浙江省2018年12月重点中学高三期末热身联考数学试题(解析版)

2018年12月浙江省重点中学高三期末热身联考

数学试题卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.已知，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用一元二次不等式的解法化简集合，再由交集的定义可得结果.

【详解】利用一元二次不等式的解法化简集合，

因为，所以,故选B.

【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.

2.已知为虚数单位，复数，（）

A. 1

B. 2

C.

D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数模长的定义直接进行计算即可．

【详解】，所以

故选：C。

【点睛】本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础．

3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）

A. B. C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的离心率即可．

【详解】双曲的渐近线方程为：，由题可知：，所以，即：，所以双曲线的离心率为：，

故选：D。

【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

4.已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．

【详解】如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。

若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于

平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内

若m⊥，由平面

∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从

m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．

5.函数的大致图像是

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

通过函数的变化趋势，推出结果即可．

【详解】当x0，且无限趋近于0时，f（x）0，排除B,C，

当时，，且指数幂变化较快，故，排除D。

故选：A

【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查计算能力．

6.展开式中，的系数是

A. 80

B. －80

C. 40

D. －40

【答案】B

【解析】

【分析】

由二项式定理的通项公式列方程，求出，求出项的系数即可。

【详解】由二项式定理的通项公式得：，令，解得：，所以的系数为：

故选：B。

【点睛】本题考查二项展开式中的项的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．

7.已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，

由z＝x+4y可得：，平移直线，由图像可知：当直线过点B时，直线

的截距最小，此时z最小。将代入目标函数得：，

故选：C。

【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．

8.已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为

A. 2

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由可判断函数的周期为，求出的最小正周期，列不等式求解。

【详解】由可判断函数的周期为，又=，其最小正周期为

，所以，即：

故选：D。

【点睛】熟记结论：如果函数满足的周期为，此题主要考查如何求函数的周期．

9.已知方程有且仅有两个不同的实数解，，则以下有关两根关系的结论正确的是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

方程有且仅有两个不同的实数解，等价于的图象有且仅有两个不同的交点（原点除外），数形结合可得与相切时符合题意，根据导数的几何意义以及直线的斜率公式可得结果.

【详解】

方程有且仅有两个不同的实数解，

等价于有且仅有两个不同的实数解，

即，有且仅有两个不同的交点（原点除外）.

画图，的图象.

由图可知，与相切时符合题意，

设，

因为，所以为切点横坐标，且是直线与的交点横坐标，

因为切线过原点，所以切线斜率，

所以，故选A.

【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线斜率以及直线的斜率公式的应用，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

10.如图，将边长为2的正方形沿、翻折至、两点重合，其中是中点，在折成的三棱锥

中，点在平面内运动，且直线与棱所成角为，则点运动的轨迹是（）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线

D. 抛物线

【答案】D

【解析】

【分析】

建立空间坐标系，设,求出点的坐标，由直线与棱所成角为，利用空间向量夹角余弦公式列方程，得到关于的方程，从方程的形式可判断点的轨迹.

【详解】

如图，过点引平面的垂线,垂足为,

以为坐标原点建立空间直角坐标系,

其中轴与直线平行,点在轴的负半轴上.

由题可知平面,

设点到平面的距离为，因为,

所以，可得，

,

设，，

又直线与棱所成角为,，

整理得点的轨迹为抛物线,故选D.

【点睛】本题主要考查利用“等积变换”求点到平面的距离、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化思想以及空间想象能力，属于难题.

二、填空题（多空题每空3分，单空题每空4分，共计36分）

11.已知随机变量的分布列为：

若，则__________；___________.

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】

由分布列的性质以及期望公式可得，解得，再利用方差计算公式即可得结果.

【详解】由分布列的性质以及期望公式可得，，

解得，，

，

故答案为.

【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望以及随机变量的方差公式，考查了推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

12.若＝6，则＝___；＝___

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】

利用对数知识将表示出来，再利用对数运算求解。

【详解】由题可得：，，所以=，

=。

【点睛】本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题。

13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________；表面积是____________.

【答案】(1). (2).

【解析】

【分析】

由三视图可得该几何体是四棱锥，根据三视图中数据，求出底面积与高可得棱锥的体积，再求出四个侧面的面积，与底面积求和可得四棱锥的表面积.

【详解】

由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥，图中直三棱柱的底面是直角边长为2 的等腰直角三角形，棱柱的高为4，四棱锥的底面是矩形，面积为，四个侧面中，三个直角三角形面积分别为一个等腰三角形，面积为，所以该四棱锥的体积为，表面积为，故答案为，.

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查体积、表面积以及空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

14.已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．

【答案】(1). -1.(2). .

分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.

详解：由题得

当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.

因为圆的方程为，

所以，

所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆.

由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1),

所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.

且最短弦长为

故答案为：-1，.

点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到实际上是错误的.因为是两直线

平行的非充分非必要条件，所以根据求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线

重合了，所以要舍去m=1.

15.向量，满足：｜｜＝2，｜+｜＝1，则的最大值为__

【答案】

【解析】

【分析】

设出的坐标，从而表示出的坐标，然后将表示成函数关系，把问题转化成函数的最大值问题解决。

【详解】由题可设，，则，所以

当时，等号成立。所以的最大值为.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想。

16.如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有__种。

【解析】

【分析】

用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。

【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，（2）第3,4,5格涂白色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法。

所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。

【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．17.平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，其中，，

，，体对角线，则的最大值是_____.

【答案】

【解析】

【分析】

利用结论，求出线面角,再利用正弦定理列方程，把问题转化成三角函数最值问题来解决.

【详解】

如图，由，

可知点在底面的射影点在直线上，

则是直线与底面所成的角，

则，

，

在中，由正弦定理可知:，

，

当时，最大为,故答案为.

【点睛】本题考查了线面角的结论：当时，（点在平面外 ) , (其

中为直线与平面所成的角,为直线与直线的夹角，为直线与直线在平面的射影的夹角),还考查了正弦定理及转化思想,属于难题.

三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18.已知分别为三个内角的对边，且满足，.

（1）求；

（2）若是中点，，求面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由正弦定理化简即可求得，从而可求A的值．

（2）在中由余弦定理列方程，在中利用余弦定理列方程，在中利用余弦定理列方程，联立可得的值，根据三角形面积公式即可计算得解．

【详解】：（1），

则，

（2）方法一：在中，

即 .

在中，

同理中，

而，有，

即.

联立得，

.

方法二：又①

②

②①得

方法三：（极化式）

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

19.如图，等腰直角中是直角，平面平面，，，.

（1）求证；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由及为直角可得到，结合已知条件命题得证。

（2）作，连结.由（1）得：，作，再证得：平面，则即为所求线面角. 解三角形BFH即可。

【详解】解：（1）证明：直角中∠B是直角，即，

，，

，，

又，.

（2）方法一：作，连结.

由（1）知平面，

得到，又，所以平面.

又因为平面，所以平面平面.

作于点H，易得平面，

则即为所求线面角.

设，由已知得，，

，，

.

则直线与平面所成角的正弦值为.

方法二：建立如图所示空间直角坐标系，

因为.

由已知，，，，

，

，，

设平面的法向量为，则有

，令，则.

即.

所以直线与平面所成角的正弦值. 方法三（等积法）：设2AF=AB=BE=2，为等腰三角形，AB=BC=2

∠FAB=60°，2AF=AB ，又AF//BE，.

由（1）知，，

，，

，，

又，则有.

令到平面距离为，有，

故所求线面角.

【点睛】本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．

20.已知数列｛｝满足：，。

（1）求及数列｛｝的通项公式；

（2）若数列｛｝满足：，，求数列｛｝的通项公式。

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）分别令可求得，再用代等式中的得到方程，联立方程作差即可。

（2）根据题意列方程组，利用累加法得到的表达式，再利用错位相减法求和。

【详解】解：（1）时，

时

①

②

①2×②

满足上式，故.

（2），有累加整理

①

②

②① 得

满足上式，故.

【点睛】（1）主要考查了赋值法及方程思想。

（2）考查了累加法，错位相减法求和，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

21.已知椭圆的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为

2。

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与A，B两点，以线段AB为直径的圆截直线x＝1所得的弦的长度为，求直线l的方程。

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a2＝b2+c2，即可求椭圆C的方程；

（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出及，结合弦的长度为，即可求斜率k的值，从而求得直线方程。

【详解】解：（1）由椭圆的离心率为，

得，.

由得，，所以椭圆方程为．

（2）解：设直线，，，中点．

联立方程得，

.．

所以，

点到直线的距离为．

由以线段为直径的圆截直线所得的弦的长度为得

，所以，

解得，所以直线的方程为或．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方

程，利用韦达定理，整理出及，代入弦长公式列方程求解，还考查了圆的弦长计算，

，考查学生的计算能力，属于中档题．

22.已知，。

（1）当时，求f（x）的最大值。

（2）若函数f（x）的零点个数为2个，求的取值范围。

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）求出，再求出，利用的正负判断的单调性，从而判断的正负，从而判断的单调性，进而求得函数的最值。

（2）求出，再求出，求得函数单调性，对参数的范围分类讨论，求得函数的最值，结合函数

的单调性，从而判断函数的零点个数。

【详解】解：（1）当时，

.因为时，

所以在上为减函数.（递减说明言之有理即可）

又，所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；故.

（2），，

当，且时，.

所以在上为减函数

时，，时，，故存在使得

，且有在上递增，

在递减，.

①当时由（1）知只有唯一零点

②当时，即有，

此时有2个零点

③当时，，

又有，故.

令，

，故在定义域内单调递增.

而，故，于是，所以时不存在零点. 综上：函数的零点个数为2个，的取值范围为．

【点睛】（1）主要考查了利用导数来判断函数的单调性，从而求得最值。

（2）考查了分类讨论思想，利用导数来判断函数的单调性及转化思想，计算难度大，转化次数较多，考查学生的计算能力，考查函数方程的转化思想，属于较难题．