思维特训(十三) 方案选择问题
思维特训(十三)方案选择问题方法点津·
方案决策类试题一般是通过设置一些实际问题的情景或图景，给出若干信息，提出解决问题的要求，或给出几种方案让同学们根据题意或生活经验选取最佳方案，或对已知方案进行评判与决策，或结合条件让同学们自己设计方案，或运用数学知识设计最优解决方案与策略，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式，其主要步骤如下：
第一步：从实际问题中抽象出相等关系，列出方程(组)；
第二步：解方程(组)；
第三步：结合实际问题取整数解，设计符合要求的方案．
典题精练·
类型一借助方程(组)中解的不确定性进行方案选择
1．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么租房方案有()
A．4种B．3种C．2种D．1种
2．星期天，小明和7名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．
(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各买了多少杯？
(2)每人至少一杯饮料且购买奶茶至少两杯时，有几种购买方式？
类型二借助选择对象的不确定性进行方案选择
3．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获利润2019元．该厂的生产能力如下：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨．受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温限制，这批牛奶需在4天内全部销售或加工完毕，为此该厂设计了两种方案：
方案一：尽可能多地制成奶片，其余鲜奶直接销售；
方案二：一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多，为什么？
4．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产甲、乙、丙三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请研究一下商场的进货方案；
(2)在(1)的条件下，若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
(3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案．
类型三借助一次函数的图象进行最优方案选择
5．为绿化校园，某校计划购进A，B两种树苗共21棵．已知A种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
(1)y与x之间的函数关系式为____________(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
6．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元．反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元．已知该楼盘每套楼房的面积均为120平方米．
若购买者一次性付清购房款，开发商有两种优惠方案：
方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金；
方案二：降价10%，没有其他赠送．
(1)请写出售价y(元/米2)与楼层x(1≤x≤23，x为整数)之间的函数关系式；
(2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更合算．
详解详析
1．C[解析] 本题中有两个等量关系：一是三种房间和＝7，二是人数和＝20.于是可引入三个未知数，列出两个方程，注意到房间和人数的取值均为正整数，于是消去其中的一个未知数，再围绕二元一次方程的整数解展开讨论．
设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则根据题意，得?
??x ＋y ＋z ＝7，2x ＋3y ＋4z ＝20， 消去未知数z ，得2x ＋y ＝8，即y ＝8－2x ，
由于x ，y ，z 都是正整数，
所以解得???x ＝2，y ＝4，z ＝1或???x ＝3，
y ＝2，z ＝2，
即有2种租房方案．故应选C.
2．解：(1)设分别买可乐和奶茶x 杯、y 杯，
根据题意，得2x ＋3y ＝20，即x ＝20－3y 2＝10－32
y . 因为x ，y 均为自然数，而由32
y 可知y 必须是偶数，还必须满足x 为自然数， 所以当y ＝0时，x ＝10；当y ＝2时，x ＝7；当y ＝4时，x ＝4；当y ＝6时，x ＝1， 即有四种购买方式：
方式一：可乐10杯，奶茶0杯；
方式二：可乐7杯，奶茶2杯；
方式三：可乐4杯，奶茶4杯；
方式四：可乐1杯，奶茶6杯．
(2)根据题意，每人至少一杯饮料且购买奶茶至少两杯时，即y 满足不小于2，且x ＋y 满足不小于8，这样由(1)可知，有两种购买方式．
3．[导学号：34972410]解：方案一：4×2019＋5×500＝10500(元)．
方案二：设x 吨制成奶片，y 吨制成酸奶，
则?????x ＋y ＝9，x 1＋y 3
＝4，所以???x ＝1.5，y ＝7.5. 利润为1.5×2019＋7.5×1200＝12019(元)＞10500元．
所以选择方案二获利最多．
4．解：(1)设购进甲种x 台，乙种y 台．
则有???x ＋y ＝50，1500x ＋2100y ＝90000，
解得{x ＝25，y ＝25. 设购进乙种a 台，丙种b 台．
则有?
??a ＋b ＝50，2100a ＋2500b ＝90000， 解得???a ＝87.5，b ＝－37.5
(不合题意，舍去此方案)． 设购进甲种c 台，丙种e 台．
则有?
??c ＋e ＝50，1500c ＋2500e ＝90000，解得{c ＝35，e ＝15. 故有两种进货方案：
①甲、乙两种型号的电视机各购进25台；
②甲种型号的电视机购进35台，丙种型号的电视机购进15台．
(2)方案①获利：25×150＋25×200＝8750(元)；
方案①获利：35×150＋15×250＝9000(元)．
所以为使销售时获利最多，应选择第①种进货方案．
(3)设购进甲种电视机x 台，乙种电视机y 台，丙种电视机z 台，则z ＝50－x －y . 由题意，得1500x ＋2100y ＋2500(50－x －y )＝90000，
化简整理，得5x ＋2y ＝175.
又因为0＜x ，y ，z ＜50，且均为整数，
所以上述二元一次方程只有四组解：
x ＝27，y ＝20，z ＝3；x ＝29，y ＝15，z ＝6；
x ＝31，y ＝10，z ＝9；x ＝33，y ＝5，z ＝12.
因此，有四种进货方案：
①购进甲种电视机27台，乙种电视机20台，丙种电视机3台；
②购进甲种电视机29台，乙种电视机15台，丙种电视机6台；
③购进甲种电视机31台，乙种电视机10台，丙种电视机9台；
④购进甲种电视机33台，乙种电视机5台，丙种电视机12台．
5．解：(1)y＝－20x＋1890
(2)由题意，知x＜21－x，解得x＜10.5.
又因为x≥1，所以x的取值范围是1≤x≤10且x为整数．
由(1)知：对于函数y＝－20x＋1890，y随x的增大而减小．
所以当x＝10时，y有最小值，y最小值＝－20×10＋1890＝1690.
故使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．6．解：(1)当x≥8且x为整数时，y＝4000＋50(x－8)＝3600＋50x；
当x<8且x为整数时，y＝4000－30(8－x)＝3760＋30x.
(2)当x＝16时，y＝3600＋50×16＝4400，总价＝4400×120＝528000(元)，
方案一实际付款[528000×(1－8%)－a]元；
方案二实际付款528000×(1－10%)元，
令528000×(1－8%)－a＝528000×(1－10%)，
解得a＝10560，
所以当a<10560时，选择方案二合算；
当a＝10560时，两种方案均可；
当a>10560时，选择方案一合算．