2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期入学考试数学试题

长郡中学2020～2021 学年度高二第一学期入学考试

数 学

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分100分。

第I 卷

一、单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合{214A x x ?=≤??，集合{}

21B y y x =-则A B= A. 11[,]22- B.[-1,1] C. [0,1] D. 1[0,]2

2.若等差数列{}n a 各项都是正数，11233,21a a a a =++=,则345a a a ++=

A.21

B.45

C.63

D.84

3.如图是幂函数n y x =的部分图象,已知n 取12，2，- 2，12

-这四个值,则与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相对应的n 依次为

A.2，12，1,22--

B.—2，11,,222

- C. 11,2,2,22-- D. 112,2,22

--， ★4.已知一-组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13

，那么另一组数据3x 1-2，3x 2- 2，3x 3- 2，3x 4-2，3x 5- 2的平均数和方差分别为

A.2，13

B.2，1

C.4，23

D.4，3 5.阿波罗尼斯(约公元前262年至公元前190年)是古埃及希腊化时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一:“若动点P 与两定点M,N 的距离之

比为0,1)λλλ>≠（且,则点P 的轨迹就是圆”,事实上，互换该定理中的部分题设和结论,得到的命题依然成立.已知点M(2,0)，点P 为圆O:x 2+y 2=16上的点,若存在x 轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P 均有PM PN λ=,则λ= .

A.1

B. 12

C. 13

D. 14

★6.若仅存在一个实数(0,)2t π∈.使得曲线C: sin()(0)6

y x π

ωω=->关于直线x =t 对称,则ω的取值范围是 A. 17[,)33 B. 410[,)33 C. 17(,]33 D. 410(,]33

7.已知一个正三棱锥的高为3,如下图是其底面用斜二测画

法所画出的水平放置的直观图,其中O'为B'C'的中

点,OA'=

3

2

,则此正三棱锥的体

积为

A. 3

B. 33

C. 3

D.

33

★8.已知向量

a b

p

a b

=+,其中,a b均为非零向量,则b的取值范围是

A. [0, 2]

B. [0,1]

C. (0,2]

D. [0,2]

9.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半,且AB= BC=CA=2,则球O的体积为

A. 256

81

π

B.

64

27

π

C.

16

9

π

D.

4

3

π

10.如图，直角△ABC的斜边BC长为2,∠ACB=30° ,且点B、

C分别在x轴、y轴正半轴上滑动，点A在线段BC的右上方.

设(,)

OA xOB yOC x y R

=+∈,记,

M OA OC N x y

=?=+,分别考

察M、N的所有运算结果,则

A.M有最小值,N有最大值

B.M有最大值,N有最小

值

C.M有最大值,N有最大值

D.M有最小值,N有最小值

二、多项选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得3分,有选错的得0分,部分选对得1分)

11.下列关于函数

1

()

1

x

f x

x

-

=

+

的说法中正确的是

A. f(x)为奇函数

B. f(x)在(0,+∞).上单调递减

C.不等式f(x)<0的解集为(,1)(1,)

-∞-+∞ D.不等式f(x)<0的解集为(1,0)(0,1)

-

12.如图,在正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中2AA1，E、F分别为

AB、

BC的中点,异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m,则

A.

3

3

m= B.直线A1E与直线C1F共面

C. m=

2

3

D.直线A1E与直线C1F异面

13.已知定义在R 上的函数f (x )满足()()0,(6)()f x f x f x f x +-=+=-,且对任意的x 1，2[3,0]x ∈-，当x 1≠x 2时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是

A.函数f (x )是偶函数

B.函数f (x )在[-9,-6]单调递增

C. x =3是函数f (x )的对称轴

D.函数f (x )的最小正周期是12

14.将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12

π个单位长度得到函数y =g (x )的图象.若函数g(x )在区间[0,]2

π上是单调增函数,则实数ω可能的取值为 A. 23 B.1 C. 65

D.2 15.定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数f (x ),如果对于任意给定的等比数列{}n a ,数列{}()n f a 仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数".现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为

A. f (x )=x 2

B. f (x )=2x

C. ()f x =

D. ()ln f x x =

第II 卷

三/填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)

16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生,现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛,则甲班中某女生被抽到的概率是____。

★17.已知函数831(0x y a a -=->,且a ≠1)的图象恒过定点A(m ，n),则log ____mn =

18.若过原点O 的动直线l 将圆E:(x -1)2+(y -2)2= 10分成的两部分面积之差最大时,直线l 与圆E 的交点记为A 、B ；l 将圆E 分成的两部分面积相等时,直线l 与圆E 的交点记为C 、D;则四边形ABCD 的面积为________________。

19.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a 、b 、c ,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之,自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若

a >

b >

c ，则,现有周长为的△ABC 满足

sin :sin :sin 2:A B C =,则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________。

20.已知a ，b 为正实数,且a +b +ab =3,则2a +b 的最小值为_________

四、解答题(本题共5小题,每小题8分,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或

演算步骤. )

21. (8分)

在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边,若b =3,c =4,C=2B,且a b ≠.

(1)求cos B 及a 的值;

(2)求cos(2)3

B π

+的值.

★22. (8分)

某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取50人进.行统计(已知这50人身高介于155cm 到195cm 之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),.,第八组[190,195],并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为5 : 2.

(1)补全频率分布直方图;

(2)根据频率分布直方图估计这50个男生身高的中位数;

(3)用分层抽样的方法在身高为[170,180)内抽取一个容量为5的样.本,从样本中任意抽取2个男生,求这两个男生身高都在[175,180]内的概率.

23.(8分) 已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且1(2)3

n n a S n =+对任意n N *∈都成立. (1)求a 1 ，a 2的值;

(2)证明数列{}2n a +是等比数列.并求出数列{}n a 的通项公式;

(3)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和Tn.

24. (8分)

已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P 满足2PA PB =,设动点P 的轨迹为曲线E,直线l :y =kx -4.

(1)求曲线E 的轨迹方程;

(2)若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点,且∠COD= 120°(O 为坐标原点),求直线l

的斜率;

(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、N,探究:直线MN是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由. 25.(8分).

设二次函数2

=++≠,集合{}

f x ax bx c a

()(0)

==

()

A x f x x

，，且方程f(x)=0的两根都小于1-,求实数a的取值范围;

A f x>

=1,2()0

(1)若{}

A=,求函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值M(结果用a表示).

(2)若{}2