整式的乘除知识点总结及针对练习题

思维辅导

整式的乘除知识点及练习

基础知识：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 2

2-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：1223223--+-y xy y x x

按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--

按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x

知识点归纳：

一、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：532)()()(b a b a b a +=+?+

【基础过关】

1．下列计算正确的是（ ）

A ．y 3·y 5=y 15

B ．y 2+y 3=y 5

C ．y 2+y 2=2y 4

D ．y 3·y 5=y 8

2．下列各式中，结果为（a+b ）3的是（ ）

A ．a 3+b 3

B ．（a+b ）（a 2+b 2）

C ．（a+b ）（a+b ）2

D ．a+b （a+b ）2

3．下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（ ）

A ．（a+b ）（a+b ）2

B ．（a+b ）（a －b ）2

C ．－（a －b ）（b －a ）2

D ．（a+b ）（a+b ）3（a+b ）2

4．下列计算中，错误的是（ ）

A ．2y 4+y 4=2y 8

B ．（－7）5·（－7）3·74=712

C ．（－a ）2·a 5·a 3=a 10

D ．（a －b ）3（b －a ）2=（a －b ）5

【应用拓展】

5．计算：

（1）64×（－6）5 （2）－a 4（－a ）4

（3）－x 5·x 3·（－x ）4 （4）（x －y ）5·（x －y ）6·（x －y ）7

6．已知a x =2，a y =3，求a x+y 的值．

7．已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．

知识点归纳：

二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10

253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(==

如：23326)4()4(4== 已知：23a =，326b =，求310

2a b +的值；

【基础过关】

1．有下列计算：（1）b 5b 3=b 15； （2）（b 5）3=b 8； （3）b 6b 6=2b 6； （4）（b 6）6=b 12；其中错误的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个

2．计算（－a 2）5的结果是（ ）

A ．－a 7

B ．a 7

C ．－a 10

D ．a 10

3．如果（x a ）2=x 2·x 8（x ≠1），则a 为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

4．若（x 3）6=23×215，则x 等于（ ）

A ．2

B ．－2

C ．±

D ．以上都不对

5．一个立方体的棱长为（a+b ）3，则它的体积是（ ）

A ．（a+b ）6

B ．（a+b ）9

C ．3（a+b ）3

D ．（a+b ）27

【应用拓展】

6．计算：

（1）（y 2a+1）2 （2）[（－5）3] 4－（54）3

（3）（a －b ）[（a －b ）2] 5

7．计算：

（1）（－a 2）5·a －a 11 （2）（x 6）2+x 10·x 2+2[（－x ）3] 4

知识点归纳：

三、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???-

【基础过关】

1．下列计算中：（1）（xyz ）2=xyz 2； （2）（xyz ）2=x 2y 2z 2； （3）－（5ab ）2=－10a 2b 2；

（4）－（5ab ）2=－25a 2b 2；其中结果正确的是（ ）

A ．（1）（3）

B ．（2）（4）

C ．（2）（3）

D ．（1）（4）

2．下列各式中，计算结果为－27x 6y 9的是（ ）

A ．（－27x 2y 3）3

B ．（－3x 3y 2）3

C ．－（3x 2y 3）3

D ．（－3x 3y 6）3

3．下列计算中正确的是（ ）

A ．a 3+3a 2=4a 5

B ．－2x 3=－（2x ）3

C ．（－3x 3）2=6x 6

D ．－（xy 2）2=－x 2y 4

4．化简（－1

2）7·27等于（ ）

A ．－1

2 B ．2 C ．－1 D ．1

5．如果（a 2b m ）3=a 6b 9，则m 等于（ ）

A ．6

B ．6

C ．4

D ．3

【应用拓展】

6．计算：

（1）（－2×103）3 （2）（x 2）n ·x m －n （3）a 2·（－a ）2·（－2a 2）3

（4）（－2a 4）3+a 6·a 6 （5）（2xy 2）2－（－3xy 2）2

7．已知x n =2，y n =3，求（x 2y ）2n 的值．

知识点归纳：

四、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷

【基础过关】

1.下列计算正确的是（ ）

A ．（－y ）7÷（－y ）4=y 3 ；

B ．（x+y ）5÷（x+y ）=x 4+y 4；

C ．（a －1）6÷（a －1）2=（a －1）3 ；

D ．－x 5÷（－x 3）=x 2.

2下列各式计算结果不正确的是( )

A.ab(ab)2=a 3b 3；

B.a 3b 2÷2ab=21a 2b ；

C.(2ab 2)3=8a 3b 6；

D.a 3÷a 3·a 3=a 2. 3计算：()()()43

25

a a a -÷?-的结果，正确的是（ ） A.7a ； B.6a -； C.7a - ； D.6a . 4. 对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ） A ．923)(m m = ； B ．6

23m m m =?； C ．532m m m =+ ； D ．426m m m =÷.

5..若53=x ，43=y ,则y x -23

等于( ) A.254

； B.6 ； C.21； D.20. 【应用拓展】 6.计算： ⑴24)()(xy xy ÷； ⑵2252)()(ab ab -÷-；

⑶24)32()32(y x y x +÷+； ⑷3

47)34()34()34(-÷-÷-.

知识点归纳：

五、零指数和负指数； 10=a ，即任何不等于零的数的零次方等于1。

p p a

a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如：8

1)21(233==- 【典型例题】

例1. 若式子0(21)x -有意义，求x 的取值范围。

分析：由零指数幂的意义可知.只要底数不等于零即可。

解：由2x －1≠0，得

12x ≠ 即，当12x ≠时，0(21)x -有意义

六、科学记数法：如：0.00000721=7.21610-?（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方，数零）

【基础过关】

1. 下列算式中正确的是（ ）

A. 0(0.0001)01=-

B. 4100.0001-=

C. ()010251-?=

D. ()20.010.01-=

2. 下列计算正确的是（ ）

A. 355410m m m a a a ---÷=

B. 4322x x x x ÷÷=

C. ()010251-?=

D. 001.0104=- 3. 若

20

22110.3,3,,33a b c d --????=-=-=-=- ? ?????，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）. A. a

B. b

C. a

D. c

径为（ ）

A. 43.510m ?

B. 43.510m -?

C. 53.510m -?

D. 93.510m -?

5 小明和小刚在课外阅读过程中看到这样一条信息：“肥皂泡厚度约为0.0000007m.”小明说：“小刚，我用科学计数法来表示肥皂泡的厚度，你能选出正确的一项吗？”小刚给出的答案中正确的是（ ）

A. 60.710-?

B. 70.710-?

C. 7710-?

D. 6710-?

知识点归纳：

七、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

【基础过关】

1. (－2a 4b 2)(－3a )2的结果是( )

A.－18a 6b 2

B.18a 6b 2

C.6a 5b 2

D.－6a 5b 2

2.若(a m +1b n +2)·(a 2n －1b 2m )=a 5b 3,则m +n 等于( )

A.1

B.2

C.3

D.－3

3.式子－( )·(3a 2b )=12a 5b 2c 成立时，括号内应填上( )

A.4a 3bc

B.36a 3bc

C.－4a 3bc

D.－36a 3bc

4.下面的计算正确的是( )

A ．a 2·a 4＝a 8

B ．(－2a 2)3＝－6a

6 C ．(a n ＋1)2＝a 2n ＋1 D ．a n ·a ·a n －1＝a 2n

【应用拓展】

5. 计算：

(1)(2xy 2)·(31xy ); (2)(－2a 2b 3)·(－3a );

(3)(4×105)·(5×104); (4)(－3a 2b 3)2·(－a 3b 2)5;

(5)(－32a 2bc 3)·(－43c 5)·(31ab 2

c )

知识点归纳：

八、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

【基础过关】

1．化简2(21)(2)x x x x ---的结果是（ ）

A ．3x x --

B ．3x x -

C ．21x --

D ．3

1x -

2．化简()()()a b c b c a c a b ---+-的结果是（ ）

A ．222ab bc ac ++

B ．22ab bc -

C ．2ab

D ．2bc -

3．如图14－2是L 形钢条截面，它的面积为（ ）

A ．ac+bc

B ．ac+(b-c)c

C ．(a-c)c+(b-c)c

D ．a+b+2c+(a-c)+(b-c)

4．下列各式中计算错误的是（ ） A ．

3422(231)462x x x x x x

-+-=+- B ．232(1)b b b b b b -+=-+

C ．231(22)2x x x x --=--

D ．342232(31)2323

x x x x x x -+=-+ 5．2211(6)(6)23

ab a b ab ab --?-的结果为（ ） A ．2236a b B ．3222536a b a b +

C ．2332223236a b a b a b -++

D ．232236a b a b -+ 【应用拓展】

2．已知26ab =，求253()ab a b ab b --的值。

3．若12

x =，1y =，求2222()()3()x x xy y y x xy y xy y x ++-+++-的值。

知识点归纳：

九、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

【基础过关】

1. 计算(2a －3b )(2a ＋3b )的正确结果是( )

A ．4a 2＋9b 2

B ．4a 2－9b 2

C ．4a 2＋12ab ＋9b 2

D ．4a 2－12ab ＋9b 2

2. 若(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－kx ＋ab ，则k 的值为( )

A ．a ＋b

B ．－a －b

C ．a －b

D ．b －a

3. 计算(2x －3y )(4x 2＋6xy ＋9y 2)的正确结果是( )

A ．(2x －3y )2

B ．(2x ＋3y )2

C ．8x 3－27y 3

D ．8x 3＋27y 3

4. (x 2－px ＋3)(x －q )的乘积中不含x 2项，则( )

A ．p ＝q

B ．p ＝±q

C ．p ＝－q

D ．无法确定

5. 计算(a 2＋2)(a 4－2a 2＋4)＋(a 2－2)(a 4＋2a 2＋4)的正确结果是( )

A ．2(a 2＋2)

B ．2(a 2－2)

C ．2a 3

D ．2a 6

【应用拓展】 6. (3x －1)(4x ＋5)＝_________．

7. (－4x －y )(－5x ＋2y )＝__________．

8. (x ＋3)(x ＋4)－(x －1)(x －2)＝__________．

9. (y －1)(y －2)(y －3)＝__________．

10. (x 3＋3x 2＋4x －1)(x 2－2x ＋3)的展开式中，x 4的系数是__________．

知识点归纳：

十、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+

注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2

③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4

④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz

【基础过关】

1.下列式中能用平方差公式计算的有( )

①(x-12y)(x+12

y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.下列式中,运算正确的是( )

①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -

++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++??=.

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④

3.乘法等式中的字母a 、b 表示( )

A.只能是数

B.只能是单项式

C.只能是多项式

D.单项式、?多项式都可以

【应用拓展】 4.(x+6)(6-x)=________,11()()22x x -+--=_____________.

5.222(25)(

)425a b a b --=-. 6.(x-1)(2x +1)( )=4x -1.

7.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].

8.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]

9. 1

8201999

?=_________,403×397=_________. 知识点归纳：

十一、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+

ab b a b a 4)()(22-+=-

222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

222)()]([)(b a b a b a +=+-=--

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

【典型例题】

例1．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=?-

例2 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+?=

【基础过关】

1.下列等式能成立的是( ).

A.(a-b)2＝a 2-ab+b 2

B.(a+3b)2＝a 2+9b 2

C.(a+b)2＝a 2+2ab+b 2

D.(x+9)(x-9)＝x 2-9

2． (a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ).

A.8(a-b)2

B.8(a+b)2

C.8b 2-8a 2

D.8a 2-8b 2 3．(5x 2-4y 2)(-5x 2

+4y 2)运算的结果是( ). A.-25x 4-16y 4

B.-25x 4+40x 2y 2-16y 2

C.25x 4-16y 4

D.25x 4-40x 2y 2+16y 2

4．如果x 2+kx+81是一个完全平方式，那么k 的值是( ).

A.9

B.-9

C.9或-9

D.18或-18

5．边长为m 的正方形边长减少n(m ＞n)以后，所得较小正方形的面积比原正方形面积减少了(

) A.n 2 B.2mn C.2mn-n 2 D.2mn+n 2

【应用拓展】

6.(3y+2x)2 (3a+2b)2-(3a-2b)2

7.计算：(1)20012 (2)1.9992

8．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。

9． 已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。

10.已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。

知识点归纳：

十二、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

十三、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：c b a m cm m bm m am m cm bm am ++=÷+÷=÷=÷++)(

【基础过关】

1．计算（12x 3－18x 2－6x ）÷（－6x ）的结果为（ ）

A ．－2x 2+3x+1

B ．2x 2+3x －1

C ．－2x 2－3x －1

D ．2x 2－3x －1

2．如果M÷（－3xy ）=4x 3－xy ，则M=（ ）

A ．－12x 4y+3x 2y 2

B ．12x 4y －3x 2y 2

C ．－12x 4y －3x 2y 2

D ．12x 4y+3x 2y 2

3．若（x －1）0－3（x －2）0有意义，那么x 的取值范围是（

） A ．x>1 B ．x>2 C ．x≠1或x≠2 C ．x≠1且x≠2

4.（－3m 2n 2+24m 4n －mn 2+4mn ）÷（－2mn ）=_______

5．（32x 5－16x 4+8x 3）÷（－2x ）2=_______

【应用拓展】

(1)28x 4y 2?7x 3y ;

(2)-5a 3b 3c ?15a 4b ;

(3)(-ab 2c 3)3?(-3abc )2

(1)(28a 3-14a 2+7a )?7a ;

(2)(36x 4y 3-24x 3y 2+3x 2y 2)?(-6x 2y ).