高中数学复习提升-2、2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题
2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题
1．设函数2()e e x x f x ax =+-，若对0,()2x f x ?≥≥，则实数c 的取值范围是
A ．(,3]-∞
B ．[3,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)+∞
2．设A 、B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ?<<，则
A ．()1()P A
B P B =- B ．()1()P A B P B ?=-
C ．(|)()P B A P B =
D ．(|)()P B A P B =
3．从0，1，2，…，9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有
A ．1692个
B ．3672个
C ．3708个
D ．3888个
4．已知集合{1,0,1},{2,3,4,5,6}M N =-=，设映射:f M N →满足：对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇数，这样的映射f 的个数
A ．25
B ．45
C ．50
D ．100
5．若关于x 的方程|1|2cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解，则实数a 的值
A ．等于1-
B ．等于1
C ．等于2
D ．不唯一
6．设,a b 为非零向量，且||2||=b a ，则b 与-b a 夹角的最大值为
A ．π12
B ．π6
C ．π4
D ．π3 7．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，且3,4,5PA PB PC ===，则P ABC -的体积为
A ．3 B
C
D
．8．设函数432()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++，若对任意的实数x ，()0f x ≥，则实数m 的取值范围是
A ．[0,)+∞
B ．[0.5,)+∞
C ．[0,1]
D ．[0.5,1]
9．设正实数,,,x y z w 满足220,20,,x y z w yz wx z y --+=??-=??≥?则z y 的最小值为 A
．6 B
．6+ C
．6+ D
．6+10．给定圆O 及圆内一点P ，设A 、B 是圆O 的两个动点，满足90APB ∠=?，则AB 的中点的轨迹为
A ．一个圆
B ．一个椭圆
C ．一段双曲线
D ．一段抛物线
11．方程23100x y z ++=的非负整数解的个数是
A ．883
B ．884
C ．885
D ．886
12．设整数123,,a a a 满足124(1,2,3)k a k ≤≤=且对任意整数x ，2123234a x a x a ++是24的倍数，满足条件的有序数组123(,,)a a a 的个数为
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
13．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，则sin sin sin A B C +的最大值
A ．等于32 B
C
D ．不存在
14．设2π2πcos isin 55
w =+，2()2P x x x =++，则234()()()()P w P w P w P w = A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
15．设126,,
,a a a 是1，2，3，4，5，6的排列，且满足1234565101050a a a a a a -+-+-=，则这种排列的个数是
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
16．设{1,2,3,4}(1,2,3,4)k a k ∈=，对于有序数组1234(,,,)a a a a ，记1234(,,,)N a a a a 为1234,,,a a a a 中所包含
的不同整数的个数，例如(1,1,2,2)2,(1,2,3,1)3N N ==，当1234(,,,)N a a a a 取遍所有的44个有序数组时，1234(,,,)N a a a a 的平均值为
A ．17364
B ．8732
C ．17564
D ．114
17．设{(,,)|231,0,0,0}V x y z x y z x y z =++≤≥≥≥，则V 的体积为
A ．112
B ．118
C ．124
D ．136
18．已知2()f x x ax b =++在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围为
A ．(2,0)-
B ．(0,2)
C ．(0,4)
D ．(2,2)-
19．在△ABC 中，AC BC =，123,,P P P 为AB 上的点，且123111248
PB P B P B AB ===，设(1,k k k I P B P C k =?= 2,3)，则
A ．123I I I <<
B ．132I I I <<
C ．321I I I <<
D ．213I I I <<
20．一根直细杆放在数轴上占用的范围是区间[0,4]，若该细杆的质量线密度为()x ρ=，则其质
量为
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
21．设函数2()e (1)(2)x f x x x =--，则
A ．()f x 有两个极大值点
B ．()f x 有两个极小值点
C ．1x =是()f x 的极大值点
D ．1x =是()f x 的极小值点
22．一道四选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．
赵说：我选的是A ； 钱说：我选的是B 、C 、D 之一；
孙说：我选的是C ； 李说：我选的是D ．
已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是
A ．赵
B ．钱
C ．孙
D ．李
23．某人投100次篮球，设投完前n 次篮球时的命中率为n r ．已知11000,0.85r r ==，则存在0100m <<，
使得
A ．0.5m r =
B ．0.6m r =
C ．0.7m r =
D ．0.8m r =
24．设12,e e 为两个单位向量，x ，y 是实数，若1212π,,||13
x y <>=+=e e e e ，则
A ．x 的最大值为1
B ．x
C ．x y +的最大值为
D ．x y + 25．设复数,w z 满足：22||1,||4w z w z +=+=，则||wz 的
A ．的最小值为54
B ．的最小值为32
C ．的最大值为52
D ．的最大值为114
26．已知椭圆C ：2248x y +=，直线20x y +=与椭圆C 交于A 、B 两点，000(,)(22)P x y x -<<为椭圆C
上的动点，设直线P A 、PB 分别与直线20x y -=相交于M 、N 两点，则
A ．椭圆C 上满足2||||||OQ OM ON =?的点Q 恰有2个
B ．椭圆
C 上满足2||||||OQ OM ON =?的点Q 恰有4个
C ．y 轴上满足OQN OMQ ∠=∠的点Q 恰有2个
D ．y 轴上满足OQN OMQ ∠=∠的点Q 恰有4个
27．已知F 为椭圆C ：2244x y +=的左焦点，设P 是椭圆C 的右准线上一点，过P 作椭圆C 的两条切线
P A 、PB ，切点分别为A 、B ，则
A ．min ||0.5A
B = B ．min ||1AB =
C ．△F AB 的面积为定值
D ．△F AB 的周长为定值
28．设x ，y 满足55(3)40x y x x y ++++=，则点(,)x y
A ．只有有限个
B ．有无限个
C ．位于同一条直线上
D ．位于同一条抛物线上
29．设函数()cos()(0,0π)f x x ω?ω?=+>≤<是R 上的奇函数，若()y f x =的图象关于直线π4
x =对称， 且()f x 在区间π[0,
]12
上是单调函数，则 A ．?的值不唯一 B ．?的值唯一 C ．ω的值不唯一 D ．ω的值唯一 30．已知ξ为随机变量，则
A ．211(||)()22
P P ξξ≤≤≤ B ．22[()]()E E ξξ≤ C ．()(1)D D ξξ=- D ．22()[(1)]D D ξξ=-
31．已知实数a ，b 满足：当||1x ≤时，恒有2||2x ax b ++≤，则
A ．2a ≥-
B ．2a ≤
C ．1b ≥-
D ．1b ≤
32．设122017,,,x x x 均为正数，且122017
1111111x x x +++=+++，则122017,,,x x x 中 A ．小于1的数最多一个 B ．小于2的数最多只有两个 C ．122017max{,,,}2016x x x ≥ D ．122017max{,,,}2017x x x ≥
33．数列{},{},{}n n n x y z 中，11()2n n n n x y z x +=
+-，11()2n n n n y z x y +=+-，11()2n n n n z x y z +=+-．则 A ．{}n n n x y z ++一定是等比数列
B ．当1215,24x x =-=时，1(1)2
n n n x =-+
C ．当{}n x 各项为正数时，111x y z ==
D ． 当存在正整数m 使得m m m x y z ==时，111x y z ==
34．设0,0a b >>，若2232a a b b +=+，则
A ．a b <
B ．b a <
C ．2a b <
D ．2b a <
35．在扇形OAB 中，90OAB ∠=?，1OA =，点C 为弧AB 上的动点且不与A 、B 重合，OD ⊥BC 于D ，
OE ⊥AC 于E ，则
A ．DE 长为定值
B ．∠DOE 的大小为定值
C ．△ODE 面积的最大值为13π
tan 88
D ．四边形ODCE