对数查表方法
查表、内插法
1.对数表
把一些正整数或有限小数的对数近似值制成一个对照表, 依据这个表
再配合对数运算律, 我们就可估计所有正实数的对数值.
2.常用对数
以10为底数的对数, 我们称它为常用对数, 并且用log 来代替log
10
.
自然对数
以无理数e = 2.71828…的对数, 我们称它为自然对数.
3.对数查表法则
(1)设1x
≤<10, 且x含小数点以下二位数字 ( 如：x = 8.72, x = 4.52 ), 则可由对数表查出log x, 其法如下：
例：log 8.72 = .
解：利用对数表中, 从最左一行( 直行) N底下找出87 ( 代表8.7 ),
其次在最上面一列( 横列) N的右侧找到2, 然后在87之横列
与2的直行交会处找到一数9405 ( 代表0.9405 ), 则log 8.72 = 0.9405.
N
0123456789
表尾差
123456789
55 87
|
|
|
–––––––9405––––––––————————–
|
|
|
——————3 (2)表尾差：若1≤x <10, x含小数三位数字
( 如：x = 8.726, x = 4.237 ), 则如下表之求法.
例：log 8.726 = .
解：(i) 先查出前三个数字8.72的对数值log
8.72 = 0.9405.
(ii) 在87的横列与表尾差数字6的直行交会处找到数字3,
log 8.726 = 0.9405 + 0.0003 = 0.9408
例1.
(1) 利用对数表, 求log 8.83的值.
(2) 利用对数表, 求( 8.72 )11.2的近似值. 96.5
例2.
(1) 利用对数表, 求
5375
.8
587
.2
375
.9?
. 9.856
(2) 利用对数表计算
( 4.32 )2?( 125.2 )2÷32)
51
.
31
(之值. 29330
类题.
请用对数表, 求15346.1的近似值到小数点下二位. ( 四舍五入 ) 1.02
乙 .首数与尾数
1. 科学记号：
每一个正实数a 都可以写成 a = b ?10n 其中 n ∈ Z, 1≤ b < 10,
则称 b ?10n 为a 的科学记号. 2. 首数、尾数：
设 a = b ?10n ? log a = n + log b, ( n ∈Z, 0≤ log b < 1 ).
我们称 ” 整数n ”为log a 的首数, “ log b ”为log a 的尾数.
log x 与log y 的尾数相等 ? x = y ?10n ( n ∈Z).
3. 首数性质：
(1) 对数 = 首数 + 尾数 ( 首数是整数, 0≤ 尾数 < 1 ).
(2) 真数 a ≥ 1,
log a 的首数为n ( n ≤ log a < n + 1) ? a 的整数部分为 n + 1位数. (3) 真数 a < 1 ( 0 < a < 1 )
log a 的首数为 – n ( - n ≤ log a < - n + 1 )
? a 在小数点后第n 位数字始不为0. 例3.
利用对数表, 求log 543.7及log 0.000123的值. 2.7354, 4.0899
类题.
利用对数表, 求log
3
208000
及log 00123.0的值. 4.841,2.5449
例4.
已知 log x = 4.7835, 求x 的近似值. 60740
类题.
已知 log x = -2.7073, 求x 的近似值. 0.001962. 例5.
已知 log 1965 = 3.2931, 则 (1) log 19.65 = . 1.2931
(2) log 0.00001965 = . –4.7069
(3) 若log x = 5.2931, 则x = . 196500 (4) log y = -2.7069, 则 y = . 0.001965
类题.
已知 log 199 = 2.2989, log x = -2 + 0.2989, 求 x = . 0.0199
例6. 试问：
(1) 340是几位数？ 20 (2) (
7
3)20
在小数点后第几位开始出现不为0的数字？ 8
( log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451 )
类题.
(1) 230是几位数？ 10 (2) (
2
1)30
在小数点后第几位数始不为0？ 10
例7.
(1) 设 log a = 4.531, 试求 log a 的首数和尾数, a 的整数部分是几位数？
4, 0.531, 5
(2) 设 log b = 4.531, 试求 log b 的首数和尾数, b 在小数点后第几位始
出现不为0的数字？ -4, 0.531, 4 (3) 求下列对数的首数
(a) log 3652.78 (b) log 7.29 (c) log 0.007 3, 0, -3
例8.
已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 = 0.8451：求 3100为 位数,
且其最高位( 首位 )数字为 . 48, 5
类题.
27100÷5200的整数部分为 位数, 且最高位数字为 . 4, 2
例9.
设47100为168位数时, 则4717为 位数.
29
类题.
若7100为85位数, 11100为105位数, 则7730为 位数. 57 例10.
已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =
0.8451, 将 (7
6
)50表为纯小数时,
从小数点后第n 位起开始出现不为0的数字, 令此数字为α,
则(1) n = , (2) α= . 4, 4
类题.
已知 log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 7 =
0.8451, 试问
6
5
)
108(7
的近似值在 小数点后第 位才出现不为0的数字, 且该数字为 . 13, 9 例11.
(1) 设10 < x < 100, 又log x 2与 log x 1
之尾数
相等, 试求x. 103
4, 103
5
(2) A, B 为三位数, 而B > 900, 若B 之常用对数尾数2倍于A 之常用对数
之尾数, 则A = . 310
类题.
(1) 已知 0.1 < x < 1, 若 log x 3
与 log x 1之尾
数相等, 试求x. 104
1-, 10
2
1-, 10
4
3-
(2) 设A, B ∈N, 且200 < A < 300, B 为四位数, 若log A 的尾数是log B 尾数的
两倍, 则A, B 各为多少？ 225, 1500,
256, 1600, 289, 1700
例12.
已知 log 2 = 0.30103, log 3 = 0.47712, (1) 比较2106与366的大小. 2106 > 366
(2) 2106+366为几位数？ 33
应用问题
例13.
假设定期存款的年利率为6 %, 复利计息. 李先生存进10000元言明定期5年, 求期满后的本利和. 13460
类题. 设年利率为12.5%, 若依复利计算, 则至少要 年( 取整数年数 ), 本利和才 会超过本金的2倍. 6
丙 .内插法
原理：
实数 x 的微小变量, 跟其所对应的对数 y 的变量近似值成比例. 1. 作法：
a b a f b f --)()( = a
x a f x f --)
()(
例14.
查对数表知：log 1.346 = 0.1290, log 1.347 = 0.1294, 那么log 1.3467该是多少？ 0.12928
类题.
用内插法 log 7.4142的值. 0.87002
例15.
(1) 已知 log 728 = 2.8621, log 0.0729 = -1.1373, 则 log 728300 = . 5.8623
(2) 设106776.0= 4.76, 106785.2= 477且10x = 4766, 则x 之近似值为 . 3.6781
( 用四舍五入求进似值到小数点第四位 ) 类题.
(1)由 log 72800 = 4.8621, log 0.000729 = -3.1373, 求出log 7283 = . 3.8623
(2)log 1.35 = 0.1303, log 1.34 = 0.1271, 则log 1346 = . 3.1290 (请用内插法计算)
对数函数知识点总结(供参考)
对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =?=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log = ； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函 数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5x y = 都不是对数函数，而只能称 其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 对数函数·例题解析 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2 x y a -=．
对数函数-人教版高中数学
知识图谱 -对数函数-指对数比较大小对数函数的概念与对数函数有关的三要素问题与对数函数有关的单调性问题与对数函数有关的奇偶性问题指对数比较大小指对数比较大小的运用第04讲_对数函数 错题回顾 对数函数 知识精讲 一．对数函数的定义 （）叫做对数函数，它的定义域为，值域是．注意以下几个方面： 1．定义域：因为对数函数由指数函数变化而来，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值的取值范围，所以对数函数的定义域是； 2．对数函数的底数：对数函数的底数且； 3．形式上的严格性：在对数函数的定义表达式中的表达式中， 前面的系数必须是，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数； 二．对数函数的图像与性质
过定点，图像都在一、四象限 对于相同的，函数与的图象关于轴对称． 当时， 当时， 在上是增函数当时，；当时， 在上是减函数 三．对数函数与指数函数的关系 1．定义：一般的，设函数的值域是，若找得到一个函数 在每一处都等于，这样的函数叫做函数的反函数，记作．反函数的定义域、值域分别是函数的值域、定义域． 2．对数函数与指数函数图像关于直线对称．互为反函数．3．指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （定义法） （转化法） （取对数法） 三点剖析 一．方法点拨 1．利用对数函数的单调性比较大小
（1）如果两对数的底数相同，由对数函数的单调性（底数为增函数，为减函数）比较大小； （2）如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间值进行比较；（3）如果两对数的底数不同而真数相同，如与的比较（） ①当时，曲线比的图像（在第一象限内）上升得慢， 即当时，；当时，，即在第一象限内， 越大图像越靠近轴； ②当时，曲线比的图像（在第一象限内）下降得快， 即当时，；当时，，即在第四象限内，越 小图像越靠近轴． 题模精讲 题模一对数函数的概念 例1.1、 下列函数是对数函数的是（） A、B、 C、D、 例1.2、
半对数计算精编版
半对数计算 一、 何谓股价三分线 ▲我们常计算回档(反弹)1/3、0.382、1/2、0.618，其实1/3与0.382属同层级， 意谓强势整理(弱势反弹)，乃最有机会创高(破底)之表征。1/2中线则是最普遍 运用的支撑或压力之观测点，因为这里是回档或反弹的成本均衡处，稳定的涨 势或跌是常藉1/2中线之转折继续维系其多空步伐。至于0.618乃回檔的『最 后防线』及反弹的『乾坤挪移』所在，前者跌破，防回档转回跌，后者突破可 促反弹转回升，这一关的重要性关乎原始趋势之转变与否。 ◆问题来了！没人规定股价的高低点要落在三分线位置，若视之为『随机』落在 任何位置皆可能，重要的是据美国分析界学者之长期统计，落在三分线附近之 机率远大于其它位置，足见其存在的惯性意义。 二、 为什么要用半对数计算 ▲很多人早就会自行计算所谓的回档(反弹)1/3、1/2及黄金切割率，久而久之却 懒得算了；原因是算不出『准头』！何以艾略特主张要用『半对数』? 例：10→ 100的中心点在哪 ? 小学生也知道(10 + 100 ) / 2 = 55，但是，股价的运算~ √10 X 100 = 31.6。半对数乃一门运用数学，并适用于股市这门投资学。 ◆原理：拿一百万元买一档10元的股票，涨到31.6元增值为316万；又，拿一 百万元买足一档31.6元的股票，涨到100元同样增值为316万。可见31.6才 是10←→100的涨跌『成本中心』位置；若说线图为人性之轨迹，那么『惯性』 透过半对数计算才得知最敏感的表征处。 进而推演出公式：10→ 100回檔1/3~ 100.333 X 1000.666= 46.2；100 → 10反弹 1/3~ 1000.333 X 100.666= 21.5。所以说，一定要用工程用计算器才算得出来。 三、如何『取样』来加强计算的可信度 ? ▲半对数计算必须先有『背景取样』，因为我们是藉由前一上涨波来测量回档支 撑，由前一下跌波来测量反弹压力；但所谓的『前一波』可长可短，且走势不 见得如想象中单纯，是故，取样的准则应力求： 一、较佳的线性轨道(走势太曲折则不佳)； 二、较符合波浪循环之原则。 有时会遇到较复杂或模棱两可的股价背景时，则不排除采用不同版本之 交叉计算，甚至舍弃某一模糊阶段寻求其它途径来判断。 也就是说，越符合前两项取样原则，计算半对数的参考价值将愈高。 譬如 10元(低点)涨到 100元(高点)之回檔0.382为100.382X 1000.618 = 41.5；回檔0.618为100.618 X
对数与对数函数知识梳理
对数与对数函数 【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数恒等式： log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性质 对数函数的图像与 对数的概念 指对互化运算
对数函数知识点及典型例题讲解
对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1.
（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有
自然对数表
自然对数表 1.0 0.0000 0.0100 0.0198 0.0296 0.0392 0.0488 0.0583 0.0677 0.0770 0.0862 1.1 0.0953 0.1044 0.1133 0.1222 0.1310 0.1398 0.1484 0.1570 0.1655 0.1740 1.2 0.1823 0.1906 0.1989 0.2070 0.2151 0.2231 0.2311 0.2390 0.2469 0.2546 1.3 0.2624 0.2700 0.2776 0.2852 0.2927 0.3001 0.3075 0.3148 0.3221 0.3293 1.4 0.3365 0.3436 0.3507 0.3577 0.3646 0.3716 0.3784 0.3853 0.3920 0.3988 1.5 0.4055 0.4121 0.4187 0.4253 0.4318 0.4383 0.4447 0.4511 0.4574 0.4637 1.6 0.4700 0.4762 0.4824 0.4886 0.4947 0.5008 0.5068 0.5128 0.5188 0.5247 1.7 0.5306 0.5365 0.5423 0.5481 0.5539 0.5596 0.5653 0.5710 0.5766 0.5822 1.8 0.5878 0.5933 0.5988 0.6043 0.6098 0.6152 0.6206 0.6259 0.6313 0.6366 1.9 0.6419 0.6471 0.6523 0.6575 0.6627 0.6678 0.6729 0.6780 0.6831 0.6881 2.0 0.6931 0.6981 0.7031 0.7080 0.7129 0.7178 0.7227 0.7275 0.7324 0.7372 2.1 0.7419 0.7467 0.7514 0.7561 0.7608 0.7655 0.7701 0.7747 0.7793 0.7839 2.2 0.7885 0.7930 0.7975 0.8020 0.8065 0.8109 0.8154 0.8198 0.8242 0.8286 2.3 0.8329 0.8372 0.8416 0.8459 0.8502 0.8544 0.8587 0.8629 0.8671 0.8713 2.4 0.8755 0.8796 0.8838 0.8879 0.8920 0.8961 0.9002 0.9042 0.9083 0.9123 2.5 0.9163 0.9203 0.9243 0.9282 0.9322 0.9361 0.9400 0.9439 0.9478 0.9517 2.6 0.9555 0.9594 0.9632 0.9670 0.9708 0.9746 0.9783 0.9821 0.9858 0.9895 2.7 0.9933 0.9969 1.0006 1.0043 1.0080 1.0116 1.0152 1.0188 1.0225 1.0260 2.8 1.0296 1.0332 1.0367 1.0403 1.0438 1.0473 1.0508 1.0543 1.0578 1.0613 2.9 1.0647 1.0682 1.0716 1.0750 1.0784 1.0818 1.0852 1.0886 1.0919 1.0953 3.0 1.0986 1.1019 1.1053 1.1086 1.1119 1.1151 1.1184 1.1217 1.1249 1.1282 3.1 1.1314 1.1346 1.1378 1.1410 1.1442 1.1474 1.1506 1.1537 1.1569 1.1600 3.2 1.1632 1.1663 1.1694 1.1725 1.1756 1.1787 1.1817 1.1848 1.1878 1.1909 3.3 1.1939 1.1969 1.2000 1.2030 1.2060 1.2090 1.2119 1.2149 1.2179 1.2208 3.4 1.2238 1.2267 1.2296 1.2326 1.2355 1.2384 1.2413 1.2442 1.2470 1.2499 3.5 1.2528 1.2556 1.2585 1.2613 1.2641 1.2669 1.2698 1.2726 1.2754 1.2782 3.6 1.2809 1.2837 1.2865 1.2892 1.2920 1.2947 1.2975 1.3002 1.3029 1.3056 3.7 1.3083 1.3110 1.3137 1.3164 1.3191 1.3218 1.3244 1.3271 1.3297 1.3324 3.8 1.3350 1.3376 1.3403 1.3429 1.3455 1.3481 1.3507 1.3533 1.3558 1.3584 3.9 1.3610 1.3635 1.3661 1.3686 1.3712 1.3737 1.3762 1.3788 1.3813 1.3838 4.0 1.3863 1.3888 1.3913 1.3938 1.3962 1.3987 1.4012 1.4036 1.4061 1.4085 4.1 1.4110 1.4134 1.4159 1.4183 1.4207 1.4231 1.4255 1.4279 1.4303 1.4327 4.2 1.4351 1.4375 1.4398 1.4422 1.4446 1.4469 1.4493 1.4516 1.4540 1.4563 4.3 1.4586 1.4609 1.4633 1.4656 1.4679 1.4702 1.4725 1.4748 1.4770 1.4793 4.4 1.4816 1.4839 1.4861 1.4884 1.4907 1.4929 1.4951 1.4974 1.4996 1.5019 4.5 1.5041 1.5063 1.5085 1.5107 1.5129 1.5151 1.5173 1.5195 1.5217 1.5239 4.6 1.5261 1.5282 1.5304 1.5326 1.5347 1.5369 1.5390 1.5412 1.5433 1.5454 4.7 1.5476 1.5497 1.5518 1.5539 1.5560 1.5581 1.5602 1.5623 1.5644 1.5665 4.8 1.5686 1.5707 1.5728 1.5748 1.5769 1.5790 1.5810 1.5831 1.5851 1.5872 4.9 1.5892 1.5913 1.5933 1.5953 1.5974 1.5994 1.6014 1.6034 1.6054 1.6074 5.0 1.6094 1.6114 1.6134 1.6154 1.6174 1.6194 1.6214 1.6233 1.6253 1.6273 5.1 1.6292 1.6312 1.6332 1.6351 1.6371 1.6390 1.6409 1.6429 1.6448 1.6467
对数函数知识点
对数函数知识点 1 ?对数函数的概念 形如y =log a x(a . 0且a = 1)的函数叫做对数函数. 说明：(1) 一个函数为对数函数的条件是： ①系数为1 ； ②底数为大于0且不等于1的正常数； ③自变量为真数? 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1。 2、由对数的定义容易知道对数函数y二log a x(a ? 0,a = 1)是指数函数y=a x(a .0,a=1)的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。 ②若函数y = f(x)上有一点(a,b)，则(b,a)必在其反函数图象上，反之若(b, a)在反函数图象上，则(a,b)必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数y二a x(a .0,a")的定义域x R，值域y?0, 容易得到对数函数y"og a x(a .0,a=1)的定义域为x 0，值域为R，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3 4
要牢记y = 2X, y =（1）x, y = 10x, y = （￡）x的反函数 y =log2X, y =log! x, y =lg x, y =log ! x的图象，并由此归纳出表中结论。 2 10 5、比较大小 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性（底数a -1为增；0 ：：：a ：：：1为减）比较。 ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较。 ③如果两对数的底数不同而真数相同，女口y = log ai x与y = log a2x的比较（a 0,印=1, a2 0,a2 = 1）. 当a, a2 ? 1时，曲线y1比y的图象（在第一象限内）上升得慢，即当x 1时，m；当0：：：x”：1时，y1 y2.而在第一象限内，图象越靠近x轴对数函数的底数越大（同［考题2］的含义）当0 ::: a? ：：? <1时，曲线y比月2的图象（在第四象限内）下降得快，即当x 1时， y ■■■ y ;当0 ”：x ::: 1时，y1 y即在第四象限内，图象越靠近x轴的对数函数的底数越小。 6、求参数范围 凡是涉及对数的底含参数的问题，要注意对对数的底数的分析，需要分类讨论时，一定 要分类讨论。
对数函数
对数函数 教学目标 1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能实行初步的应用． (1) 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系准确描绘对数函数的图象． (2) 能把握指数函数与对数函数的实质去研究理解对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题． 2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维水平． 3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生实行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性． 教学建议 教材分析 (1) 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这个重要数学思想的进一步理解与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决相关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础． (2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．因为对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点． (3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适合，把握不住关键，所以应是本节课的难点． 教法建议 (1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的理解逐步转化为对对数函数的理解，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也能够多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质． (2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师仅仅持续地反函数这条主线引导学生思考的方
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点 (1)(2)(3) 知识点一：指数及指数幂的运算 知识点二：指数函数及其性质 1. 根式的概念 1. 指数函数概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数中 的定义域为. 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为 2. 指数函数函数性质： ；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 函数名称 指数函数 为. 定义函数且叫做指数函数负数没有偶次方根， 0的任何次方根都是 0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质： 图象 (1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3. 分数指数幂的意义： 定义域 ；值域 注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义 . 过定点图象过定点，即当时，. 4.有理数指数幂的运算性质：
奇偶性非奇非偶 4. 对数的运算性质 单调性在上是增函数在上是减函数 如果，那么①加法： 函数值的 变化情况②减法：③数乘： 变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 象的影响看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 ④⑤ 1.对数的定义 (1) 若，则叫做以为底的对数，记作⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 ，其中叫做底数，叫做真数. 1. 对数函数定义 (2) 负数和零没有对数. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 (3) 对数式与指数式的互化：. 数的定义域. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 2. 对数函数性质： 函数名称对数函数 3. 常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即 定义函数且叫做对数函数( 其中 图象 ?).
对数函数知识点
对数函数知识点 1．对数函数的概念 形如 y log a x( a 0且 a 1) 的函数叫做对数函数 . 说明：（ 1）一个函数为对数函数的条件是： ①系数为 1； ②底数为大于 0 且不等于 1 的正常数； ③自变量为真数 . 对数型函数的定义域： 特别应注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于 1。 2 、 由 对 数 的 定 义 容 易 知 道 对 数 函 数 y log a x (a 0, a 1) 是指数函数 y a x (a 0, a 1) 的反函数。 反函数及其性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称。 ②若函数 y f ( x) 上有一点 (a, b ) ，则 (b, a) 必在其反函数图象上， 反之若 (b, a) 在反函 数图象上，则 ( a, b) 必在原函数图象上。 ③利用反函数的性质，由指数函数 y a x (a 0, a 1) 的定义域 x R ，值域 y 0 ， 容易得到对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的定义域为 x 0 ，值域为 R ，利用上节学过的 对数概念，也可得出这一点。 3、．对数函数的图象和性质 定义 y log a x (a 0且 a 1) 底数 a 1 0 a 1 图象 定义域 (0, ) 值域 R 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点 (1,0) ，即 log a 1 函数值x (0,1) y ( ,0); x [1, ) x (0,1) y (0, ); x [1, ) 特征 y [0, ) y ( ,0] 对称性 函数 y log a x 与 y log 1 x 的图象关于 x 轴对称 a 4．对数函数与指数函数的比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y a x (a 0, a 1) y log a x (a 0, a 1)
指数函数及对数函数相关知识点
指数函数及对数函数相关知识点 一．图像的画法。（三点：单调性；定点；图像的渐近线） 1. 画出函数2x y =的图像； 2.画出函数12 x y =（）的图像； 3.画出函数2log y x =的图像； 4.画出函数12 log y x =的图像。 二．指数和对数的计算。 5.计算下面各式的值或者化简。 （1 （2 （3）11 23 3312(2)2 x x x - -- （4）2log 16 （5）lg2+lg5 （6）83log 27log 2? （7）2lg5+lg4 （8）lg0.1 （1011 2 03 81()()274e π- ??+-+ ???
三．指对数比较大小。 6.比较下面各数的大小 （1）2-41.7 1.7-和 （2） 1.1 1.20.90.9和 （3）-2-30.9 1.1和 （4）22log 3log 5和 （5）0.90.9log 0.6log 0.7和 （6）123 log 2log 3和 四．过定点问题。（要点：0,0log 10,x a a ==让指数为；让真数为1） 7.函数1y=3x a ++2必定过点________________________________________； 8.函数3log (2)4a y x =-+必定过点___________________________________________。 五．指数型和对数型不等式。 9.求下面不等式中x 的范围， （1）3 22x > （2） x 182 >（） （3）1x e < （2）22log log 8x ≥ （3）3log 0x ≥ （4）3log 20x -≥ 10.求下列函数的定义域。 （1）21 2x y += （2 ）y = （3）10.7x y = （4）2log (1)y x =- （5）21 log y x = （6 ）y =
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点 知识点一：指数及指数幂的运算 1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果 ，那么叫做的次方根，其 中 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的 次方根是负数，表示为 ；当为偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 为 . 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子 叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3.分数指数幂的意义： ； 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3) 知识点二：指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数 的定义域为 . 且 图象过定点 ，即当时，
变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 看图象， 知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作 ，其中叫做底数，叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中 …). ，那么①加法： ②减法：③数乘： ⑤ ⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 数的定义域. 且
图象过定点，即当 时， 上是增函数上是减函数 变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向 看图象， 1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中 为常数. 2.幂函数的性质 (1) 限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象 关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数. 如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无 限接近轴与轴. 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函 当(其中 互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为 奇数为偶数时，则 是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数. ，当时，若，其图象 在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若 ，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围
对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解
2.1 对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log 381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x ＝N ?x ＝log a N ，从而得对数恒等式：a log a N ＝N . (2)“log ”同“＋”“×”“ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面． (3)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度． (1)基本公式 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和． ②log a M N ＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数 的对数减去除数的对数． ③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数． (2)对数的运算性质注意点 ①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)． ②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝ log a M log a N ，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式 在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底
用Mathematica研究自然对数的底数e
用Mathematica 研究自然对数的底数e 作 者：陈 龙 摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、 π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的 一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。 关键词：Mathematica ，e ，自然对数 一、引言 远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。自古以来，π的近似值一直取为 3.14或 7 22() 742851.3 =。通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。目前用电脑计算圆周率。由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。 另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。 e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=x f 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。e 、 π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。本文主要介绍e 的一些知识以及用 Mathematica 软件来计算e 。 二、欧拉数e 考虑数列{}n a ，n a = ∑=n i i 0 !1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231????- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。 定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。 首先，对n a = ∑=n i i 0 !1 ，显然{}n a 为单调递增数列。其次，1a =2，2a =25，而3≥n 时， n a =1+1+ n ???++??+?+ 321 432132121 <1+1+1322 1 212121-++++n = 1+2 11211-??? ??-n <3， 即数列{}a 以3为一上界。故有定理1知，数列{}a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实
数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 x y > O x y 第二节对数与对数函数 复习目标学法指导 1.对数与对数运算(1)对数的概念. (2)常用对数与自然对数. (3)对数的运算性质. (4)对数的换底公式. 2.对数函数及其性质 (1)对数函数的概念. (2)对数函数的图象. (3)对数函数的性质. (4)指数函数与对数函数的关系. 会求一些与对数函数有关的简单的复合函数的定义域、值域、单调性.(发展要求) 1.通过对数的概念,明确对数来源于指数,利用指数的知识理解与掌握对数. 2.在同底的条件下,对数只能进行加、减运算,注意应用的顺序. 3.掌握对数函数的图象与性质,一定要坚持分类讨论的思想. 4.应用对数函数的性质解决对数类问题要遵循定义域优先的原则. 一、对数 如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N.其中a叫做底数,N叫做真数 底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:a x=N?log a N=x 负数和零没有对数 1的对数是零,log a1=0 底数的对数是1,log a a=1 对数恒等式:log a N a=N log a(M·N)=log a M+log a N a>0,且a≠1,M>0,N>0 log a M N =log a M-log a N log a M n=nlog a M(n∈R) 公式:log a b=log log c c b a (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 推广:log a m b n=n m log a b(a>0且a≠1,b>0); log a b=1 log b a (a>0且a≠1;b>0且b≠1) 1.法则理解 应用法则log a M+log a N=log a(M·N)时,注意M>0,且N>0,而不能只考虑到M·N>0,导致增解. 2.与换底公式有关的结论 log a b·log b c·log c d=log a d. 二、对数函数 1.对数函数的概念、图象与性质 概念函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数 底数a>1 0第二节 对数与对数函数(知识梳理)