新人教版《一元二次方程》单元综合测试题含答案

第一章 一元二次方程单元综合测试题

一、填空题(每题2分，共2020

1．方程1

2

x(x －3)=5(x －3)的根是_______．

2．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有________．

(1)2y 2+y －1=0；(2)x(2x －1)=2x 2；(3)21

x

－2x=1；(4)ax 2+bx+c=0；(5)12x 2=0．

3．把方程(1－2x)(1+2x)=2x 2－1化为一元二次方程的一般形式为________．

4．如果21

x

－2x －8=0，则1x 的值是________．

5．关于x 的方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+2m －1=0是一元二次方程的条件是________． 6．关于x 的一元二次方程x 2－x －3m=0?有两个不相等的实数根，则m?的取值范围是定______________．

7．x 2－5│x │+4=0的所有实数根的和是________． 8．方程x 4－5x 2+6=0，设y=x 2，则原方程变形_________ 原方程的根为________．

9．以－1为一根的一元二次方程可为_____________(写一个即可)．

10．代数式1

2

x 2+8x+5的最小值是_________．

二、选择题(每题3分，共18分)

11．若方程(a －b)x 2+(b －c)x+(c －a)=0是关于x 的一元二次方程，则必有( )． A ．a=b=c B ．一根为1 C ．一根为－1 D ．以上都不对

12．若分式226

32

x x x x ---+的值为0，则x 的值为( )．

A ．3或－2

B ．3

C ．－2

D ．－3或2 13．已知(x 2+y 2+1)(x 2+y 2+3)=8，则x 2+y 2的值为( )． A ．－5或1 B ．1 C ．5 D ．5或－1

14．已知方程x 2+px+q=0的两个根分别是2和－3，则x 2－px+q 可分解为( )． A ．(x+2)(x+3) B ．(x －2)(x －3) C ．(x －2)(x+3) D ．(x+2)(x －3)

15已知α，β是方程x 2+2020x+1=0的两个根，则(1+2020α+α2)(1+2020β+β2)的值为( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

16．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2－6x+8=0的解，?则这个三角形的周长是( )．

A．8 B．8或10 C．10 D．8和10

三、用适当的方法解方程(每小题4分，共16分)

17．(1)2(x+2)2－8=0；(2)x(x－3)=x；

(3)x2=6x；(4)(x+3)2+3(x+3)－4=0．

四、解答题(18，19，20201题每题7分，22，23题各9分，共46分)

18．如果x2－10x+y2－16y+89=0，求x

y

的值．

19．阅读下面的材料，回答问题:

解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是:

设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；

当y=4时，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四个根:x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．

(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用___________法达到________的目的，?体现了数学的转化思想．

(2)解方程(x2+x)2－4(x2+x)－12=0．

2020图，是丽水市统计局公布的2020～2020年全社会用电量的折线统计图．

（1）填写统计表:

2020～2020年丽水市全社会用电量统计表:

年份2020 2020 2020 2020

全社会用电量

(单位:亿kW·h)

13.33

(2)根据丽水市2020年至2020年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率(保留两个有效数字)．

21．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．

(1)若商场要求该服装部每天盈利12020，每件衬衫应降价多少元？

(2)试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．

22．设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程1

2

x2b x+c－

1

2

a=0有两个

相等的实数根，?方程3cx+2b=2a的根为x=0．

(1)试判断△ABC的形状．

(2)若a，b为方程x2+mx－3m=0的两个根，求m的值．

23．已知关于x的方程a2x2+(2a－1)x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

解:(1)根据题意，得△=(2a －1)2－4a 2>0，解得a<

14

． ∴当a<0时，方程有两个不相等的实数根． (2)存在，如果方程的两个实数根x 1，x 2互为相反数，则x 1+x 2=－21

a a

=0 ①，

解得a=

12，经检验，a=1

2是方程①的根． ∴当a=1

2

时，方程的两个实数根x 1与x 2互为相反数．

上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．

24、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?

25、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动(不与B 点重合)，动直线QD 从AB 开始以2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与BC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，

(1)试判断四边形BPDQ 是什么特殊的四边形？如果P 点的速度是以1cm/s ，

则四边形BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？

(2)求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？

1、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点 C A B Q

D

←

↑ Q

P B D A C

时间为t 秒，

(1)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

(2)当t 为何值时，△APQ 的面积为5

24

个平方单位？

2、有一边为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，

(1)t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ； (2)当正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为7，求时间t ；

3、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ，(1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；(3)当点P 运动什么位置时，使得∠C PD=∠OAB， 且58BD BA ，求这时点P 的坐标；

C B

Q R A D l

P

答案:

1．x1=3，x2=10

2．(5) 点拨:准确掌握一元二次方程的定义:即含一个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程．

3．6x2－2=0

4．4 －2 点拨:把1

x

看做一个整体．

5．m≠±1

6．m>－

1

12

点拨:理解定义是关键．

7．0 点拨:绝对值方程的解法要掌握分类讨论的思想．

8．y2－5y+6=0 x1x2=，x3x4=

9．x2－x=0(答案不唯一)

10．－27

11．D 点拨:满足一元二次方程的条件是二次项系数不为0．

12．A 点拨:准确掌握分式值为0的条件，同时灵活解方程是关键．

13．B 点拨:理解运用整体思想或换元法是解决问题的关键，同时要注意x2+y2式子本身的属性．

14．C 点拨:灵活掌握因式分解法解方程的思想特点是关键．

15．D 点拨:本题的关键是整体思想的运用．

16．C 点拨:?本题的关键是对方程解的概念的理解和三角形三边关系定理的运用．17．(1)整理得(x+2)2=4，

即(x+2)=±2，

∴x1=0，x2=－4

(2)x(x－3)－x=0，

x(x－3－1)=0，

x(x－4)=0，

∴x1=0，x2=4．

(3)26x=0，

x2－x+1=0，

由求根公式得x1，x2．

(4)设x+3=y，原式可变为y2+3y－4=0，

解得y1=－4，y2=1，

即x+3=－4，x=－7．

由x+3=1，得x=－2．

∴原方程的解为x1=－7，x2=－2．18．由已知x2－10x+y2－16y+89=0，得(x－5)2+(y－8)2=0，

∴x=5，y=8，∴x

y

=

5

8

．

19．(1)换元降次

(2)设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，

解得y1=6，y2=－2．

由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．

由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，

b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．

所以原方程的解为x1=－3，x2=2．

(2)设2020年至2020年平均每年增长率为x，

则2020年用电量为14.73亿kW·h，

2020年为14.73(1+x)亿kW·h，

2020年为14.73(1+x)2亿kW·h．

则可列方程:14.73(1+x)2=21.92，1+x=±1.22，

∴x1=0.22=22%，x2=－2.22(舍去)．

则2020～2020年年平均增长率的百分率为22%．

21．(1)设每件应降价x元，由题意可列方程为(40－x)·(30+2x)=12020 解得x1=0，x2=25，

当x=0时，能卖出30件；

当x=25时，能卖出80件．

根据题意，x=25时能卖出80件，符合题意．

故每件衬衫应降价25元．

(2)设商场每天盈利为W元．

W=(40－x)(30+2x)=－2x2+50x+12020－2(x2－25x)+12020－2(x－12.5)2+1512.5 当每件衬衫降价为12.5元时，商场服装部每天盈利最多，为1512.5元．

22．∵

12x 2x+c －1

2

a=0有两个相等的实数根，

∴判别式)2－4×12(c －1

2

a)=0，

整理得a+b －2c=0 ①，

又∵3cx+2b=2a 的根为x=0， ∴a=b ②．

把②代入①得a=c ，

∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形． (2)a ，b 是方程x 2+mx －3m=0的两个根， 所以m 2－4×(－3m)=0，即m 2+12m=0， ∴m 1=0，m 2=－12．

当m=0时，原方程的解为x=0(不符合题意，舍去)， ∴m=12．

23．上述解答有错误．

(1)若方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程， ∴a 2≠0且满足(2a －1)2－4a 2>0，∴a<1

4

且a ≠0． (2)a 不可能等于

12

． ∵(1)中求得方程有两个不相等实数根，同时a 的取值范围是a<1

4

且a ≠0， 而a=

12>1

4

(不符合题意) 所以不存在这样的a 值，使方程的两个实数根互为相反数．