七年级上册有理数复习拓展提高1

有理数

一、常考题型检测 考点1:正数和负数

注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点

②对于正数和负数,不能简单理解为带“＋”号的数是正数,带“—”号的数是负数

例1：向北走2000米与向南走１000米,若规定向北走为正,则向北走2000米可记作 ，向南走１0００米,原地不动分别可记作 易错点:

1、—a 一定是负数吗?

2、下列说法错误的是（ ）

A 、0是自然数

B 、0是整数

C 、0是偶数

D 、海拔０米表示没有海拔 考点2、有理数 1、有理数的分类

注意：1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数,如圆周率就不是有理数了。 ?２、０是整数不是分数

例1、把下列各数填在相应的集合内： π,4

1

,-３,2，-1,－0.５8，0，-３.14，0.６18,１０ 整数集合：{ …｝ 分数集合:｛ …｝ 非负数集合：{ …} 有理数集合：｛ …｝ 例2、下列说法正确的是( )

A 有理数分为正数和负数

B 有理数一定表示负数 Ｃ 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数 Ｄ 有理数包括整数和分数 2、数轴(重点) 数轴的含义：

(1)数轴是一条直线，可以向两边无限延伸

（2)数轴的三要素：( ）、( ）、（ ）、这三者缺一不可

(3）数轴一般取右(或向上）为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。

(4）同一数轴的单位长度必须一致?

例1：如图所示，在数轴上,点依次表示1．５，-２,2，-2．5。说出个点与原点的位置关系以及与原点的距离是多少个单位长度？

1.5

A -2.5

-3-1

3

1

例2:有理数在数轴上的位置如图所示,求

c

c

b b a ++a 的值 ３.相反数（重点）

定义:（1）只有符号不同．．．．的两个数叫做相反数．．．

。 (２）在数轴上分别位置原点的两侧,到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。

例1、有理数

3

1

的相反数是( ) (Ａ)31 （B ）3

1

- （C)3 （D) –3

例2、ａ的相反数是 , 的相反数是 , ０的相反数是 4、绝对值（难点）

绝对值的定义:数轴上表示ａ的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记为 ∣a ∣,读作：ａ的绝对值

因为数的绝对值是表示两点之间的距离,所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正数(0的绝对值是0）

绝对值的代数定义：1)一个正数的绝对值是它本身

２)一个负数的绝对值是它的相反数 3）０的绝对值是0 绝对值的计算规律:

（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若b a =，则或;

（3） 若0,0,0===+b a b a 则 例1、如果｜ | = ,下列成立的是（ ） A <0 ≦0 ＞0 ≧0 例2、 的绝对值是8。

例３、若11=-b ,则 ,若==+a a 则,06 。 例４、若5,3==b a ，则b a +等于( )

A 、2

B 、８ Ｃ、2或8 D 、81--或 例5、已知()0122

=++-b ab

a

b

0c

(1) 求的值 (2) 求2008

2008

2??

? ??-a b 的值

例６、计算：

=-+??+-+-+-99

1100131412131121 例７、根据0≥a ，解答下列问题

（1)当x 为何值时, 2-x 有最小值?最小值是多少？ （2)当x 为何值时, 43--x 有最大值?最大值是多少？ 易错点：

1、画数轴时,缺少要素

２、已知a a -=，则a 的值是（ ）

A 、正数 Ｂ、负数 C 、非正数 D 、非负数 ３、相反数和倒数的定义相混淆 考点3、有理数的加减(重难点）

例1、如果两个有理数的和是正数,那么这两个数（ )。 （1）都是正数

（2）一个是正数，一个是零

（3）两个数异号，且正数的绝对值较大 D.以上三种情况都有可能 例２、简单计算

(1)()13 4.52?

?-+- ???； (2)()()4.5 6.7+++； (3)()2517++; (4）5121313????

-

+- ? ?????

例３、从图（１)中找规律,并在图(２)填上合适的数

?

例4、下列说法正确的是( )

A.两数相减，被减数一定大于减数

B.0减去一个数仍得这个数

(1)

-6-2

-8-19

-11

-5

(2)

-4

-14

12

C.互为相反的两个数差为0

D.减去一个正数,差一定小于被减数 考点４ 有理数的乘除、乘方

例1、“！”是一种运算符号，并且值为！

！

则200920104321!4;321!3;21!2;1!1?????=??=?== 考点５、近似数与科学计数法

① 近似数:一个与实际数比较接近的数，称为近似数。

② 科学计数法：把一个数记作ａ×10n

形式(其中1≤ a ≤10,n 为整数。） 题型１ 近似值

例１ 光的速度大约是30０ 000 00０，用科学计数法表示为（ )。 A.9103? 8103? 7103? 9

103.0? 题型2: 精确度

例1 、 下列说法正确的是（ ）

A 、近似数25.０的精确度与近似数25的一样

B 、近似数0．230与近似数0.0２3的精确度一样

C 、近似数４千万与近似数４0００万的精确度一样 题型3: 求近似数

例1、 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值： （1)1.999（精确到0.０１); （2)0．0304９(保留２个有效数字); （3)６７２94(精确到万位)； (4）5８6４（保留2个有效数字） 二、易错题型: １、计算﹣１

2０13

与(﹣1）

20１３

２、关于﹣(﹣a ）２

的相反数,有下列说法：①等于a 2;②等于（﹣a)2

；③值可能为0；④值一定是正数.其中正确的有（ ）

３、下列不是有理数的是（ ） A.-３.１4 B.0 Ｃ.3

7

D.π 4、下列各判断句中错误的是( ） A ．数轴上原点的位置可以任意选定

B.数轴上与原点的距离等于８个单位的点有两个

C.与原点距离等于－2的点应当用原点左边第２个单位的点来表示

Ｄ.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间,一定还存在着表示有理数的点。 ５、一个数和它的倒数相等，则这个数是( ） 6、正数–a 的绝对值为；负数–b 的绝对值为

7、如果规定符号“*”的意义是a*(），求2＊(-3)＊4的值。 8、已知1４,(２)2

=4,求的值。 三、拓展题型 １、有理数的巧算 （1）利用运算律

5025249???? ??- ()??

?

??---????514131215432

（２)裂项相消

例1：计算2010

20091

431321211?+

???+?+?+? 变式一:计算：2009

20071

751531311??

??+?+?+? 归纳小结：

b

a a

b b a 11+=+；

()11111+-=+n n n n ； ()m n n m n n m +-=+1

1 练习:

1、设三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b a

b

,,0的形式,求20001999b a +的值 2、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，

求()()()2003

2001

231ab x

n m x ab n m x -++++++-的值

2、绝对值

1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。

去绝对值符号法则:()()()

0000

<=>??

?

??-=a a a a a a 2、恰当地运用绝对值的几何意义

从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离; (1)去绝对值符号法则

例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。

变式一：已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2

c b a 。

(2)绝对值的非负性

例1:已知130a b ++-=,则__________a b 变式：、已知022=-+-a ab ，求()()()()

()()200620061

2211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值

拓展练习：

1、若m 是有理数,则m m -一定是（ )

A.零 B ．非负数 Ｃ．正数 Ｄ．负数

2、满足b a b a +=-成立的条件是（ ）(湖北省黄冈市竞赛题）

A.0≥ab

B.1>ab

C.0≤ab

D.1≤ab 3、若0>ab ,则

ab

ab b

b a

a -

+

的值等于 。

3、数轴与绝对值结合考查(数形结合) 1、利用数轴能形象地表示有理数;

例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么( )

A ．b ab < Ｂ．b ab > Ｃ．0>+b a D.0>-b a

变式一:如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有( ) A ．１ Ｂ．2 C.3 D ．４ ２、利用数轴能直观地解释相反数;

例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3,点Ｂ到原点的距离为5，那么Ａ、B 两点的距离为 。

变式：已知数轴上有A 、B 两点，A 、Ｂ之间的距离为１，点A 与原点O 的距离为３，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。 3、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

例4: 有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ )

Ａ．c b a -+32 Ｂ.c b -3 C.c b + D ．b c -

变式：已知有理数c b a ,,在数轴上的对应的位置如下图:则b a c a c -+-+-1化简后的结果是（ )

A ．1-b B.12--b a C.c b a 221--+ D ．b c +-21

有理数的巧算

【赛点解析】

1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算,在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧,不仅可以简化运算,提高解题速度，而且可以养成勤于动脑,善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则

⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质

3、常用运算技巧

⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法

【专题精讲】

【例1】计算下列各题

⑴ 32

333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544

-?+?-+??+÷-

⑵ 12713

923(0.125)(1)(8)()35

-?-?-?-

【例2】计算:1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+

【例3】计算：⑴111111261220309900++++++ ⑵1111

133********

++++

???? 反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可

以用裂项相消法求值。 ①

111

(1)1n n n n =-++ ②

1111()()n n k k n n k =-++ ③

1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111

()(1)(1)211

n n n n =--+-+

【例4】（第1８届迎春杯)计算:11112481024

++++

【例5】计算：11212312341235859

()()()()23344455556060606060

++++++++++++++++

【例６】(第8届“希望杯”)计算：

11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009

--+-+++---+--+++

【例7】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算出:33333123450++++

+的值。

1234

5

2

46810369

1215

4

8

121620

510152025

【实战演练】

1、用简便方法计算:999998998999998999999998?-?=

２、(第10届“希望杯”训练题)11

111

(1)(1)(1)(1)(1)20042003100210011000

-?-??-?-?-=

３、已知199919991999200020002000200120012001

,,199819981998199919991999200020002000

a b b ?-?-?-=-=-=-

?+?+?+则abc =

４、计算：11

1

111315131517

293133

++

+

=??????

5、(“聪明杯”试题）2

12424824()139261839n n n n n n

??+??++??=??+??++??

6、11111

(1)(1)(1)(1)(1)132435

1998200019992001

+

+++

+?????的值得整数部分为( ）

Ａ.１ B.２ Ｃ．3 Ｄ．4 提示:2

2

(1)21n n n +=++ 7、

481216

40

13355779

1921

-+-+-

=?????

８、计算:2

3

201012222S =+++++

9、计算111

112123123100

+++???+

++++++???+的值．

10、计算：1111

32010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)

223234

232010

+++

+

+++++++++的值。

七年级上学期复习要点归纳

第一章有理数

自然数：像0，1,2，3,4，5,6···这样的数叫做自然数(提示:自然数包含0)。

正整数:像···1,２,3,4，5··１00,1０1···这样的数叫做正整数。

负整数:···-１0099··-543２1这样的数叫负整数。0既不是正数也不是负数。整数：正整数,0,负整数统称为整数。

正分数：像1215

,,,0.1,5.32

237

这样的数叫正分数。

负分数：像

521

0.5,,,,150.25

237

-----这样的数叫负分数。

分数:分数包括正分数和负分数。分数不包括０,有限小数、无限循环小数都是分数。

有理数定义分有理数按性质分

典型例题一：１，-0.１,-789，２5，2π，０，－20，-３．14，200%，６/7

正整数集{ …｝

负整数集｛…}

正分数集｛…}

负分数集｛…｝

正有理数集{ …｝

负有理数集｛…}

自然数集｛…｝

有理数集｛…}

非负数：包含0和正数非正数:包含0和负数

典型例题二：最小的自然数,最大的负整数为,最小的正整数位,最大的非正数为,没有最大的正整数和最小的负整数。判断对错：整数一定是自然数(),自然数一定是整数（）。

数轴：数轴三要素:原点，正方向和单位长度。负数都在原点左边，正数都在原点右边。数轴上的点到原点的距离都是非负数。原点的右边离原点越远的点表示的数越大,原点的左边离原点越远的点表示的数越小。

典型例题三：在数轴上点Ａ表示—4 的点，现在把A点移动3个单位长度,现在Ａ点的位置。

在数轴上点Ａ表示－4 的点,点B表示-5的点,那么点A和点B之间的距离为单位长度。

相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数(0)。相反数几何定义：在数轴上距离原点距离相等的两个点互为相反数。相反数等于它本身的数是0,相反数大于它本身的数是负数。

设a表示一个有理数,—a一定是负数吗？

①当ａ为正数时,—a表示负数，②当a为0时,—a表示0

③当a为负数时,—a表示正数.

典型例题四:点a距原点的距离为４,那么a点为.１．6 的相反数为,

２x的相反数为—b的相反数是.如果——5,那么。

数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为１0，这两个数为。

如果—ａ，那么表示a 的点在数轴上的什么位置。

符号化简：有多少个+号不影响结果(+号可省略），“—”号的个数为奇数个时只取一个“—”号。“—”号的个数为偶数个时,不影响结果。

典型例题五：化简下列各数: —(—68)

—（+０.75) —［—(—６）] —(+3.8）

绝对值：数轴上表示数啊a 的点与原点的距离叫做数ａ 的绝对值,计做a

。—3和3到原点的距离是一样的,所以

333-==。

绝对值出来是一个非负数。

一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值等于０,；互为相反数的两个数绝对值相等。非负数的绝对值是它本身。 ①如果a>0，那么

a

， ②如果０,那么

a

=0 ③如果a<0,那么

a

＝—ａ

典型例题六:①如果ａ的绝对值3a =,那么.

②如果10a -=,那么。如果14a -=，那么

③如果

130a b -++=，那么1。

④写出绝对值小4的所有整数,其中正整数为。

比较大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

在数轴上，越往右边数越大。

典型例题七：画出数轴并在数轴上标出,—4,３.5，13-,1

2

-,１．5，３.5，并用<连接。

有理数加法（默写3条法则)：

加法运算规律：小学学过的加法交换律、结合律,在有理数的范围内同样适用，即:两个数相加，交换加数的位置和不变,式子表示为。三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。用式子表示()(）。式子中的字母可以是正数也可以是负数。

典型例题八：

① —2.48+(+4.33)+（—7.52)+（—4.33） ② 23+(－17)＋6＋（-2２） ③

1251143643??????+-++-+- ? ? ??????? ④133232584545????

+-++- ? ?????

2.检修小组从A 地出发，在东西方向的道路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负,一天中行驶记录如下（单位:）：—4，＋7,—9，＋8，＋5,—3,—３. （１)求收工时距Ａ地多远?

(2）若每千米耗油０.5升，问从出发到收工共

有理数减法:减去一个数等于加上这个数的相反数，字母ａ—(—b)。 典型例题九:

①较小的数减去较大的数,所得的差一定是( ）

Ａ.0 B.正数? C ．负数 D ．０或负数 ②—50—28+（—2４）—(—２２）

1110.2513232????

-+--+ ? ?????

—19.8—（—2０.３)—20.２—10.8 ()2123 2.44

335??????-+----- ? ? ??

?

???

?

乘法法则（默写):

倒数:乘积是1的两个数互为倒数(1a b ?=).(与互为相反数区分开来，互为相反数的符号不同;互为倒数符号相同,分子分母调换位置)(0没有倒数,倒数是它本身的数是1和—1)。

125-的相反数为125 125-的倒数为5

11-

典型例题十:2

23

-的倒数的绝对值是.

()()8250.04-?+?- 6341745??????

-?-?- ? ? ???????

()11148234??????

-?-?-?- ? ? ???????

—2.5的倒数为 多个数乘法规律:几个不是0 的数相乘，负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时，积是负数。 乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置，积相等。

乘法结合律:三个数相乘，先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等。（）（)

乘法分配率：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。即ａ（)

典型例题十一:

11112462??+-? ??? ()1115777127333??-?+?--? ???

()24

49

525

?- 521a b a b ?=+-,则()46-?的值为

除法法则（默写）：除法是乘法的逆运算。

如果a b ÷(ｂ不等于0)的商是负数,那么a 与b( 异号)

1(1)(5)5??-÷-?- ??? 111313223

????-÷-? ? ?????

()()11210012??-÷-

÷- ???

两数的积是１，已知一数是327-,求另一个数 加减乘除混合运算：先乘除后加减，同级运算从左往右依次计算。

典型了例题十二：

()116666???-÷-? ??? 23142344??????

?-+-÷- ? ? ??????? 5721129336????

--÷- ? ?????

7377184812????-÷-- ? ?????

乘方：求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方，乘方的结果叫做幂,在n

a 中,a 叫做底数,n 叫做指数。

()

2

6-中，底数是—6，指数是2,运算结果为３6，读作:负6的平方。在2

6-中，底数是6，指数是2，运算结果是—36，读作

6的平方的相反数。

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是０．

由2

0a =可得,０.

由

()

2

20a -=可得，2

由

()()

2

4

210a b -++=可得,2，—１

典型例题十三:

()()2

3

11-+- 5

12??- ???

()3422-?- 4

1- 乘方混合运算的规则：1.先乘方，在乘除,最后加减； 2.同级运算,从左到右依次进行

3.如有括号，先做括号内的运算;按小括号、中括号、大括号依次进行。

典型例题十四:

()()23

43526?--?-+ ()2411236??--?--?

?

科学记数法:把一个大于10的数表示成10n

a ?的形式(其中a 大于或等于1且小于10,ｎ是正整数）。

典型例题十五：

用科学记数法表示：125０00００000；—10２5０００00; 把原数写在横线上：6

2.0310

-?75.810?;

0.0１58(精确到０.001)，３０4.35（精确到个位)

1.804(精确到0.1）,1.804(精确到0.01）。

乘方：求n 个相同的因数的积的运算,叫做乘方。乘方的结果叫做幂。在n

a 中，a 叫做底数,n 叫做指数。 典型例题:

()

4

2-其中底数为，指数为，幂是,读作。

42-其中底数为,指数为，幂是，读作。

用幂的形式可表示为.

负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

典型例题十六:

①若2

9x

=，则x 的值是,若38a =-，则a 的值是。

②如果

()

2

110x b -++=,那么20032004x b +=。

有理数的混合运算规律： 1. 先乘方，再乘除,最后加减； 2. 统计运算，从左到右进行

3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

典型例题十七:

3

342293??-÷?- ???

()()3

101224-?+-÷

()

()()4

22104332??-+--+??? ()2

411236??--?--?

?

()2

232--- ()()()421110.5223??---??--?

?

16x +-的最小值是,此时2015x =．