三角函数公式

一、相关概念

（1）三角函数的标准英文读音音标

正弦：sine（简写sin）[sain]

余弦：cosine（简写cos）[k?usain]

正切：tangent（简写tan）['t?nd??nt]

余切：cotangent（简写cot）['k?u't?nd??nt]

正割：secant（简写sec）['si:k?nt]

余割：cosecant（简写csc）['kau'si:k?nt]

正矢：versine（简写versin）['v?:sain]

余矢：versed cosine（简写vercos）['v?:s?:d][k?usain] （2）直角三角函数

直角三角函数（∠α是锐角）

正割：sec=斜边/邻边

余割：csc=斜边/对边

（3）三角关系

倒数关系：

商的关系：

且长度为1，所以有 sinθ=y/1 和 cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

三、特殊值

sin30°=1/2

sin45°=√2/2

sin60°=√3/2

cos30°=√3/2

cos45°=√2/2

cos60°=1/2

tan30°=√3/3

tan45°=1

tan60°=√3[1]

cot30°=√3

cot45°=1

cot60°=√3/3

sin15°=（√6-√2）/4

sin75°=（√6+√2）/4

cos15°=（√6+√2）/4

cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin（45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）

sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半)

四、重要定理

（1）正弦定理

正弦定理：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

其中，R为△ABC的外接圆的半径。

（2）余弦定理

余弦定理：在△ABC中，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。

其中，θ为边a与边c的夹角。

五、常用公式

（1）诱导公式

三角函数的诱导公式（六公式）

公式一

sin(α+k*2π)=sinα

cos(α+k*2π)=cosα

tan(α+k*π)=tanα

公式二：

sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

tan(π+α）=tanα

公式三：

sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (-α)=-tanα

公式四：

sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

tan(π-α) =-tanα

公式五：

sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) =sinα

由于π/2+α=π-（π/2-α），由公式四和公式五可得

公式六：

sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。

（2）和（差）角公式

（3）三角和公式

sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

（4）和差化积

（5）积化和差

（6）倍角公式

1、二倍角

正弦：

余弦：

正切：

三倍角：

三倍角公式推导

sin（3a)→3sina-4sin^3a

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina（1-sin^2a)+（1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a→（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa

=cos（2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a→4sinasin（60°+a)sin（60°-a)

=3sina-4sin^3a

=4sina（3/4-sin^2a)

=4sina[（√3/2）-sina][（√3/2）+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[（60+a)/2]cos[（60°-a)/2]*2sin[（60°-a)/2]cos[（60°+a)/2]

=4sinasin（60°+a)sin（60°-a)

cos3a→4cosacos（60°-a)cos（60°+a)

=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4）

=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]

=4cosa(cosa-cos30°）(cosa+cos30°）

=4cosa*2cos[(a+30°）/2]cos[(a-30°）/2]*{-2sin[(a+30°）/2]sin[(a-30°）/2]}

=-4cosasin(a+30°）sin(a-30°）

=-4cosasin[90°-（60°-a)]sin[-90°+（60°+a)]

=-4cosacos（60°-a)[-cos（60°+a)]

=4cosacos（60°-a)cos（60°+a)

tan3a→tanatan（60°-a)tan（60°+a)

上述两式相比可得

tan3a=tanatan（60°-a)tan（60°+a)

三倍角

sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）

cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）

tan3α=tan（α）*(-3+tan（α）^2）/(-1+3*tan（α）^2）=tan a · tan（π/3+a）· tan （π/3-a)

其他多倍角

四倍角

sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角

sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））

cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA^4-16*cosA^2+1）

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角

sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-

35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角

sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1））

cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-

28*tanA^6+tanA^8）

九倍角

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-

36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角

sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-

20*sinA^2+5+16*sinA^4））

cos10A = ((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-

48*cosA^2+1））

tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-

1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角

根据棣莫弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）

为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c

考虑n为正整数的情形：

cos(nθ）+ i sin(nθ） = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n- 4）*(i s)^4 + ... …+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …=>；比较两边的实部与虚部

实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + ... …i*

虚部：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）

*c^(n-5）*(i s)^5 + ... …

对所有的自然数n：

⒈cos(nθ）：

公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c （也就是cosθ）表示。

⒉sin(nθ）：

⑴当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。

⑵当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是cosθ）的一次方无法消掉。

例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）

（7）特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]

=sin（a+θ）*sin（a-θ）

（8）坡度公式

我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，

即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.

（9）半角公式

（10）万能公式

六、辅助角公式

注:该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式等

asin α+bcos α=√(a^2+b^2)sin(α+φ)，其中tan φ=b/a

asinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC

asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×sin(A+C)

七、双曲函数

sh a = [e^a-e^(-a)]/2

ch a = [e^a+e^(-a)]/2

th a = sin h(a)/cos h(a)

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ+α）= sinα

cos（2kπ+α）= cosα

tan（2kπ+α）= tanα

cot（2kπ+α）= cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π+α）= -sinα

cos（π+α）= -cosα

tan（π+α）= tanα

cot（π+α）= cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（-α）= -sinα

cos（-α）= cosα

tan（-α）= -tanα

cot（-α）= -cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π-α）= sinα

cos（π-α）= -cosα

tan（π-α）= -tanα

cot（π-α）= -cotα

公式五：

利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π-α）= -sinα

cos（2π-α）= cosα

tan（2π-α）= -tanα

cot（2π-α）= -cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2+α）= cosα

cos（π/2+α）= -s inα

tan（π/2+α）= -cotα

cot（π/2+α）= -tanα

sin（π/2-α）= cosα

cos（π/2-α）= sinα

tan（π/2-α）= cotα

cot（π/2-α）= tanα

sin（3π/2+α）= -cosα

cos（3π/2+α）= sinα

tan（3π/2+α）= -cotα

cot（3π/2+α）= -tanα

sin（3π/2-α）= -cosα

cos（3π/2-α）= -sinα

tan（3π/2-α）= cotα

cot（3π/2-α）= tanα

（以上k∈Z)

A·sin（ωt+θ）+ B·sin（ωt+φ） =

√{(A+2ABcos（θ-φ）} · sin{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ）/ √{A^2 +B^2 +2ABcos （θ-φ）}}

√表示根号，包括{……}中的内容