立体几何专题复习讲义资料
1平行关系
例题讲解：
例1：已知四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，求证：
(1)MN ∥平面ABD ； (2)BD ∥平面CMN 。
答案与提示：连CM 、CN 分别交AB 、AD 于E 、F ，连EF ，易证 MN ∥EF ∥BD
例2.已知边长为10的等边三角形ABC 的顶点A 在平面α内，顶点B 、C 在平面α的上方，BD 为
AC 边上的中线，B 、C 到平面α的距离BB 1=2，CC 1=4． (1)求证：BB 1∥平面ACC 1 (2)求证：BD ⊥平面ACC 1 (3)求四棱锥A -BCC 1B 1的体积 答案与提示：（3）307
例3.已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.
(1) 求证：MN ∥平面P AD ； (2) 求证：MN ⊥CD ；
(3) 若平面PCD 与平面ABCD 所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN 是异面直线AB 与PC 的
公垂线.
答案与提示：（3）45°
备用题
如图,在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥面ABC ，△ABC 为正三角形， D 、E 分别为BC 、AC 的中点，设
AB =2P A =2，
(1)如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ？说明理由； (2)对于(1)中的点F ，求二面角P -EF -A 的大小； 答案与提示：（1）F 为CD 中点（2）arctan2
作业
D C
B M A
N P
在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1
2 AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过A 1，B ，M 三点的平
面交C 1D 1于点N 。
(1)求证：EM ∥平面ABCD ； (2)求二面角B -A 1N -B 1的正切值。 答案与提示：（2）arctan
54
2垂直关系
例题讲解：
例1：如图,在三棱锥P -ABC 中，AB =BC =CA ，P A ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点．
(1)求证：CD ⊥PB ；
(2)设二面角A -PB -C 的平面角为α，且tan α=7，若底面边长为1，求三棱锥P -ABC 的体积． 答案与提示：（2）1
8
例2：已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 、F 分别是棱AA 1和CC 1的中点，G 是A 1C 1的中点．
(1)求证平面BFD 1E ⊥平面BGD 1； (2)求点G 到平面BFD 1E 的距离； (3)求四棱锥A 1-BFD 1E 的体积．
答案与提示：（2）
66a (3) 1
6
a 3
例3：四边形ABCD 中．AD ∥BC ，AD =AB ，∠BCD =45°，∠BAD =90°，将△ABD 沿对角线BD 折
起，记折起点A 的位置为P ，且使平面PBD ⊥平面BCD ． (1)求证：CD ⊥平面PBD ；
(2)求证：平面PBC ⊥平面PDC ； (3)求二面角P —BC —D 的大小．
答案与提示：(2)先证PB ⊥面PCD (3)arctan 2
备用题
在三棱锥S -ABC 中，已知SA =4，AB =AC ，BC =3 6 ,∠SAB =∠SAC =45°,SA 与底面ABC 所的角为30°.
B
A P
D C
E
(1)求证：SA ⊥BC ；
(2)求二面角S —BC —A 的大小； (3)求三棱锥S —ABC 的体积． 答案与提示：(2)arctan 2
3 3 (3)9 2
作业
1.在四棱锥P -ABCD 中，已知PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形,且∠DAB =60°，AB =2CD ，
∠DCP =45°，设CD =a ．
(1)求四棱锥P -ABCD 的体积． (2)求证：AD ⊥PB ． 答案与提示：(1)
34
a 3
2.如图，正三角形ABC 与直角三角形BCD 成直二面角，且∠BCD =90°，∠CBD =30°.
（1）求证：AB ⊥CD ；
（2）求二面角D —AB —C 的大小； 答案与提示：(2)arctan 2
3
3 空间角
例1、如图1，设ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，F 是A 1B 1的中点，且
S
C C
B
A
A
A
B
(1)求证：AF ⊥A 1C ； (2)求二面角C -AF -B 的大小．
解：(1)如图2，设E 是AB 的中点，连接CE ，EA 1．由ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，知AA 1⊥平面ABC ，而CE 平面ABC ，所以CE ⊥AA 1，
∵AB =2AA 1=2a ，∴AA 1=a ，AA 1⊥AE ，知AA 1FE 是正方形，从而AF ⊥A 1E ．而A 1E 是A 1C 在平面AA 1FE 上的射影，故AF ⊥A 1C ；
(2)设G 是AB 1与A 1E 的中点，连接CG ．因为CE ⊥平面AA 1B 1B ，AF ⊥A 1E ，由三垂线定理，CG ⊥AF ，所以∠CGE 就是二面角C -AF -B 的平面角．∵AA 1FE 是正方形，AA 1=a ，
∴112
22
EG EA a =
=， ∴2216222CG a a =-=
， ∴tan ∠CGE =6
232
CG EG a ===，∠CGE ＝60o ，从而二面角C -AF -B 的大小为60o 。 角D －AB －C 的平面角．
为计算△DEF 各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE ＝1，EF ＝3
1
，
BF ＝030cos BE ＝3
2
．在移出图3中，
∵ cos B ＝BC BD ＝3
2
,
在△BDF 中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ﹒ BF ﹒ cosB
＝(2)2＋(
32
)2 －22﹒
3
2
﹒
3
2
＝32． （注：其实，由于AB ⊥DE ，AB ⊥EF ，∴ AB ⊥平面DEF ，∴ AB ⊥DF ．
又∵ AC ⊥平面β， ∴ AC ⊥DF ． ∴ DF ⊥平面ABC ， ∴ DF ⊥BC ，即DF 是Rt △BDC 斜边BC 上的高，于是由BC ﹒ DF ＝CD ﹒BD 可直接求得DF 的长．）
在△DEF 中，由余弦定理：
cos ∠DEF ＝EF DE DF EF DE ?-+22
22＝311232)3
1(12??-+＝33.
∴ ∠DEF ＝arccos
3
3
.此即平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的大小． 解法２、过D 点作DE ⊥AB 于E ，过C 作CH ⊥AB 于H ，则HE 是二异面直线CH 和DE 的公垂线段，CD 即二异面直线上两点C 、D 间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cos θ (x)
o o 与DE ∵ 例3、D 解：∵ ∠ADC 1∴ AD ⊥CC ∴ D 为BC 过C ∴ CE
连结EF ∴ ∠EFC 是二面角D －AC 1－C 的平面角．
在Rt △EFC 中，sin ∠EFC ＝CF
CE
. ∵ BC ＝CC 1＝a 易求得 CE ＝5
a ，CF ＝
a 2
2. ∴ sin ∠EFC ＝
510， ∴ ∠EFC ＝arcsin 5
10. ∴ 二面角D －AC 1－C 的大小为arcsin 5
10
.
例4、（xx 年北京春季高考题）如图，
四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，
（III ）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小。 (Ⅳ)求SD 与面SAB 所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I ）证明：如图1 ∵底面ABCD 是正方形 ∴⊥BC DC
SD ⊥底面ABCD ∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影
由三垂线定理得BC SC ⊥
（II ）解：SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形
∴可以把四棱锥S ABCD -补形为长方体A B C S ABCD 111-，如图2 面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，
ΘSC BC BC A S
SC A S
⊥∴⊥，//11
又SD A S ⊥1 ∴∠CSD 为所求二面角的平面角
在Rt SCB ?中，由勾股定理得SC =2 在Rt SDC ?中，由勾股定理得SD =1
B
A D
S
l
C
图2 图3
（III ）解：如图3 ΘSD AD SDA ==∠=?190， ∴?SDA 是等腰直角三角形 又M 是斜边SA 的中点
∴⊥⊥⊥=DM SA
BA AD BA SD AD SD D
ΘI ，，
∴⊥BA 面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影
由三垂线定理得DM SB ⊥ ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90?
(Ⅳ) 45°
练习：1.设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =
∠DBC =120o.求：
(1).直线AD 与平面BCD 所成角的大小. (2).异面直线AD 与BC 所成的角. (3) .二面角A -BD -C 的大小.
答案：（1）45°（2）90°（3）180°-arctan2
2..如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为6，D ,E 分别为AA 1,B 1C 1的中点.
(1)求证：平面AA 1E ⊥平面BCD ；
(2)求直线A 1B 1与平面BCD 所成的角． 答案：（2）30°
3.如图,四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PD =a ，P A =PC =2a ， (1)求证：PD ⊥平面ABCD ；
(2)求异面直线PB 与AC 所成角的大小； (3)求二面角A -PB -D 的大小；
(4)在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．
答案：（2）90°（3）60°(4)(2-√2)a /2
4.在三棱锥S -ABC 中，已知SA =4，AB =AC ，BC =36,∠SAB =∠SAC =45o,SA 与底面ABC 所成的角为30o.
(1)求证：SA ⊥BC ；
(2)求二面角S —BC —A 的大小; (3)求三棱锥S —ABC 的体积．
答案：（3）9
4 距离
例1、如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直 角三角形，∠ACB =900，AC =1，C 点到AB 1的距离为 CE =
2
3
，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；
（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离； （3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.
解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形， ∠ABC =900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1. ∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面CDE ；
（2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1,
∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段 ∵CE =
23，AC =1 , ∴CD =
.22
∴2
1)()(22=-=CD CE DE ； （3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC ,
∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角. 在Rt △CEA 中，CE =2
3
，BC =AC =1,∴∠B 1AC =600 ∴260
cos 12
1==
AB ， ∴2)()(2
211=-=AB AB BB , ∴ 21
1==∠BC
BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠.
例2、如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM =BN =a ).