【湘教版】八年级数学上册第四章能力培优训练合集(含答案)

4．1 不等式

专题 列不等式

1. 四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P ，Q ，R ，S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）

A ．P ＞R ＞S ＞Q

B ．Q ＞S ＞P ＞R

C ．S ＞P ＞Q ＞R

D ．S ＞P ＞R ＞Q

2.下列关于 a a +用不等式表示正确的是 （ ）

A . 0a a +>

B . 0a a +<

C . 0a a +≤

D . 0a a +≥

3. 某工地实施爆破，操作人员点燃导火线后，必须在炸药爆炸前跑到400m 外安全区域，若导火线燃烧的速度为1.1cm /秒，人跑步的速度为5m /秒，则导火线的长xcm 应满足的不等式是： __________________.

4.

状元笔记 【知识要点】

不等式：用不等号“＞”.“＜”.“≥”.“≤”.“≠”连接而成的式子叫作不等式． 【温馨提示】

注意“不大于”.“不小于”.“不超过”等字表示不等时要带上“=”号．

【方法技巧】

1．仔细审题，抓住题中的关键字“小于”.“大于”.“不大于”.“不小于”.“不超过”列不等式． 2．列不等式时还应掌握常见的数量关系式，如：速度×时间=路程，单价×数量=总价，工作效率×工作时间=工作总量等． 参考答案：

1. D 解析：观察前两幅图易发现S ＞P ＞R ，再观察第一幅和第三幅图可以发现R ＞Q ．

2. D 解析：分两类讨论：0a ≥时，2a a a +=，显然0a a +≥；当0a <时，

0a a a a +=-+=，故0a a +≥.

3. 54001.1

x

?

> 4. 解：（1）32(10)26x x +-≥； （2）59(10)126x x +-≥.

4．2 不等式的基本性质

专题一 不等式的基本性质

1．（2013·淄博）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ）

A ．a m b m +>+

B ．22(1)(1)a m b m +>+

C ．22

a b

-<-

D ．22a b >

2．如图， A .B 两点在数轴上表示的数分别为a .b ，下列式子成立的是（ ）

图3

b

a

B A

－11

A ．ab ＞0

B ．a b +＜0

C ．(1)(1)b a -+＞0

D ．(1)(1)b a --＞0

3.已知a . b . c .d 都是正实数，且

d c b a <.给出下列四个不等式： ①d

c c

b a a +<

+； ②

b a a d

c c +<+； ③b a b

d c d +<+； ④d

c d

b a b +<+；其中不等式正确的是 _____________________________. 4.

5.

状元笔记 【知识要点】

1.不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2.不等式的传递性：如果,a b b c >>，那么a c >. 【温馨提示】

不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【方法技巧】

1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负．

2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误． 参考答案：

1. D 解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A 正确；由于m 2

+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B 正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C 正确；由于a ，b 的正负不明确，故a 2

，b 2

的大小也不确定，如a =﹣1， b =﹣2时，满足a b >，但a 2

＜b 2

，故选项D 不正确．故应选D ．

2. C 解析：根据数轴知－1＜a ＜0，b ＞1，则a+1＞0，b －1＞0．因此ab ＜0，a+b ＞0，(a+1)( b －1)＞0，(a －1)( b －1)＜0，故选C ．

3. ①③ 解析：因为

d c b a <，所以bc ad <，所以a b c d <，所以11+<+a

b

c d ，所以a a b c d c +<+，即可得 d c c b a a +<+，同样的方法可得d b

c d a b

?

++，故填①③. 4.

5.

4．3 一元一次不等式的解法

专题一 一元一次不等式的解集

1．关于x 的方程mx －1=2x 的解为正实数，则m 的取值范围是（ ）

A .m ≥2

B .m ≤2

C .m ＞2

D .m ＜2

2．已知a .b 为常数，若0ax b +>的解集为1

3

x <

，则0bx a -<的解集是（ ） A .3x >- B . 3x <-

C . 3x >

D . 3x <

3. 已知0a <且a x a ≤，则262x x ---的最小值是 ．

4. 关于x 的不等式2

10ax x a --+>的解为 ． 5. 解不等式：（1）0.4150.030.020.520.03

x x x

----≤

; （2）201312233420132014

x x x x

+++???+>-????.

专题二 一元一次不等式的特殊解

6. 不等式()()53224->-x x 的非负整数解的个数为 （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 0

7. 已知关于x的方程

22

33

x m x

x

--

-=的解是非负数，则正整数m的值是______．

8. 若关于x，y的二元一次方程组

31

33

x y a

x y

+=+

?

?

+=

?

的解满足2

x y

+＜，则整数a的最大值为

______．

9. 已知│3a+5│+（a－2b+5

2

）2=0，求关于x的不等式)

(

)

(2

4

1

2

1

3-

-

<

+

-x

b

x

ax的最

小非负整数解．

状元笔记

【知识要点】

1．一元一次不等式：含有一个未知数，且含有未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式．

2．解不等式：求一个不等式的解集的过程称为解不等式．

3．一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来．

4. 解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；

⑤系数化为1.

【温馨提示】

1．一个一元一次不等式的解可能有许多个.

2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变方向.

3. 在数轴上表示不等式的解集，要注意用实心圆点或空心圆圈．

【方法技巧】

1．去分母，若两边同乘以一个负数，不等式必须改变方向．

2．系数化1时，若不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等式必须改变方向.

3．在数轴上表示不等式的解集，小于方向向左边，大于方向向右边，有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈．

4．不等式的特殊解一般是指整数解.非负整数解.正整数解等，常常借助数轴进行解决，带等号时要包括这个数.

参考答案：

1. C 解析：由mx －1=2x ，（m －2）x =1，得：x =1

2

m -．∵方程mx －1=2x 的解为正实数，∴

1

2

m -＞0，解得m ＞2．故选C ． 2. B 解析：由0ax b +>得ax b >-，又因为它的解集为13x <，所以0,b

a x a

<<-，所以13b a -

=，得3,0-=>b

a

b ，3x <-，故选B . 3. 5 解析：由0a <且a x a ≤得1x ≤-，所以2626224x x x x x ---=-+-=-， 所以最小值为4(1)5--=.

4. 1x a <+.无解或1x a >+ 解析：整理得：(1)(1)(1)a x a a ->+-，当1a <时，

1x a <+；当1a =时，无解；当1a >时，1x a >+.

5. 解：（1）原不等式可以变形为

3

23255104x

x x -≤

---， 去分母，去括号，得24x －60－75+15x ≤30－20x ，

解之得：x ≤

59165

. （2）1111

()201312233420132014

x +++???+>-????，

2013201412013141

3131-2121-1->??

? ??-+-++x ，

∴20132014

11->??

?

?

?-

x ， 解得：2014x >-.

6. A 解析：解得x ＜1，只有0. ７．1.2 解析：解2233x m x x ---

=

得：x =22m -，又x 是非负数，所以22

m

-≥0，解得m ≤2，所以正整数m =1.2. 8. 3 解析：由3133x y a x y +=+??

+=?①②

中①+②得44a x y ++=

，又2x y +＜，所以

424

a

+<，解得4a <，所以整数a 的最大值为3.

9. 解：由│3a +5│+（a －2b +52）2=0得，3a +5=0，a －2b +52=0，解得???

????

=-=.

125,3

5b a 代入不

等式得－5x－1

2

(x+1)＜－

5

(2)

3

x-，解得x＞－1，所以x的最小非负整数解是0.

4．4 一元一次不等式的应用

专题一元一次不等式的应用

1．九年级的几位同学拍了一张合影留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片.所有同学共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（）

A. 至多6人

B. 至少6人

C. 至多5人

D. 至少5人

2．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过120分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20－x．根据题意得（）

A．10x－5（20－x）≥120 B．10x－5（20－x）≤120

C．10x－5（20－x）＞120 D．10x－5（20－x）＜120

3. 海口市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破100亿，2005年该家纺城的羽绒被和羊毛被两种产品的销售价如下：

现在买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元，问最多可购买羽绒被________条.

4. 甲.乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；

（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．

5. 为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A.B两种型号的设备，其中每台的价格.月处理污水量及年消耗费如下表：

经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．

（1）请你设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

状元笔记

【知识要点】

列不等式解应用题的一般步骤：①审清题意；②设未知数；③找不等关系；④列不等式；

⑤解不等式；⑥检验解的合理性；⑦作答.

【温馨提示】

1．要检查解的合理性．

2．要注意有“不超过”.“不大于”.“不小于”等关键字的列不等式时要写上“=”号．

3．方案问题注意不要漏解．

【方法技巧】

1．找到题目中的关键语句列出不等关系是解不等式应用题的关键.

2．一般根据关键字“不足”.“不超过”.“不低于”.“至少”.“最多”等判断是列不等式还是方程．3．方案问题转化为数学问题时，“即为一种数量为多少，另一种数量为多少”，常设其中一种的数量为x，另一种用关于x的代数式表示.

参考答案：

1. B

2. C解析：10x－5（20－x）＞120．

3. 30 解析：设购买羽绒被x条，则购买羊毛被（80－x）条．则415x+150（80－x）≤

20000．

解之得x≤

10

30

53

，∴x的最大整数值为30．

4. 解：（1）在甲超市购物所付的费用是：300+0.8（x－300）=（0.8x+60）元，在乙超市购物所付的费用是：200+0.85（x－200）=（0.85x+30）元.

（2）①当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600．

∴当顾客购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；

②当0.8x+60＞0.85x+30时，

解得x＜600，而x＞300，

∴300＜x＜600．

即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；

③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞600，

即当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠．

5. 解：（1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10－x）台．

12x+10（10－x）≤105，

解得x≤2.5．

∵x取非负整数，∴x可取0，1，2．

有三种购买方案：购A型0台.B型10台；

A型1台，B型9台；

A型2台，B型8台．

（2）240x+200（10－x）≥2040，

解得x≥1，

所以x为1或2．

当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；

当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元），

所以为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．

（3）10年企业自己处理污水的总资金为：

102+10×10=202（万元），

若将污水排到污水厂处理：

2040×12×10×10=2448000（元）=244.8（万元）．

节约资金：244.8－202=42.8（万元）．

4．5 一元一次不等式组

专题一 求一元一次不等式组中未知系数 1．（2013·孝感）若关于x 的一元一次不等式组-0

1-2-2

x a x x >??

>?无解，则a 的取值范围是（ ）

A. a ≥1

B. a >1

C. a ≤—1

D. a <－1 2. 已知a ，b 为实数，则解可以为－2＜x ＜2的不等式组是（ ） A.

B.

C .

D.

3.（2012·鄂州）若关于x 的不等式??????

?<++>+02

22

34a x x x 的解集为x <2，

则a 的取值范围是 .

4.(2013·黄石)若关于x 的不等式组有实数解，则a 的取值范围是 . 专题二 一元一次不等式组的特殊解

5.已知关于x 的不等式组221x a b x a b -≥??-<+?的解集是35x ≤<，则b

a 的值是（ ）

A ．－2

B ．1

2

-

C ．－4

D ．14

-

6. 按如下程序进行运算：

并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止，则可输入的整数x 的个数是 ．

7. 已知关于x 的不等式组521

x x a -≥-??->?的整数解3个，则a 的取值范围是 ．

8. 对于整数a .b .c .d ，对于符号a b d c

表示运算ac bd -，已知1134

b d <

<，则b d + 的值

是 ．

9. 已知a a -=-33，当a 为何整数时，方程组???=-=-a

y x y x 1151

63的解都是负数？

3x －a ＞5 2x ＞3x －3

专题三 一元一次不等式组的应用

10．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中.小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．不同的组建方案有（ ）

A ．4种

B ．3种

C ．2种

D ．1种

11. 一辆公共汽车上有（5a －4）名乘客，到某一车站有（9－2a ）名乘客下车，车上原来有 _________名乘客.

12．已知0x >，符号[]x 表示大于或者等于．．．．．．x 的最小正整数．．．．．．

，如[]0.31=；[]3.24=；[]55=???.

（1）填空：17

11??

????

=_____________，若[]6x =，则x 的取值范围是____________； （2）某市出租车收费标准规定如下：3千米以内（包括3千米）收费6元；超过3千米的，每超过1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计算）.用x 表示所行的千米数，y 表示应付车费，则乘车费可按如下公式计算：

当03x <≤（单位：千米）时，6y =（元）；当3x >（单位：千米）时，[]6 1.23y x =+-（元）.某乘客乘车付费18元，则该乘客所行的路程x （千米）的取值范围为__________. 13. 在我市开展城乡综合治理的活动中，需要将A .B .C 三地的垃圾50立方米.40立方米.50立方米全部运往垃圾处理场D .E 两地进行处理．已知运往D 地的数量比运往E 地的数量的2倍少10立方米．

（1）求运往两地的数量各是多少立方米？

（2）若A 地运往D 地a 立方米（a 为整数），B 地运往D 地30立方米，C 地运往D 地的数量小于A 地运往D 地的2倍．其余全部运往E 地，且C 地运往E 地不超过12立方米，则

A .C 两地运往D .E 两地有哪几种方案？

（3）已知从A .B .C 三地把垃圾运往D .E 两地处理所需费用如下表：

在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？

状元笔记

【知识要点】

1．一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做它们的解集. 2．一元一次不等式组的解集规律：①同大取大，同小取小；②大小小大取中间，大大小小是空集．

3．解一元一次不等式组的应用题的步骤：①审清题意；②设未知数；③找不等关系组；④列不等式组；⑤解不等式组；⑥检验解的合理性；⑦作答.

【温馨提示】

1．解集的规律要记准确，异号不等式要特别注意．

2．求不等式组中未知系数的值时要注意是否带上“=”号.

3. 注意求整数解时不要漏解和多解．

4．在数轴上表示不等式组的解集同样要注意有等号用实心圆点，无等号用空心圆圈.

5. 解应用题时要注意解要符合实际．

【方法技巧】

1．求不等式组中某个字母的值时：①一般是先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，再根据题意求出式子中某一系数的取值；②不等式组无解即没有公共部分，常采用逆向思维，写出有解的取值范围，然后进行思考；③不等式组有几个整数解，常借助数轴对照进行解决.

2．根据题中最关键的语句（“超过”.“不大于”.“不小于”.“最多”.“不足”等字眼），写出不等关系组是解不等式组应用题的关键.

3．方案问题通常设一元不等式（组），先将其转化为数学问题，即求一种的数量和另一种的数量，然后设一种的数量为x，则另一种数量用关于x的代数式表示，再根据题意构建不等式组模型，求整数解，有多少个整数解，就能求出多少种方案.

参考答案：

1. A 解析：若不等式组有解集，则解集为a

2. D 解析：A 选项，所给不等式组的解集为﹣2＜x ＜2，那么a ，b 为一正一负，设a ＞0，则b ＜0，解得x ＞，x ＜，∴原不等式组无解，同理得到把2个数的符号全部改变后也无解，故错误，不符合题意；B 选项，所给不等式组的解集为﹣2＜x ＜2，那么a ，b 同号，设

a ＞0，则

b ＞0，解得x ＞，x ＜，解集都是正数；若同为负数可得到解集都是负数；故错

误，不符合题意；C 选项，理由同上，故错误，不符合题意；D 选项，所给不等式组的解集为－2＜x ＜2，那么a ，b 为一正一负，设a ＞0，则b ＜0，解得x ＜，x ＞，∴原不等式组有解，可能为－2＜x ＜2，把2个数的符号全部改变后也如此，故正确，符合题意；故选D ． 3. a ≤－2 解析：先解不等式组得，，因为解集为x ＜2，根据同小取小的原则可

知，2≤－a ，则a ≤－2．

4. a ＜4 解析：解不等式2x ＞3x －3，得x ＜3．解不等式3x －a ＞5，得x ＞5＋a

3

．这两个不等式解集的公共部分是

5＋a

3

＜x ＜3．即a ＜4．故答案为a ＜4． 5. A 解析：由题意得：212a b a b x +++≤<，所以3

2152

a b a b +=??

?++=??，解得36a b =-??=?，所以

2b

a

=-. 6. 3 解析：根据题意得：()[]{}()[]?

?

?<--->----6511122265

11112222x x 解得：5＜x ＜9．则x 的整数值是： 6，

7，8．共有3个．故答案是： 3． 7. 10<≤a 解析：解不等式组，得?

?

?>≤a x x 3

，因为不等式组的整数解有3个，所以10<≤a . 8. ±3 解析：由1134

b d <

<得143bd <-<，

所以13bd <<，所以2bd =，所以b d +=±3.

9. 解：解方程组???=-=-a y x y x 115163，得1163

533a x a

y -?=???-?=??

，

因为方程组?

??=-=-a y x y x 115163的解都是负数，所以0

0x y

即：11603

5303

a a -?.

又因为a a -=-33，所以30a -≥，所以3a ≤. 所以

11

36

a <≤，所以整数2a =或3. 10. B 解析：设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30－x ）个．由题意，得

?

?

?≤-+≤-+,1620)30(6050,

1900)30(3080x x x x 解这个不等式组，得18≤x ≤20．∴x 的取值是18，19，20．所

12. 解：（1） 8 56x <≤

（2）因为[]186 1.23x =+?-， 所以[]310x -=， 即9310x <-≤， 所以1213x <≤.

13. 解：（1）设运往E 地x 立方米，由题意得，x +2x ﹣10=140， 解得：x =50， ∴2x ﹣10=90，

答：共运往D 地90立方米，运往E 地50立方米. （2）由题意可得，

[]??

?≤+--<+-12

)30(90502)30(90a a

a ， 解得：20＜a ≤22， ∵a 是整数， ∴a =21或22， ∴有如下两种方案：

第一种：A 地运往D 地21立方米，运往E 地29立方米；

C 地运往

D 地39立方米，运往

E 地11立方米；

第二种：A 地运往D 地22立方米，运往E 地28立方米；

C 地运往

D 地38立方米，运往

E 地12立方米.

（3）第一种方案共需费用：

22×21+20×29+39×20+11×21+30×20+10×22=2873（元）， 第二种方案共需费用：

22×22+28×20+38×20+12×21+30×20+10×22=2876（元）， 所以，第一种方案的总费用最少 ．