江苏省扬州市2018届高三数学下学期开学考试(2月)试题

江苏省扬州中学2018届高三数学下学期开学考试（2月）试题

一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程。 1.复数

i

435

+的共轭复数是________． 2．设全集R U =,{}

{},,cos ,022R x x y y B x x x A ∈==≤-=则图中阴影部分表示的区间是

________．

3．运行如图所示的伪代码，其结果为________．

S ←1

For I From 1 To 7 Step 2 S ←S ＋I End For Print S

4.若命题“t R ?∈，2

20t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是 ． 5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；

乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是 ．

6.矩形ABCD 中，沿3,4==BC AB

,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 外接球的体积为 ．

7．设,x y 满足0

||||1y y x x y >??

≤??+≤?

，则y x 3+的最大值为 ．

8．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，公差为d ，若

10018

201818

2018=-S S ，则d 的值为________． 9．已知函数R m x m x x f ∈+=,ln )()(，当1≠x 时恒有0)(')1(>-x f x ，则关于x 的不等式

22)(-

10.在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线与圆2

2

1x y +=相切于点T ，与圆

(

)

(2

2

3x a y -+=相交于点,R S ，且PT RS =，则正数a 的值为 ．

11.若函数x a x x a x x x x x f )14()cos (sin 3)sin (cos )sin (cos 21)(-+-++?-=

在??

?

???-0,2π上单调递增，则实数a 的取值范围为______________________．

12.函数??

?

??≤+->-=0,21210,)(2x x x x x x f ，若关于x 的方程k kx x f -=)(至少有两个不相等的实数根，则

实数k 的取值范围为_____________．

13.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆22

1259

x y +=上，点P 满足)()1(R ∈-=λλ ，

且48=?，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ．

14.在ABC ?中，),1(,2>==m mBC AB AC

若当ABC ?面积取最大值时3

π

=B ,则

=m ．

二.解答题：本大题共6小题，共计90分

15．（本小题满分14分）已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已

知

s i n c o s 3

a B

b A

c . (1)求角B 的大小；(2)若ABC ?

b a

c =>，求,a c .

16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC . (1)若,AB BC CP PB ⊥⊥，求证： CP PA ⊥； (2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：//l 平面PBC .

17．（本小题满分14分）如图是一“T ”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m ，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A ，B 处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．

(1)在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P ，Q 两点，且与水渠的一边的夹角为θ?

????0＜θ＜π2，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数； (2)若从南面漂来一根长为7m 的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．

18．（本小题满分16分）如图，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2

n

＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分

别交于B ，C 两点． (1)求椭圆方程；

(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；

②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．

19．（本小题满分16分）函数f (x )＝1＋ln x －

k x －2

x

，其中k 为常数． (1)若k ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若k ＝5，求证：f (x )有且仅有两个零点；

(3)若k 为整数，且当x ＞2时，f (x )＞0恒成立，求k 的最大值.

20.（本小题满分16分） 已知有穷数列{}n a ，{}n b 对任意的正整数n *∈N ，都有

121321

2n n n n n a b a b a b a b a b ---

+++???++1

22n n +=

--成立． (1)若{}n a 是等差数列，且首项和公差相等，求证：{}n b 是等比数列； (2)若{}n a 是等差数列，且{}n b 是等比数列，求证：12n n n a b n -=?．

附加题

1.已知矩阵A ＝??

??3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝????1

1，属于特征值1的一个特

征向量α2＝???? 3

－2.求矩阵A ，并求出A 的逆矩阵．

2.在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ? ????θ＋π6被射线θ＝θ0? ????ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈? ????0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．

3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p (0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是2125．

（1）求p 的值；

（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E (ξ)．

4.在数列{a n}中，a n＝cos π

3×2n－2

(n∈N*) (1)试将a n＋1表示为a n的函数关系式；

(2)若数列{b n}满足b n＝1－

2

n·n！

(n∈N*)，猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．

参考答案

1. 35＋4

5I 2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 3.16 4. (,1]-∞- 5.98 6.

π6

125 7. 2 8.

110 9.),1(2e 10.4 11. [1，＋∞) 12. ????

??－13，1∪(1，＋∞)

13. 10 14. 32+

15．（1）由已知sin cos a B A C =,

结合正弦定理得sin sin cos A B B A C =，

所以())sin sin cos sin cos sin cos A B B A A B A B B A =+=+，

即sin sin cos A B A B =，即tan B =()0,B π∈，所以3

B π

=

.…………7分

（2）由1sin ,23ABC S ac B B π?=

=，得44

ac =，即7ac =，

又()2

2

22cos b a c ac ac B =+--，得()2

2

2a c ac ac =+--，

所以7{

8ac a c =+=，又7,{ 1

a a c c =>∴=. ………………14分

16.证明：（1）因为平面PBC ⊥ 平面ABC ，平面PBC ? 平面=ABC BC ， AB ?平面ABC ，

AB BC ⊥ ，所以AB ⊥平面PBC .因为CP ?平面PBC ，所以CP AB ⊥ .又因为

,,CP PB PB AB B ⊥?= ,AB PC ?平面,PAB 所以CP ⊥平面,PAB 又因为PA ?平面,PAB 所

以CP PA ⊥. …………7分

（2）在平面PBC 内过P 作BC PD ⊥，垂足为D ,因为平面PBC ⊥ 平面ABC , 又因为平面?PBC 平面BC ABC =,?PD 平面ABC ,所以⊥PD 平面ABC , 又因为l ⊥平面ABC ，所以PD l //,又?l 平面PBC ，?PD 平面PBC 所以//l 平面

PBC ………………14分

17．解 (1)由题意，PA ＝2sin θ，QA ＝4cos θ，

所以l ＝PA ＋QA ＝2sin θ＋

4

cos θ

? ??

??0＜θ＜π2 ………………6分 (2)设f (θ)＝2sin θ＋4cos θ，θ∈? ????0，π2.

由f ′(θ)＝－2cos θ

sin θ＋4sin θcos θ

＝2

2sin 3

θ－cos 3

θ

sin θcos θ

，

令f ′(θ)＝0，得tan θ0＝2

2

. ………………10分 且当θ∈(0，θ0)，f ′(θ)＜0；当θ∈? ????θ0，π2，f ′(θ)＞0，所以f (θ)在(0，θ0)上单调递减，在?

????θ0，π2上单调递增，

所以当θ＝θ0时，f (θ)取得极小值，即为最小值． 当tan θ0＝

22时，sin θ0＝13，cos θ0＝2

3

，所以f (θ)的最小值为36， 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．

答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠． ………………14分

18.解 (1)把点A (1，3)代入x 22＋y 2n ＝1得n ＝6，故椭圆方程为x 22＋y 2

6

＝1. …………2分

(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直．

因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k 1，k 2，

由?????

y －3＝k 1x －1，x 22＋y 2

6

＝1，

消去y ，得(3＋k 2

1)x 2

＋2k 1(3－k 1)x ＋(3－k 1)2

－6＝0， ∴点B 的横坐标为x ＝1－6＋23k 1

k 21＋3(x ＝1为点A 的横坐标)，

∴点B 的纵坐标为y ＝3－23k 2

1＋6k 1

k 21＋3

，

即B ? ??

??1－6＋23k 1

k 21＋3，3－23k 2

1＋6k 1k 21＋3. ………………6分

同理可得点C 的坐标为C ? ??

??1－6＋23k 2

k 22＋3，3－23k 2

2＋6k 2k 22＋3.

∵k 1＋k 2＝0，∴直线BC 的斜率为k BC ＝ 3. ………………8分

②设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 的方程为y ＝3x ＋m ，代入方程x 22＋y 2

6＝1得6x 2＋23mx ＋m 2

－6

＝0，

∴x 1＋x 2＝－33m ，x 1x 2＝m 2

－6

6，

∴BC ＝1＋

3

2

·|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 2

2

－4x 1x 2＝

233

12－m 2

，

又点A 到直线BC 的距离为d ＝|m |

2，

∴S △ABC ＝12BC ·d ＝36

m

2

12－m

2

＝

3

6

－m 2－6

2

＋36，

∴当m 2

＝6，即m ＝6或m ＝－6时，△ABC 面积取得最大值 3.

此时，直线BC 的方程为y ＝3x ± 6. ………………16分

19.(1)解 当k ＝0时，f (x )＝1＋ln x . 因为f ′(x )＝1

x

，从而f ′(1)＝1.

又f (1)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝x －1， 即x －y ＝0. ………………2分 (2)证明 当k ＝5时，f (x )＝ln x ＋10

x

－4.

因为f ′(x )＝

x －10

x 2

，从而当x ∈(0,10)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(10，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝10时，f (x )有极小值．

因为f (10)＝ln10－3＜0，f (1)＝6＞0，所以f (x )在(1,10)之间有一个零点． 因为f (e 4)＝4＋10e 4－4＞0，所以f (x )在(10，e 4

)之间有一个零点．

从而f (x )有两个不同的零点． ………………8分

(3)解 方法一 由题意知，1＋ln x －k x －2

x

＞0在(2，＋∞)上恒成立， 即k ＜

x ＋x ln x

x －2

在(2，＋∞)上恒成立． 令h (x )＝

x ＋x ln x x －2，则h ′(x )＝x －2ln x －4

x －22

. 设ν(x )＝x －2ln x －4，则ν′(x )＝

x －2

x

. 当x ∈(2，＋∞)时，ν′(x )＞0，所以ν(x )在(2，＋∞)上为增函数． 因为ν(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，ν(9)＝5－2ln9＞0， 所以存在x 0∈(8,9)，ν(x 0)＝0，即x 0－2ln x 0－4＝0.

当x ∈(2，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 所以当x ＝x 0时，h (x )的最小值为

h (x 0)＝x 0＋x 0ln x 0

x 0－2

.

因为ln x 0＝

x 0－4

2，所以h (x 0)＝x 0

2

∈(4,4.5)． 故所求的整数k 的最大值为4. ………………8分

方法二 由题意知，1＋ln x －

k x －2

x

＞0在(2，＋∞)上恒成立． f (x )＝1＋ln x －k x －2x ，f ′(x )＝x －2k

x

2.

①当2k ≤2，即k ≤1时，f ′(x )＞0在(2，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在(2，＋∞)上单调递增． 而f (2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求． ②当2k ＞2，即k ＞1时，

当x ∈(2,2k )时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝2k 时，f (x )有最小值f (2k )＝2＋ln2k －k . 从而f (x )＞0在(2，＋∞)上恒成立等价于2＋ln2k －k ＞0.

令g (k )＝2＋ln2k －k ，则g ′(k )＝1－k

k

＜0，从而g (k )在(1，＋∞)为减函数．

因为g (4)＝ln8－2＞0，g (5)＝ln10－3＜0， 所以使2＋ln2k －k ＞0成立的最大正整数k ＝4. 综合①②，知所求的整数k 的最大值为4.

20.证明：（1）依题意，1n a na =，且111a b =，………………2分

因为12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++???++122n n +=--， ① 所以1122332211n n n n n a b a b a b a b a b -----+++???++2(1)2n n =---（2n ≥），②

①-②得，11221()21n n n n a b b b b b --+++???++=-（2n ≥）， ③ ………………4分 所以111221()21n n n a b b b b ---++???++=-（3n ≥），④ ③-④得，1

12

n n a b -=（3n ≥），即1

1

2n n b a -=（3n ≥），………………6分 ①中，令2n =得，12214a b a b +=，即121124a b a b +=，所以212b =， 所以11

2n n b a -=，n ∈*N ，

从而

1

2n n

b b +=，即证{}n b 是等比数列；………………8分 （2）因为{}n b 是等比数列，不妨设公比为q ，

因为12132121n n n n n a b a b a b a b a b ---+++???++122n n +=--， ①

所以1122332211n n n n n a b a b a b a b a b -----+++???++2(1)2n n =---（2n ≥），②

①-②q ?得，()

11222(1)2n n n a b n q n +??=------??（2n ≥）

， 即111

2122n n q q q

a n

b b b ---=

?+?-（2n ≥），………………13分 因为{}n a 是等差数列，所以2q =，此时1

1

n a n b =

?（2n ≥）且对1n =也适合， 所以1

111

122n n n n a b n n b a --=??

=?． ………………16分

附加题参考答案

1.解： 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝????11可得，????3

3c

d ????11＝6????

11，

即c ＋d ＝6；

由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝???? 3－2，可得????3 3c d ???? 3－2＝???

? 3

－2，

即3c －2d ＝－2，解得?

??

??

c ＝2，

d ＝4.即A ＝??

??

3 32

4 ………………6分

A 的逆矩阵是??????23 －12

－13 12 ………………10分

2.解 圆ρ＝4sin ?

????θ＋π6的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2

＝4，

射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx (x ≥0，k ＞0)． ………………6分 圆心(1，3)到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|

1＋k 2

. 根据题意，得2

4－k －32

1＋k

2

＝23，解得k ＝

33

.

即tan θ0＝33，又θ0∈?

????0，π2，所以θ0＝π6. ………………10分

3.解：（1）设事件A ：“恰用完3次投篮机会”， 则其对立事件A ：“前两次投篮均不中”，

依题意，()

()2

21()111P A P A p =-=--=， 解得35p =；答：35

p =（3分）

（2）依题意，ξ的所有可能值为0，1，2，3，

且()24(0)125P p ξ==-=，()()()2

24(1)111125

P p p p p p ξ==-+--=，

327(3)P p ξ===，故54(2)1(0)(1)(3)P P P P ξξξξ==-=-=-==，

ξ的概率分布表为：

………………8分

E (ξ)24542721323125

125

125

125

=+?+?=（次）．

答： E (ξ)125

213

=

………………10分 4.解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π

3×2n －1

＝2? ??

??cos π3×2n －12－1，

∴a n ＝2a 2

n ＋1－1， ………………2分 ∴a n ＋1＝±a n ＋1

2

，又n ∈N *

，n ＋1≥2，a n ＋1＞0，

∴a n ＋1＝

a n ＋1

2

. ………………3分

(2)当n ＝1时，a 1＝－1

2，b 1＝1－2＝－1，∴a 1＞b 1，

当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝1

2，∴a 2＝b 2，

当n ＝3时，a 3＝

32，b 3＝1－19＝8

9

，∴a 3＜b 3， 猜想：当n ≥3时，a n ＜b n ，下面用数学归纳法证明． ………………5分 ①当n ＝3时，由上知，a 3＜b 3，结论成立． ②假设当n ＝k ，k ≥3，n ∈N *

时，a k ＜b k 成立，

即a k ＜1－

2

k ·k ！

， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝

a k ＋1

2

＜

2－2k ·k ！

2

＝

1－

1

k ·k ！

， ………………7分 b k ＋1＝1－2

k ＋1·k ＋1！，

要证a k ＋1＜b k ＋1，即证明?

???? 1－

1k ·k ！2＜? ??

??1－2k ＋1·k ＋1！2

， 即证明1－1k ·k ！＜1－4k ＋1·k ＋1！＋?

??

??2k ＋1·k ＋1！2，

即证明1

k ·k ！

－4k ＋1·k ＋1！＋?

??

??2k ＋1·k ＋1！2＞0，

即证明

k －1

2

k k ＋1·k ＋1！＋?

?

?

??2k ＋1·k ＋1！2＞0，显然成立． ………………9分

∴n ＝k ＋1时，结论也成立．

综合①②可知：当n ≥3时，a n ＜b n 成立．

综上可得：当n ＝1时，a 1＞b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2，

当n ≥3，n ∈N *

时，a n ＜b n . ………………10分