三角函数(概念和公式)
三角函数 (概念和公式 )
一.角的概念的推广
1.任意角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按________（逆，顺）时针旋转形成的角叫做正角.反之叫做负角. 如
果一条射线没有任何旋转，我们称它形成了一个_______（正、负、零）角.-35
0是负角。表示顺时针旋转350的角。
2.象限角与轴线角:(1)象限角:使角的顶点与____（零点，坐标轴）重合,角的始边与
________（X 非负半轴，Y 非负半轴）重合,那么角的终边(除顶点外)在第_____象限,我们就说这个角是第几（一、二、三、四）象限角.
例题：写出下列象限角的集合：第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限
(2) 轴线角：终边落在______________（轴线、X 轴、Y 轴）的角称之为轴线角_
例题：写出下列轴线角的集合：终边落在x 轴的正半轴上 终边落在x 轴的负半轴上
终边落在y 轴的正半轴上 终边落在y 轴的负半轴上
(3)区分两个概念：一、（锐角、小于900 的角）：锐角是00 包括负角。二、（钝角、第二象限角）钝角是900 四）象限角,第二象限角是{k ·3600+900< a< k ·3600+1800, k ∈Z}所表示的角。 例题：区分直角与坐标轴上的角. 3.终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=_________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与K 个（k ∈Z ）个周角的和,利用终边相同 的角的一般形式可以求出符合某些条件的终边相同的角. 350=-3250 +3600 故350的终边与 -3250的终边相同。 例题:写出在00--3600范围内，与 -2700终边相同的角 例题：若α,β终边相同，则α-β的终边在 ( ) A x 轴的非负半轴 B.y 轴的非负半轴 C.x 轴的非正半轴 D.y 轴的非正半轴 二弧度制 1.定义：长度等于________（半径、直径）叫做1弧度的角；用弧度作为单位来度量角的单位制叫_________.在弧度制下，1弧度记做_______. 2一般地，正角的弧度数是一个_________（正数、负数），负角的弧度数是一个__________（正数、负数），零角的弧度数是________. 3角α的弧度数的绝对值|α|=___________（其中L 是以角α作为圆心角所对的弧的长，R 是圆的半径） 4.弧度制与角度制的互化:（1）把角度换度:3600=____,1800=___,10 =_____. 304560???=-=-=-120135??=-= （2）把弧度换成角度: 2π=______,π=_______,1弧度=________. 5.扇形的弧长和面积公式: 若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为R ，弧长为L ，面 积为S ，则有弧长__________,扇形面积S=__________. 例题1:已知扇形的面积是3π/8，半径是1，则扇形的中心角是________. 例题2: 设扇形周长为定值，当扇形面积取最大值时，该扇形中心角为________rad . 例题3:扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长C 最小，这个最小值是________ 三.任意角的三角函数 1.定义：设α是一个任意角,α的终边上任意一点P （x ，y ）,它与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则sin α =_____，cos α=______，tan α=___________. 例题1.角α终边上一点Q(-3,4),sin α=_____,cos α=______,tan α=_______,cot α=_______. 角α终边上一点Q( -3，-4),sin α=_____,cos α=______,tan α=_______,cot α=_______. 例题2.已知sin α=3/5,且角α是第二象限的角,cos α=_____,tan α=_________,cot α=______. 例题3.函数y = sin cos tan t sin cos tan cot x x x co x x x x x +++的值域是---------------------- 例题4. α的终边上有一点P （3a －9，a+2），满足0cos ≤α且0sin >α，则a ∈________． 2.单位圆中的三角函数线：如图，单位圆与角α终边交于P 点，与x 轴正半轴交于A （1，0）点.过A 点作单位圆切线，与α角终边或其延长线交于T 点，过P 点作PM ⊥OM ，垂足为M ，则有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线. 例题1: 利用单位圆写出符合下列条件的角:sin α>-12,α∈________; ②cos α>12则α∈________;tan ,∈________ 例题2: 求下列函数的定义域：①29lgsin y x x -________; ②22cos 3cos 1y x x -+-;③21()sin lg(25)2 f x x x --________. 四.同角三角函数的基本关系式 1.平方关系:sin 2α+cos 2α=___;商数关系:α αcos sin =________;倒数关系:tan αcot α=_____. 规律求值: 已知sin α、cos α、tan α、cot α四个三角函数值中的一个，就可以求另外三个.利用平方关系时，应对α的象限进行讨论以确定符号,而当α的象限不确定时，则需分象限讨论. 例题1：已知sin α=4/5且α是第二象限角，则tan α的值是________ 例题2：若ααsin sin 1-1+=αα cos sin 1+，则α的取值范围是 例题 3.已知2cot tan =+αα，求下列各式的值：①;cot tan 22αα+=_______;② .cos sin αα+=_____. 2．同角三角函数的基本关系式反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的性质变形提供了工具和方法. (1).已知,21cos sin -=-θθ则=-θθ33cos sin ______________ . (2)已知2cos sin =+θθ，则θθcot tan +的值为____________. (3).设πα<<0，且 137cos sin =+αα，试求ααtan 1tan 1+-的值. (4) .已知53 sin =α且α为第二象限的角，则=αtan ________ (5).已知 ,21tan -=α求αααα22cos sin cos sin 21-+=________ (6).若,2cos sin cos sin =-+θθθθ则=θθcos sin ________. 3.活用公式：对同角三角函数的基本关系式除了顺用，还应会逆用、变用、活用.例如： 由1cos sin 22=+αα变形cos2a=____________,cosa=______________,sinacosa=___________. 例题：已知α为某三角形的一内角sin cos 15,αα+=sin α=______,cos α=______,tan α=_______. 4.化简规律：（1）次数要化到最低；（2）尽可能不含根号；（3）三角函数种类最少；（4）能求值的求出值. 例题1：若θθθθ 22cot 1sin tan 1cos +++1-=，则θ是第__________象限角. 5.“1”的灵活运用：注意到1=sin 2a+cos 2a=tan αcot α =sin 2 π=_____用等式右端的式子，代替三角式中的“1”，就会有意想不到的收获. 例题1= 例题2：设πθπ223<≤==_________． 6.诱导公式: 诱导公式总体上可以看成是k ·90°±α与α的三角函数间关系，可以记为：“_______________,_____________”即：k 取奇数时，函数名需改变，正弦变________，余弦变_______，符号看象限总体上是k ·90°±α的象限确定公式中等式右边的符号，对于任意角α,将α看成锐角,这时，90°+α,180°-α看成第________象限角，180°+α, 270°-α看成第_______象限角，270°+α，360°-α看成第________象限角. (1)sin(k360°+α)=________,cos(k360°+α)=__________,tan (k360°+α)=________; (2)sin(360°-α)=_________,cos(360°-α)=___________,tan (360°-α)=________; (3)sin(-α)=_________, cos(-α)=_________, tan(-α)=___________; (4)sin(180°+α)=__________,cos(180°+α)=__________,tan(180°+α)=_________; (5)sin(180°-α)=__________,cos(180°-α)=__________,tan(180°-α)=__________; (6)sin(90°+α)= __________,cos(90°+α)=___________,tan(90°+α)=__________; (7)sin(90°-α)= __________,cos(90°-α)=___________,tan(90°-α)=__________; (8)sin(270°+α)=__________,cos(270°+α)=__________,tan(270°+α)=__________; (9) sin(270°-α)=__________,cos(270°-α)=__________,tan(270°-α)=_______ _ 例题：计算或化简 （1）sin 420cos 750sin(330)cos(660)?????+-?- （2）tan 675tan 765tan(330)tan(690)???+--?+- （3）sin(1071)sin 99sin(171)sin(261)????-?+-?-