一致有界，满足切比雪夫大数定律的条件，故{X k }服从大数定律。

3. 某快餐店出售四种快餐套餐，价格分别为6元，10元，15元，18元。已知这四种套餐售出的概率分别为0.25, 0.45, 0.2, 0.1。若某天该店售出套餐500份，试用中心极限定理计算：(1) 当天营业额至少为5500元的概率；(2) 15元套餐至少售出80份的概率。

是售出的第i 份套餐价格(i =1,…,500)，则

解：设X

i

X i 6101518

p0.250.450.20.1

且X

相互独立。

i

(1) 要求

50015500i i P X =??≥????∑由独立同分布中心极限定理，

500150010.85400;i i E X =??=?= ???∑500150014.767380i i D X =??=?= ???∑500

50011540055005400550073807380i i i i X P X P ==??-????-??≥=≥????????????∑∑5500540017380Φ-??≈-???

?{}1 1.164Φ≈-10.8780.122≈-=

(2) 设X 为售出的15元套餐份数，则X~B (500, 0.2)

()5000.2100;E X =?=()5000.20.880

D X =??=因500很大，0.2较小，由棣莫孚－拉普拉斯中心极限定理，有

要求{}

80P X ≥{}10080100808080X P X P --??≥=≥????80100180Φ-??≈-???

?1( 2.236)Φ≈--(2.236)0.9872Φ=≈