圆的方程教案

4.1 圆的方程

教学目标：

①知识目标：掌握圆的标准方程、一般方程和参数方程，会根据条件并结合圆的性质熟练地求出圆的方程；

②能力目标：能根据题意，灵活选用圆的方程，解决和圆有关的问题；

③情感目标：感受圆的方程的各种形式，体会解题的乐趣。

教学重点、难点及其突破：根据已知条件求圆的方程为本节重点，涉及的题目多数为中等难度选择题和填空题，也有难度较大的综合题。求圆的方程通常用待定系数法，若已知条件和圆心、半径有关，可先用已知条件求出圆心、半径，用圆的标准方程求解；若已知条件涉及圆过几点，往往用圆的一般方程。

教学方法：讲练结合法。

高考要求及学法指导：圆的内容高考每年都有考查，在本节主要考查：在高考的考查中，常表现在以下三个方面：(1)由已知条件求圆的方程，体现了待定系数法；(2)由圆的方程研究圆心、半径等相关元素的特点；(3)与圆有关的最值问题。对以上问题的处理要注意运用平面几何中圆的性质，来简化解题过程.

教学过程：

一、知识点讲解：

1、确定一个圆需三个独立条件：

由于确定一个圆就是确定它的位置和大小，即确定圆心和半径，

所以，在确定一个圆时，就是求圆心坐标(a ，b)和半径r ，即去确定a 、b 、r 三个参数，所以，必须有三个条件才能求得a 、b 、r ，从而确定一个圆；

2、圆的方程

(1)圆的标准方程：()()22

2x a y b r -+-=（0r >），其中圆心为(a ，b)，半径为r ．

(2)圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->），其中圆心为)2,2(E D --，半径F E D r 42122-+= 二、例题分析：

（一）基础知识扫描

1、22420x y x y +-+=的圆心和半径分别为( )

A ．(2，－1)

．(2，－1)，5

C ．(－2，－ 1)，5

D ．(－2，－1)

2、已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以AB 为直径的圆的方程是( )

A.()()2213x y -++=()()22

1329x y ++-=

C. ()()221329x y -++=

D. ()()2213x y ++-=（二）典型题型分析：

题型1：求圆的方程

一般用待定系数法求圆的方程，根据题设条件，合理选择标准方程、一般方程和参数方程，然后寻找三个独立条件列出三个等式便可求得．在求方程时，应尽量利用圆的几何性质．

例1 求圆心在直线4y x =-上，并且与直线l ：10x y +-=相切于点P(3，2)的圆的方程．

分析 求圆的方程存在两种思路，一是运用方程观点解决，使用待定系数法；另外也可充分揭示几何性质，运用分析的方法解决．

解法1 设所求圆方程为 ()()22

2x a y b r -+-=，则依题意有 ???????==--+--=-+r r b a a b b a 21222)2()3(4，解方程组得

a=1,b=-4,r =

所求圆的方程为 ()()22

148x y -++=

解法 2 由于圆心在直线 4y x =-上，又在过切点(3，－2)与切线x+y-1=0垂直的直线y+2=(x -3)，即x-y-5=0上，解方程组???-==--x y y x 405 可得圆心(1，－4)，于是

r ==为()()22148x y -++=

例 2 已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆．

(1)求实数m 的取值范围；

(2)求该圆半径r 的取值范围；

(3)求圆心的轨迹方程．

解 (1)方程表示圆的充要条件是2240D E F +->，即

22229(3)4(14)4(169)0m m m ++--+>，∴17

1<<-m (2)716)73

(72+--=m r ≤774，∴0＜r ≤7

74 (3)设圆心坐标为(x ，y)，则???-=+=1

432m y m x ，消去m ，得24(3)1y x =-- ∴171<<-m ，∴

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20<

1、圆的方程常见三种：

(1)标准方程：()()222x a y b r -+-=

(2)一般方程：220x y Dx Ey F ++++= (其中2240D E F +->)

2、求圆的方程，主要用待定系数法，有三种求法，一是利用圆的标准方程，求出a 、b 、r ，二是利用圆的一般方程，求出系数D 、E 、F 的值.

3、有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用．

四、作业：课时规范训练8、9、10、11

五、课后反思：