2019北京市初三一模数学试卷分析

一、试卷整体情况分析：

1、试卷结构及分值：

试卷总分100分：

【选择题】共8题，每题2分；

【填空题】共8题，每题2分；

【解答题】共12题，基础解答：第17~22题每题5分，中档解答：第23~26题每题6分，压轴解答：第27~28题每题7分。

2、整体难度分析：

不再倡导“考试应具有必要的区分度和适当难度”，减少学生的两极分化，体现教育的公平性，更加注重“四基”与“四能”的考察，重视教材回归课本，没有偏难偏怪的题目出现。因此直观上来看整套试卷的基础中档题和实际生活相结合的题目偏多，阅读量增加，计算量略大，重心前移，选择填空答题时间会变多；压轴题中代数综合和几何综合考查常规，难度适中，新定义的最后一问不好理解，对学生能力要求较高，会成为最大的拉分题；出题方式有一定的海淀区特色体现，需要学生提升提取信息、审题和运算的能力。

对学生而言，今年已经出来的一模试题整体都比2018北京中考题目容易，且和《2019年北京中考考试说明》样题的考点相似度很高。

题型虽然大同小异，部分题目顺序上进行微调，又体现了未来新中考考查难度的调整和考查方向的变化。比如18年中考关于科学计数法的考查已经由原来的选择第二题调整到选择第四、第五题位置，理论依据也已经有2分填空调整为5分简答，圆综合的位置在本套试卷里再次前移，所以也要注意这些变化，用以调整整套试题的答题时间分配。

和实际生活相结合得题目增多，关注社会热点问题，做下来就感觉一边在阅读生活事件，一边在查找题目中的有效信息，解决遇到的真实问题，吃玩住行等日常生活无不与数学知识息息相关，很好的体现出数学的实用性。这类题目解决起来并不难，不需要特别强的数学思维能力，但对于一些基础及中等题目来说，更加着重体现在分析和解决问题能力的考查。快速准确的提取有效信息，选择最优方法。所以这类题目对学生来说不应该是典型拉分题，但会因生活经验缺乏或审题不细致，或提取信息不全等造成失误丢分。

纵观整套试卷，稳中有调，易中有难，考法独特，两极分化相对减少，对学生思维缜密、阅读理解能力及提取信息能力等综合性要求提升。

二、试卷结构分析对比

模块占比分析：

整套试卷中，数与代数占比明显提升，略高于2018北京中考，和《2019年北京中考考试说明》样题一致，虽然整体难度不算高，但生活经验不足，综合能力弱的学生会有“题目都不难，但不敢保证都做对了，心里没底”的感觉，估分和实际成绩可能有一定的出入。

2、模块分值占比与2018中考对比分析：

与2018年中考各模块分值占比接近，今年的海淀一模在代数部分分值略有增加，更侧重于数学的运算能力及推理能力与实际生活的联系，计算量略大，这也是多年北京中考中少有的特点，更多考查动手操作和让学生亲身经历数学的发展、形成和应用的过程。对比发现统计和概率部分都占了10分，但近两年包含一模在内基本不再考概率题目，更多偏重和生活结合紧密的数据分析。

58%

32%

10%

2019海淀一模

数与代数图形与几何统计与概率

1020304050602018年中考

2019年一模52

58

10

10

38

32

考试内容及分值对比

数与代数

概率与统计

图形与几何

三、试题解析

2019北京海淀区初三一模数学试卷及答案

数 学 2019．05

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的选项只有

．．一个． 1．如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是（ ）

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30° 【答案】B

2x 的取值范围是（ ）

A ．1x

B ．1x

C ．1x

D ．1x

【答案】A

3．实数a b c ，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若a

b ，则下列结论中错误．．

的是（ ）

A ．0a b

B ．0a c

C ．0b c

D ．0ac

【答案】A

4．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ） A ．45°

B ．60°

C ．72°

D ．90°

【答案】C

5．2019年2月，美国宇航局（NASA ）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行动主导了地球变绿．尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林．已知亚马逊雨林的面积为6 560 000km 2，则过去20年间地球新增植被的面积约为（ ）

A ．66.5610km 2

B ．76.5610km 2

C ．7210km 2

D ．8210km 2

【解析】科学计数法。每年必考点，已经后移到第五道位置，与生活结合的应用题目，提取有效信息要求较高，不再是简单的把题目中复杂数值直接写成科学计数法；还需要读懂短文里两个面积的对应关系，问题是“20年间地球新增植被的总面积”，而不是雨林的面积，要看清题目中的“三分之一”这个关键字眼，需再次计算乘以3

a

b

c

后得到结果，最后还要注意数位。将是学生第一道易失分题。

【答案】C 6．如果2

10a ab ，那么代数式

2

2

2a b ab

a

a b

a

的值是（ ） A ．1 B ．1 C ．3 D ．3

【答案】B

7．下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化．

（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》） 根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（ ）

A ．2018年与2017年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上

B ．2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%

C ．2015年至2018年，我国出租车客运的总量一直未发生变化

D ．2015年至2018年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加 【解析】统计图表推理。主要考查结合统计图表对简单实际问题关系进行分析，并解决简单的实际问题。考查用统计的方法对数据分析和推理的能力。关注时下最热门的共享经济，解题关键是看清图表的横纵坐标分别表示什么内容，纵坐标却是百分比，并不是我们常见的具体数值，再通过柱状图上的数据二次计算出来两种出租车的占比。此题易错在有三个选项问题都是占比情况，都需要先计算再比较，如果不认真审题也很容易选错。

【答案】A

8．如图1，一辆汽车从点M 处进入路况良好的立交桥，图2反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系．根据图2，\、这辆车的行车路线最有可能是（ ）

2015-2018年巡游出租车与网约出租车客运量统计图网约出租车客运量（亿人次）

巡游出租车客运量（亿人次）

图1 图2

A

B

C

D

【解析】实际函数图象问题。考查能结合图象对生活场景中常见的实际问题中函数关系进行分析，并解决简单的实际问题。这是一道关于高速公路立交桥行车路线图，生活中都会遇到的真实问题，但这道题易错点体现在先看明白函数图象的横纵坐标表达的内容，又是一道非常规题目。它横坐标表示是路程，纵坐标表示的却是速度，所以我们看到变化曲线是指的速度的变化情况，这正好和常规题目相反，所以一定不要理解错误，看懂图象才能对应选项中的行车路线确定匀速，减速还是加速的情况找对行车位置。

【答案】D

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．右图为某几何体的展开图，该几何体的名称是 ．

【答案】圆柱

10．下图是北京故宫博物院2018年国庆期间客流指数统计图（客流指数是指景区当日客流量与2018年10月1日客流量的比值）．

路程（米）

100200300400500600

70080010

2030405060O

根据图中信息，不考虑其他因素，如果小宇想在今年国庆期间游客较少时参观故宫，最好选择10月 日参观．

【答案】7

11．右图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为

()61-，

，表示中堤桥的点的坐标为()12，时，表示留春园的点的坐标为 ．

【答案】(9,1)-

12．用一组a ，b 的值说明命题“若a b ，则22a b ”是错误的，这组值可以是a = ， b = ．

【答案】1-，2-（答案不唯一）

13．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点．若=20CAB °，则D = °．

(第13题图) （第14题图）

【答案】110

14．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 的延长线上一点，连接BE 交边AD 于点F ．若AB =4，BC =6，DE =2，则AF 的长为 ．

【答案】4

15．2019年2月，全球首个5G 火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍．在峰值速率下传输8千兆数据，5G 网络比4G 网络快720秒，求这两种网络的峰值速率．设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆数据，依题意，可列方程

D

C

B

A

O

F

为．

8

720

10x

16．小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最低可为元．

【解析】费用最优化问题。这类题大多数社会热点和我们的生活息息相关，考

查用数学思维思考生活问题，考查模型思想与应用意识，解决与生活中真实可操作

性问题，有很强的实用价值，学生们肯定能学以致用。2018年中考和19年西城一模都有出现。

本次外卖点菜满减优惠，这更是每个人几乎每天都能遇到的喜闻乐见的事情，

所以解决这个真实存在于生活中的问题本身就对学生有很大的吸引力。需要我们看

清题意提取有效信息，运用已经学过的数学知识，通过数学模型创新性的解决问

题。此题有几处易错点，提取有效信息的同时考查严谨的审题能力，配送费需按订单份数算，满减优惠已备注不含配送费，另外最容易忽略的里面的米饭份数是2，为了最大优惠根据总额会拆成两份订单，一定要记得算最低费用时一定要满减后再加

上两个配送费。

【答案】54

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，

每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：0

4sin60(π1)1231．

【答案】解：原式=

3

412331

（）

18．解不等式组：512(1)324

x x x x ，

．

【答案】解：原不等式组为512(1)32

4

x x x x ，

．①②

解不等式①，得1x ． 解不等式②，得2x ． ∴原不等式组的解集为12x ．

19．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l 及直线l 外一点P ．

求作：直线PQ ，使PQ ∥l ． 作法：如图，

① 在直线l 上取一点O ，以点O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线l 于A ，B 两点； ② 连接PA ，以B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点Q ； ③ 作直线PQ ．

所以直线PQ 就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明．

证明：连接PB ，QB ，

∵ PA =QB ， ∴ PA _____，

∴ ∠PBA =∠QPB （____________________）（填推理的依据）， ∴ PQ ∥l （____________________）（填推理的依据）．

【答案】（1）补全的图形如图所示：

（作弧交半圆于Q 点1分，直线PQ ——1分）

l

l

P

l

（2）QB ，

等弧所对的圆周角相等， 内错角相等，两直线平行． 20．关于x 的一元二次方程220ax ax c ．

（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a c ，的大小，并说明理由； （2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根． 【答案】解：（1）依题意可知，00a ≠?=，． ∴4()0a a c ． ∴a c ．

（2）∵方程有一个根是0，

∴0c ．

∴220ax ax ， 即(2)0ax x ．

∴方程的一个根为2x ．

21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=2CD ，E 为对

角线AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接DE ，EF ． （1）求证：四边形CDEF 为菱形； （2）连接DF 交EC 于G ，若2DF ，5

3

CD

，求AD 的长． 【答案】（1）证明：∵ E ，F 分别为AC ，BC 的中点，

∴ EF ∥AB ，12EF AB =，1

2

CF BC =． ∵ AB ∥CD ， ∴ EF ∥CD ． ∵ AB =2CD ， ∴ EF =CD ．

∴ 四边形CDEF 是平行四边形．

∵ AB =BC ， ∴ CF =EF ．

∴ 四边形CDEF 是菱形．

（2）解：∵ 四边形CDEF 是菱形，2DF =，

∴ DF ⊥AC ，1

12

DG DF =

=． 在Rt △DGC 中，53

CD =，可得4

3CG =．

∴ 43EG CG ==

，8

23

CE CG ==． A

A

∵E为AC中点，

∴

8

3 AE CE

==．

∴4

AG AE EG

=+=．

在Rt△DGA

中，AD==

43，

【解析】圆综合，典型中档题目，这次是难得的简单

题目，第一问常规证直线和圆的位置关系，四边形内角和

【答案】（1）证明：∵PC与⊙O相切于点C，

∴OC⊥PC．

∴∠OCP=90°．

∵∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC+∠CPB=180°．

在四边形PBOC中，∠PBO=360°-∠CPB-∠BOC-∠PCO=90°．

∴半径OB⊥PB．

∴PB是⊙O的切线．

（2）解法1：连接OP，如图．

∵AB是⊙O的直径，AB=

∴

1

2

OC OB AB

===

∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，

∴

1

3

2

CE CD

==．

在Rt△CEO中，sin

CE

COE

CO

∠==．

∴∠COE=60°．

∵ PB ，PC 都是⊙O 的切线， ∴∠CPO =∠BPO ，∠OCP =∠OBP ． ∴ ∠COP=∠BOP =60°． ∴PB = OB · tan60°= 6． 解法2：连接BC ，如图．

∵ AB 是⊙O

的直径，AB =

∴1

2OC AB =

=．

∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD =6， ∴1

32

CE CD ==．

在Rt △CEO 中，sin CE COE CO ∠==

． ∴∠COE =60°．

∴∠CPB =∠COE =60°，1

302

ABC COE ∠=∠=?．

∴ BC =2CE = 6．

∵ PB ，PC 都是⊙O 的切线， ∴ PB =PC ．

∴△PBC 为等边三角形． ∴PB =BC = 6．

23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b =+经过点A （1，m ），B （1-，1-）．

（1）求b 和m 的值；

（2）将点B 向右平移到y 轴上，得到点C ，设点B 关于原点的对称点为D ，记线段BC 与AD 组成的图形为G ．

① 直接写出点C ，D 的坐标； ② 若双曲线k

y x

=

与图形G 恰有一个公共点，结合函数图象，求k 的取值范围． 【解析】小函数综合，海淀一模与2018年中考中题目对比，这次简直太容易了。从去年海淀一模，去年中考到九上期末，这道题也有了几乎要压倒一切中档题的趋势。海淀区一模又次反其道而行之。本次考查反比例函数和已知线段的唯一交点问题，需要注意取值范围等号是否可取问题，比较简单，这个6分题有些名不副实，成了送分题。这道题本次若丢分将损失惨重。

【答案】（1）∵直线2y x b =+经过点A （1，m ），B （1-，1-），

∴1b ．

又∵直线2y x b =+经过点A （1，m ）， ∴3m =．

（2）①C （0，1-），D （1，1）．

②函数k

y x

的图象经过点A 时，3k =． 函数k

y

x

的图象经过点D 时，1k =，此时双曲线也经过点B ， 结合图象可得k 值得范围是0113k k <<<≤或．

24．如图，线段AB 及一定点C ，P 是线段AB 上一动点，作直线CP ，过点A 作AQ

CP 于

点Q ．已知7AB cm ，设A P ，两点间的距离为x cm ，A Q ，两点间的距离为1y cm ，P Q ，两点间的距离为2y cm ．

小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值：

（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点1x y ，，

2x y ，，并画出函数1y ，2y 的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当APQ △中有一个角为30°时，AP 的长度约为______ cm ．

【解析】现场学习类函数图象研究。本题考查研究函数的内容与方法，在经历取点、测量、列表、建系、描点、画函数图象等过程中，探究变量之间的关系，研究函数图象和性质，利用函数有关知识解决问题。此题解题关键在于分清谁是X,谁是Y1,Y2,把每个变量和定量都标在图形上，第一个填空优先考虑通过标准画图刻度尺测量求解，特殊情况可以计算得数。然后通过位置关系或几何图形的特殊性质建立新函数关系，通过函数关系作图找交点，再测量的方式找到解决问题的突破口。此题最后一问需分类讨论两种情况，是丢分点，一定思考全面不能漏解。

【答案】解：本题答案不唯一，如：

（1）

（2）略

（3）5.49或2.50．

25．为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a ．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：4050x ，5060x ，60

70x ，70

80x ，80

90x ，90100x ）：

b ．甲学校学生成绩在8090x 这一组的是：

80 80 81 81.5 82 83 83 84 85

86

86.5

87

88

88.5

89

89

c ．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）甲学校学生A ，乙学校学生B 的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______（填“A ”或“B ”）；

（2）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_______________（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；

（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选．

【答案】解：（1）A ．

频数

(学生人数)

/分

（2）乙．

理由：甲校优秀率40%，低于乙校，说明乙校综合展示水平优秀人数更多； 通过图表，估计甲校平均数为79，低于乙校，说明乙校整体水平高于甲校;

甲校中位数为81.25，乙校为84，说明乙校综合展示水平一半的同学高于84分，而甲校一半同学的综合展示水平仅高于81.25.

综合以上三个（两个）理由，说明乙校的综合素质展示水平更高. （3）88.5．

26． 在平面直角坐标系x O y 中，抛物线2y ax bx c (0)a 经过点(03)A ，和(30)B ，．

（1）求c 的值及a b ，满足的关系式；

（2）若抛物线在A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围；

（3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点(1)(4)M m n N m n ，，，？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由．

【答案】解：（1）由题意可得3093c a b c -=??=++?

，．

∴3c =-，310a b +-=．

（2）由（1）可得2(13)3y ax a x =+-- (0)a >．

∵抛物线在A B ，两点间，从左到右上升， ∴

31

02a a

-≤． ∵0a >，

∴310a -≤，即103

a <≤

． （3）抛物线不能经过点(1)(4)M m n N m n -+-，，，．

理由如下：

若抛物线经过(1)(4)M m n N m n -+-，，，，则抛物线的对称轴为32

x =

． 由抛物线经过点A ，可知抛物线经过点（3，3-），与抛物线经过点B （3，0）矛盾． 所以抛物线不能经过点(1)(4)M m n N m n -+-，，，．

27．如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC °，D 是线段AC 上一点（2CA CD ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ．

（1）依题意补全图形；

（2）若ACE α，求ABD 的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD ，连接DG ． ①判断DG 与BC 的位置关系并证明；

②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．

【答案】（1）补全图形，如图．

（2） 解：∵ AB=BC ，∠ABC=90°， ∴ ∠BAC=∠BCA=45°． ∵ ∠ACE=α， ∴

45

ECB α．

∵ CF ⊥BD 交BD 的延长线于点E ， ∴ ∠BEF=90°． ∴ ∠F+∠ABD=90°． ∵ ∠F+∠ECB=90°， ∴45

ABD

ECB α．

（3）① DG 与BC 的位置关系：DG ⊥BC ．

证明：连接BG 交AC 于点M ，延长GD 交BC 于点H ，如图． ∵ AB=BC ，∠ABD=∠ECB ，BD=CG ， ∴ △ABD ≌△BCG ． ∴ ∠CBG=∠BAD=45°． ∴ ∠ABG=∠CBG=∠BAC=45°． ∴ AM=BM ，∠AMB=90°． ∵ AD=BG ， ∴ DM=GM ．

∴ ∠MGD=∠GDM=45°． ∴ ∠BHG=90° ∴ DG ⊥BC ． ②2222CG DG AB ．

28．对于平面直角坐标系xOy 中的直线l 和图形M ，给出如下定义：12-1n n P P P P ，，，，是图形M 上的(3)n n 个不同的点，记这些点到直线l 的距离分别为12-1n n d d d d ，，，，，若这n

个点满足12-1+++=n n d d d d ，

则称这n 个点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，其中n d 为该基准点列的基准距离．

（1）当直线l 是x 轴，图形M 上有三点(11)A ，

，(11)B ，，(02)C ，时，判断A B C ，，是否为图形M 关于直线l 的一个基准点列？如果是，求出它的基准距离；如果不是，请说明理由；

（2）已知直线l 是函数33y x 的图象，图形M 是圆心在y 轴上，半径为1的⊙T ，

12-1n n P P P P ，，

，，是⊙T 关于直线l 的一个基准点列．

①若T 为原点，求该基准点列的基准距离n d 的最大值； ②若n 的最大值等于6，直接写出圆心T 的纵坐标t 的取值范围．

【答案】解：（1）是．

∵(11)A ，，(02)B ，，(11)C ，到x 轴的距离分别是1，1，2，且1+1=2， ∴这三点为图形M 关于直线l 的一个基准点列，它的基准距离为2． （2）① ∵12-1n n P P P P ，，，，是⊙T 关于直线l 的一个基准点列，

∴12-1++

+=n n d d d d ．

∴n d 的最大值为⊙T 上的点到直线l 的最大距离．

当T 为原点时，过O 作OH ⊥l 与点H ，延长HO 交⊙O 于点F ，

则FH 的长度为n d 的最大值． 设函数33y

x 的图象与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ，

则0)D ，(03)E ，．

∴3OD

，3OE ，∠DOE=90°．

∴∠OED=30°． 又∵∠OHE=90°， ∴13

22

OH OE ． ∴52

FH

． 例如，⊙O 上存在点1234P P P P ，，，满足

123413552442

d d d d ====，，，．

∴n d 的最大值为

5

2

． ②圆心T 的纵坐标t 的取值范围为105t

或2965

t ．