2018中考数学专题训练 (圆)(含解析)

专题训练

(圆)

(120分钟120分)

一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)

1.半径为5的圆的一条弦长不可能是( )

A.3

B.5

C.10

D.12

【解析】选D.因为圆中最长的弦为直径,所以弦长l≤10.

2.有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆.

其中错误说法的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选B.①圆确定的条件是确定圆心与半径,①是假命题,故此说法错误;

②直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确;

③弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误;

④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,所以不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误的说法是①③. 3.(2017·兰州中考)如图,在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=

( )

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°

【解析】选B.因为在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,所以∠AOB=

2∠CDB=50°.

4.(2016·无锡中考)如图,AB是☉O的直径,AC切☉O于A,BC交☉O于点D,若∠C=70°,则∠AOD的度数为( )

A.70°

B.35°

C.20°

D.40°

【解析】选D.∵AC是圆O的切线,AB是圆O的直径,

∴AB⊥AC.∴∠CAB=90°.

又∵∠C=70°,∴∠CBA=20°.∴∠AOD=40°.

5.(2017·自贡中考)AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C;连接BC,若∠P=40°,则∠B等于( )

A.20°

B.25°

C.30°

D.40°

【解析】选B.因为PA切☉O于点A,所以∠PAB=90°,因为∠P=40°,所以

∠POA=90°-40°=50°,因为OC=OB,所以∠CBO=∠BCO=25°.

6.温州是著名水乡,河流遍布整个城市.某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图).已知桥拱半径OC为5 m,水面宽AB为4m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为

( )

A.4m

B.7m

C.5+m

D.6m

【解析】选D.连接OA,如图,

∵CD⊥AB,∴AD=BD=AB=·4=2(m),

在Rt△OAD中,OA=5m,

OD===1(m),

∴CD=OC+OD=5+1=6(m).

7.(2017·济宁金乡模拟)如图,线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=20°,则∠AOD等于( )

A.160°

B.150°

C.140°

D.120°

【解析】选C.因为线段AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,

所以=,因为∠CAB=20°,所以∠BOD=40°,

所以∠AOD=140°.

8.(2017·东平县一模)如图,已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6,圆锥的高与母线的夹角为α,则( )

A.圆锥的底面半径为3

B.tanα=

C.圆锥的表面积为12π

D.该圆锥的主视图的面积为8

【解析】选 D.设圆锥的底面半径为r,高为h.由题意:2πr=,解得r=2,h==4,

所以tanα==,圆锥的主视图的面积=×4×4=8,表面积=4π+π×2×6=16π.所以选项A,B,C错误,D正确.

9.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是( )

A.第①块

B.第②块

C.第③块

D.第④块

【解析】选A.第①块出现一段完整的弧,可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.

10.(2017·东平县一模)如图,☉O的半径OD⊥弦AB于点C,连接AO并延长交☉O 于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( )

A.2

B.8

C.2

D.2

【解析】选D.因为☉O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,所以AC=AB=4,设☉O的半径为r,则OC=r-2,在Rt△AOC中,因为AC=4,OC=r-2,所以OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r-2)2,解得r=5,所以AE=2r=10,连接BE,因为AE是☉O的直径,

所以∠ABE=90°,在Rt△ABE中,因为AE=10,AB=8,

所以BE===6,

在Rt△BCE中,因为BE=6,BC=4,

所以CE===2.

11.如图,线段AB是☉O的直径,点C,D为☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB 的延长线于点E,若∠E=50°,则∠CDB等于( )

A.20°

B.25°

C.30°

D.40°

【解析】选A.连接OC,

∵CE是☉O的切线,

∴∠OCE=90°,

∵∠E=50°,

∴∠COE=90°-50°=40°,

∴∠CDB=∠COE=20°.

12.(2017·胶州市一模)如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切于点A,连接OC交☉O于点D,作DE∥AB交☉O于点E,连接AE,若∠C=40°,则∠E等于( )

A.40°

B.50°

C.20°

D.25°

【解析】选D.因为AC与圆O相切,所以AC⊥AB,在Rt△AOC中,∠C=40°,所以∠

AOC=50°,因为∠AOC与∠AED都对,所以∠E=∠AOC=25°.

13.如图,AB是☉O的弦,半径OC经过AB的中点D,CE∥AB,点F在☉O上,连接CF,BF,下列结论中,不正确的是( )

A.∠F=∠AOC

B.AB⊥BF

C.CE是☉O的切线

D.=

【解析】选B.A,∵半径OC经过AB的中点D,

∴=,

∴∠F=∠AOC,故此结论正确,此选项不合题意;

B,由于F点不确定,无法得出AB⊥BF,故此选项不正确;

C,∵半径OC经过AB的中点D,

∴CO⊥AB,

∵CE∥AB,

∴∠OCE=90°,

∴CE是☉O的切线,故此结论正确,不合题意;

D,由选项A得,=,故此结论正确,此选项不合题意.

14.圆I是三角形ABC的内切圆,D,E,F为3个切点,若∠DEF=52°,则∠A的度数为( )

A.68°

B.52°

C.76°

D.38°

【解析】选C.∵圆I是三角形ABC的内切圆,

∴ID⊥AB,IF⊥AC,

∴∠IDA=∠IFA=90°,

∴∠A+∠DIF=180°,

∵∠DIF=2∠DEF=2×52°=104°,

∴∠A=180°-104°=76°.

15.(2016·吉林中考)如图,阴影部分是两个半径为1的扇形.若α=120°,β= 60°,则大扇形与小扇形的面积之差为( )

A. B. C. D.

【解析】选B.-=.

16.如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是( )

A.R2-r2=a2

B.a=2Rsin 36°

C.a=2rtan 36°

D.r=Rcos 36°

【解析】选A.∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆,

∴∠BOC=×360°=72°,

∴∠1=∠BOC=×72°=36°,

R2-r2==a2,

a=Rsin 36°,

a=2Rsin 36°;

a=rtan 36°,

a=2rtan 36°,

cos 36°=,

r=Rcos 36°,

所以,关系式错误的是R2-r2=a2.

17.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为( )

A. B. C.4 D.2+

【解析】选B.如题图:BC=AB=AC=1,

∠BCB′=120°,

∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×

=2×=π.

18.如图,已知点P是半径为1的☉A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作?ABCD,若AB=,则?ABCD面积的最大值为( )

A.2

B.

C.2

D.3

【解析】选C.由☉A半径为1可知AP=1,因为PC=AP,所以AC=2,以AC为对角线作?ABCD,?ABCD面积是△ABC面积的2倍,求?ABCD面积的最大值即求△ABC面积的最大值,AB=,所以当AB⊥AC时,△ABC面积最大.

△ABC面积=,∴?ABCD面积=2.

19.(2017·重庆中考A卷)如图,矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,交AD于点E,若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE为半径画弧,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是( )

A.2-

B.-

C.2-

D.-

【解析】选B.因为矩形ABCD的边AB=1,BE平分∠ABC,

所以∠ABE=∠EBF=45°,AD∥BC,所以∠AEB=∠CBE=45°,

所以AB=AE=1,BE=,因为点E是AD的中点,所以AE=ED=1,

所以图中阴影部分的面积=S矩形ABCD-S△ABE-S扇形EBF=1×2-×1×

1-=-.

20.如图,正方形ABCD和正三角形AEF都内接于☉O,EF与BC,CD分别相交于点G,H,则的值是( )

A. B. C. D.2

【解析】选C.连接AC,EO,AC与EF交于点Q,由四边形ABCD是内接于☉O的正方形得∠ACB=45°,∠B=90°,AC过圆心O,又正三角形AEF内接于☉O,AC是直

径,故∠OAE=30°,AC⊥EF.设半径为r,则AE=r,OQ=,又OC =r,所以

CQ=,HG=r,==.

二、填空题(本大题共4小题,满分12分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)

21.(2017·曹县二模)如图,半径为3的☉A经过原点O和点C(0,2),B是☉O上一点,则tan∠OBC为________.

【解析】作直径CD,在Rt△OCD中,CD=6,OC=2,则OD==4,

tan∠CDO==,由圆周角定理得,∠OBC=∠CDO,则tan∠OBC=.

答案:

22.(2017·天桥区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB上,若以点D为圆心,AD为半径的圆与BC相切,则☉D的半径为________.

【解析】过点D作DE⊥BC于点E,因为∠C=90°,所以DE∥AC,

所以△BDE∽△BAC,所以=,设☉D的半径为r,

因为AC=6,BC=8,所以AB=10,即=,解得r=.

答案:

23.如图,在平行四边形ABCD中,以对角线AC为直径的☉O分别交BC,CD于点M,N.若AB=13,BC=14,CM=9,则MN的长度为________.

【解析】连接AM,AN,

∵AC是☉O的直径,

∴∠AMC=90°,∠ANC=90°,

∵AB=13,BM=BC-CM=5,

∴AM==12,

∵CM=9,

∴AC==15,

∵∠MCA=∠MNA,

∠MCA=∠CAD,

∴∠MNA=∠CAD,

∵∠AMN=∠ACN,

∴△NMA∽△ACD,

∴AM∶MN=DC∶CA,

∴12∶MN=13∶15,

∴MN=.

答案:

24.(2016·河南中考)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,以点A为圆心,OA的长为半径作交于点C,若OA=2,则阴影部分的面积为________.

【解析】连接OC,AC,由题意得,OA=OC=AC=2,

∴△AOC为等边三角形,∠BOC=30°,

∴扇形COB的面积为:=π,

△AOC的面积为:×2×=,

扇形AOC的面积为:=,

则阴影部分的面积为:π+-=-π.

答案:-π

三、解答题(本大题共5个小题,满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)

25.(8分)已知:如图,在☉O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为点E,如果∠BAD=

30°,且BE=2,求弦CD的长.

【解析】连接OD,设☉O的半径为r,则OE=r-2,

∵∠BAD=30°,

∴∠DOE=60°,

∵CD⊥AB,

∴CD=2DE,∠ODE=30°,

∴OD=2OE,即r=2(r-2),解得r=4;

∴OE=4-2=2,

∴DE===2,

∴CD=2DE=4.

26.(8分)(2017·曹县二模)如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,PC切☉O于点C,AE⊥PC交PC的延长线于点E,AE交☉O于点D,PC与AB的延长线相交于点P,连接AC,BC.

(1)求证:AC平分∠BAD.

(2)若PB∶PC=1∶2,PB=4,求AB的长.

【解析】(1)如图所示:连接OC.

因为PC是☉O的切线,所以OC⊥EP.

又因为AE⊥PC,所以AE∥OC,所以∠EAC=∠ACO.

又因为∠ACO=∠OAC,所以∠EAC=∠OAC.

所以AC平分∠BAD.

(2)因为AB是☉O的直径,所以∠ACB=90°,

所以∠BAC+∠ABC=90°.

因为OB=OC,所以∠OCB=∠ABC.

因为∠PCB+∠OCB=90°,所以∠PCB=∠PAC.

因为∠P=∠P,所以△PCA∽△PBC,

所以=,所以PA==16.

所以AB=PA-PB=16-4=12.

27.(10分)(2017·威海模拟)如图,已知AB是☉O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD⊥EF于点D,∠DAC=∠BAC.

(1)求证:EF是☉O的切线.

(2)求证:AC2=AD·AB.

(3)若☉O的半径为2,∠ACD=30°,求图中阴影部分的面积.

【解析】(1)连接OC,

因为OA=OC,所以∠BAC=∠OCA,

因为∠DAC=∠BAC,所以∠OCA=∠DAC,所以OC∥AD,

因为AD⊥EF,所以OC⊥EF,

因为OC为半径,所以EF是☉O的切线.

(2)连接BC,

因为AB为☉O直径,AD⊥EF,所以∠BCA=∠ADC=90°,

因为∠DAC=∠BAC,所以△ACB∽△ADC,所以=,

所以AC2=AD·AB.

(3)因为∠ACD=30°,∠ADC=90°,

所以∠CAD=∠OCA=60°,所以△AOC为等边三角形,

所以AC=OC=OA=2,在Rt△ACD中,∠ACD=30°,

所以AD=AC=1,根据勾股定理得:CD=.

所以S阴影=S△ACD-(S扇形AOC-S△AOC)=×1×-=-.

28.(10分)(2016·江西中考)如图,AB是☉O的直径,点P是弦AC上一动点(不与

A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交于点F,交过点C的切线于点D.

(1)求证:DC=DP.

(2)若∠CAB=30°,当F是的中点时,判断以A,O,C,F为顶点的四边形是什么特殊四边形?说明理由.

【解析】(1)如图1

连接OC,∵CD是☉O的切线,

∴OC⊥CD, ∴∠OCD=90°,

∴∠DCA=90°-∠OCA .

又PE⊥AB,点D在EP的延长线上,

∴∠DEA=90°,

∴∠DPC=∠APE=90°-∠OAC.

∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.

∴∠DCA=∠DPC,

∴DC=DP.

(2)如图2,四边形AOCF是菱形.

连接CF,AF,

∵F是的中点,

∴=,

∴AF=FC.

∵∠BAC=30°,∴∠BOC=60°,

又∵AB是☉O的直径,=

∴∠AOC=120°,

∠ACF=∠FAC=30°,

∵OA=OC,∴∠OCA=∠BAC=30°.

∴△OAC≌△FAC(ASA).

∴AF=OA.

∴AF=FC=OC=OA,

∴四边形AOCF是菱形.

29.(12分)如图,已知AB为☉O的直径,F为☉O上一点,AC平分∠BAF且交☉O于点C,过点C作CD⊥AF于点D,延长AB,DC交于点E,连接BC,CF.

(1)求证:CD是☉O的切线.

(2)若AD=6,DE=8,求BE的长.

(3)求证:AF+2DF=AB.

【解析】(1)连接OC,

∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,

∵CD⊥AF,∴∠D=90°,

∴∠ACB=∠D,

∵AC平分∠BAF,∴∠BAC=∠CAD,

∴△ABC∽△ACD,∴∠ABC=∠ACD,

∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,

∴∠OCB=∠ACD,

∴∠ACO+∠ACD=∠OCB+∠ACO=90°, ∴∠OCD=90°,

∴CD是☉O的切线.

(2)∵AD=6,DE=8,

∴AE==10,

∵∠OCE=∠ADE,∠E=∠E,

∴△OCE∽△ADE,