最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕
习题二包括题目：P36页5（1）（4）
5（4）
习题三
包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1)
1(1)(2)的解如下
3题的解如下
5,6题
14题解如下
14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T
-处的牛顿方向。
解：已知 (1)
(4,6)T x
=-，由题意得
121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----??
?= ?+++-----??
∴ (1)1344()56g f x -??
=?=
???
21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------?
??= ?
+--------+--??
∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --??
=?=
?-??
(1)1
1/8007/400()7/4001/200G x --??
= ?--??
∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -??
=-=
?-??
15（1）解如下
15. 用DFP 方法求下列问题的极小点
（1）22
121212min 353x x x x x x ++++
解：取 (0)
(1,1)T x
=，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同
2112352()156x x f x x x ++???= ?++??， (0)(1,1)T x =，(0)
10()12f x ???= ???
(1)0.07800.2936x -??= ?-??， (1)
1.3760() 1.1516f x ???= ?-??
以下作第二次迭代
(1)(0)
1 1.07801.2936x x
δ-??=-= ?-??， (1)(0)
18.6240()()13.1516f x f x γ-??=?-?= ?-??
0110
111011101
T T T T
H H H H H γγδδδγγγ=+-
其中，111011126.3096,247.3380T T T
H δγγγγγ===
11 1.1621 1.39451.3945 1.6734T δδ??= ??? ， 01101174.3734113.4194113.4194172.9646T T
H H γγγγ??
== ???
所以
10.74350.40560.40560.3643H -??= ?-??
(1)(1)1 1.4901()0.9776d H f x -??=-?= ???
令 (2)
(1)
(1)
1x
x d α=+ ， 利用 (1)(1)()
0df x d d αα
+=，求得 10.5727α=-
所以 (2)(1)(1)0.77540.57270.8535x x d ??=-= ?-?? ， (2)
0.2833()0.244f x ???= ?-??
以下作第三次迭代
(2)
(1)
20.85340.5599x
x δ??=-= ?-?? ， (2)(1)
2 1.0927()()0.9076f x f x γ-??=?-?= ???
22 1.4407T δγ=- ， 212 1.9922T H γγ=
220.7283
0.47780.4778
0.3135T δδ-??
=
?-??
1221 1.39360.91350.91350.5988T H H γγ-??
= ?-??
所以
22122121222120.46150.38460.38460.1539T T T T H H H H H δδγγδγγγ-??
=+-= ?-??
(2)(2)20.2246()0.1465d H f x ??
=-?= ?-??
令 (3)
(2)
(2)
2x
x
d
α=+ ， 利用
(2)(2)()
0df x d d αα
+=，求得 21α= 所以 (3)(2)(2)11x x d ??=+=
?
-??
， 因为 (3)
()0f x ?=，于是停止 (3)(1,1)T x =-即为最优解。
习题四
包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做 3题解如下
3.考虑问题21),(2)(min 21x x x f s
x x -=∈，其中
{}{
}
.10,1),(1),(21212
22121≤≤≤≤+=x x x x x x x x S T T
（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；
（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；
（3）分别对点,)1,0(,)0,0(,)1,1(,)0,1(4
3
2
1
T
T
T
T
x x x x -==-==指出哪些约束是紧约束和松约束。 解：（1）如图所示，此问题的可行域是以O 点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x 2=2x 1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。
（2）要求f 的最小值，即求出这一系列平行线中与x 2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。如图求出切点??
? ??-
51,52P ，此点即为最优解T
x )5
1,52(-
=*，解得最优值5-=*f
（3）对于区间集S 可以简化为g 1:012
22
1≥--x x
g 2:02≥-x
对于点T
x )0,1(1
=，g 1和g 2均为该点处的紧约束； 对于点T
x )1,1(2
-=，g 1和g 2均为该点处的松约束；
P
O 1
x 1
x 2
x 2=2x 1
x
1
1/2
虚线1
对于点T
x )0,0(3=，g 1为该点的松约束，g 2为该点的紧约束； 对于点T
x )1,0(4-=，g 1为该点的紧约束，g 2为该点的松约束。
4题解如下
4.试写出下列问题的K-T 条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解： （1）()();12min 2
22
1-+-x x
. 012
221≥--x x （2）()();12min 2
22
1-+-x x
. 092
221≥--x x
（1）解：非线性规划的K-T 条件如下：
022********=???? ?
?---???? ??--x x x x λ （1）
0)1(2
221=--x x λ （2）
0≥λ （3）
再加上约束条件 012
22
1≥--x x （4） 为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即012
22
1>--x x ，那么由（2）式得0=λ，将0=λ代入（1）式解得21=x ，12=x ，所得值不满足012
22
1>--x x 的条件，故舍去。
②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得121+=
λx ，1
1
2+=λx ，代入（4）式有： 111122
2
=??
?
??++??? ??+λλ 解得5151--+-=或λ 因为0≥λ，所以51+-=λ，那么521=
x ，5
12=x ，满足以上所有条件。 综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T 点为：
T x )5
1,52(
=* (2)解：非线性规划的K-T 条件如下：
022********=???? ?
?---???? ??--x x x x λ （1）
0)9(2
221=--x x λ （2）
0≥λ （3）
再加上约束条件092
22
1≥--x x （4） 为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即092
22
1>--x x ，那么由（2）式得0=λ，将0=λ代入（1）式解得21=x ，12=x ，所得值满足以上所有约束。
②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得121+=
λx ，1
1
2+=λx ，代入（4）式有： 9111222
=?
?
?
??++??? ??+λλ 解得351±-=λ 因为0≥λ，所以所得λ值均舍去，该情况不成立。
综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T 点为：
T x )1,2(=*
8题解如下 8 考虑问题
Min x12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3 . X1+x2+x3=2 （1） -x1+2x2≤3 （2） X1,x2,x3≥0 （3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.
解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T 。根据可行方向d 的定义，应存在a>0，使对?t ∈（0，a ）能有 X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T 也能满足所有有效约束：
(1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2 td3≥0 经整理即为
d1+d2+d3=0 d3≥0
满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T 均为可行方向。现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解d1+d2=-d3
得d1+d2=-1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向 d=（1，-2，1）T 考虑下降性
由题可知：将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C 从而 ▽f=QX+b 即
2101614022000312x f x x -??????
???????= +-??????
?????? -??????
▽f （1,1,0）=（-3,3，-12）
因为 ▽f （1,1,0）Td=-21<0
表明d=（1,-2，1）T 为原问题在x=（1,1,0）T 处的一个下降可行方向
9题解如下
9 用lemke 算法解下列问题： （1）min 2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2 . X1+x2≤2 X1+5x2≤5 X1,x2≥0 解：
4224H -??= ?- ?? ，46c -??= ?-??，1115A ??= ? ??，
25b ??= ??? 于是
00110015114215M - -???? - -?
?=?? -?? -2 4??，2546q ??????=??-??-??，1212y y w v v ??????=??????，1212u u z x x ??
??
??=??????
与本题相应的线性互补问题为：
W-MZ=q W ≥0,Z ≥0 WTZ=0 W1 1 W2 2 W3 3 W4 4 Z1 5 Z2 6 Z3 7 Z4 8 q di0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 0 1 5 5 0 0 1 0 -1 -1 -4 2 -4 0 0 0 1 -1
-5
2 -4 -6 W1 1
W2 2
W3 3
W4 4
Z1 5
Z2 6
Z3 7
Z4 8
W0 9
q di0
1 0 0 0 0 0 1 1 -1
2 0 1 0 0 0 0 1 5 -1 5 0 0
1
-1
-1
-4
2
-1
-4
0 0 0 1 -1 -5 2 -4 -1 -6
JBi W1
1
W2
2
W3
3
W4
4
Z1
5
Z2
6
Z3
7
Z4
8
W0
9
q
di0
1 1 0 0 -1 1 5 -1 5 0 8
2 0 1 0 -1 1 5 -1 9 0 11
3 0 0 1 -1 0
4 -6 6 0 2
9 0 0 0 -1 1 5 -2 4 1 6
由上表可看出仅w4，z4这一对变量全部不是基变量，因此从它们之中选一个进基，由于第一次碰到这一对变量，故选z4进基.在所选列中，有
Min {8/5,11/9,2/6,6/4}=2/6
故选相应的第3行第8列元素作主元，再进行旋转，得
JBi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 di0
1 1 0 -5/6 -1/6 1 10/6 4 0 0 38/6
2 0 1 -9/6 3/6 1 -1 8 0 0 8
8 0 0 1/6 -1/6 0 4/6 -1 1 0 2/6
9 0 0 -4/6 -2/6 1 14/6 2 0 1 28/6
由于W0仍在基变量中，故继续运算.由于这时仅有W3，Z3这一对变量全不在基中，故仍在它们之中选一变量进基，由于是第一次从这一对变量选取，故也选Z3进基，再由Min {38/6/4,8/8，28/6/2}=8/8
故选第二行第7列元素作主元，进行旋转，得
JBi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 di0 1 1 -1/2 -1/12 -5/12 1/2 13/6 0 0 0 7/3
7 0 1/8 -3/16 1/16 1/8 -1/8 1 0 0 1
8 0 1/8 -1/48 -5/48 1/8 13/24 0 1 0 4/3
9 0 -1/4 -7/24 -11/24 3/4 31/12 0 0 1 8/3
再继续，得
JBi y1
1
y2
2
V1
3
V2
4
u1
5
u2
6
X1
7
X2
8
W0
9 di0
1 1 -9/31 49/6
2 -1/31 -4/31 0 0 0 -26/31 -208/93
7 0 7/62 -59/248 5/124 5/31 0 1 0 3/62 35/31
8 0 11/62 -147/744 -3/372 9/124 0 0 1 -13/62 24/31 6 0 -3/31 -25/62 -11/62 9/31 1 0 0 12/31 32/31
在上表中W0已被置换出基，即得到了相应线性互补问题的解，也就是所求二次规划的最优解：y1=-208/93，x1=35/31，x2=24/31，u2=32/31，y2=v2=v2=u1=0,即x*=（35/31,24/31）T
12题解如下
12.(1）外点法min =)(f x 2
22
1x x + . 11≥x 解： 定义惩罚函数 F( )(){}[]2122211,0max ,--++=x x x x σσ
=
2
221x x + 当 11≥x
()2
12
2211-++x x x σ 当11 用解析法求解 min F(σ,x ),有 = ??1x F 12x 当11≥x ()11221x x σ+- 当11 22 2x x F =?? 令 01=??x F ，02 =??x F 得到 = *σx ( )2 1,x x T ?? ? ??+=0,1σσ T 易见，当+∞→σ时，()0,1=→* *x x σT *x 恰为所求费线性规划的最优解。 13题解如下 13.（2）内点法 22 12 121min ..22010 x x s t x x x ++-≤-+≤ 解：定义障碍函数 ()221212111,221k k G x r x x r x x x ??=++-- ?+--+?? 用解析法求解()int min ,k x D G x r ∈令 ()()1221121220221k k r r F x x x x x ?=+-=?+--+ () 222122022k r F x x x x ?=+=?+- 解得 ()12,rk x x x ==（0,1） 当rk 0k r x →→=时，x （0,1），x 确为最优解。 习题五 包括题目：P108页 5；10 5题解如下 5. 试求2222 1212min ,(1)(1)T x x x x ??+-+-??的有效解集 解：用线性加权和法构造评价函数 ()f x ????? ，令22 112f x x =+，()()2 2 21211f x x =-+-；令()()12,T f x f f =，()12,T λλλ=，且[]12,0,1λλ∈， 或()12,0,1λλ∈ 则()()1122T f x f x f f ?λλλ==+???? 原问题转化为求()min f x ????? ()()()()112222 2211221222122122 ()112()2T f x f x f f x x x x x x x x ?λλλλλλλ==+???? ??=++-+-?? =+-++ 对()f x ?????求导可得： ()()()()12121 12222 ,2201,2202x x x x x x x x ?λ?λ? =-=?? =-=? 由式(1)(2)可解得：12 22 x x λλ=?? =? 即122x x λ==， 又已知[]20,1λ∈，或()20,1λ∈ 所以 有效解集为 (){}1 2 1 21,,01x x x x x =≤≤或 (){}12121,,01x x x x x =<< 10题解如下 10. 用线性加权和法求解： ()()()222 123222123123123min 123min 23..:6 ,,0 x x x x x x s t x x x x x x -+-+-++++-≥ 权系数取 120.36,0.64u u == 解：构造函数 ()()T f x u f x ?=???? ，令()()()222 1123123f x x x =-+-+-，222212323f x x x =++，()12,T u u u =，()12,T f f f =； 原求解问题转化成求解 ()min f x ????? ()()()()()1122222 2221231232221231230.3610.3620.3630.640.6420.6431.64 2.280.72 1.44 2.16 5.04 T f x u f x u f u f x x x x x x x x x x x x ?==+???? =-+-+-++?+?=++---+ 构造拉格朗日函数L 求解 ()min f x ?????，则如下 ()()()123123,,,6L x x x f x x x x λ?λ=-++-????，λ为拉格朗日乘子 对L 函数求导得： ()()()()12311 12322 12333 123123,,,20.720(1) ,,, 3.28 1.440(2),,, 4.56 2.160(3),,,60(4) L x x x x x L x x x x x L x x x x x L x x x x x x λλλλλλλλ ? =--=?? =--=?? =--=?? =++-=? 由(1)(2)(3)式分别得： 1230.360.50.4390.3050.4740.219x x x λλλ =+=+=+ 代入(4)式得： 4.616λ= 将 4.616λ=代入(1)(2)(3)式, ∴可得：123 2.671.841.48x x x =?? =??=? ∴有效解为123(,,)(2.67,1.84,1.48)T T x x x =, 把有效解(2.67,1.84,1.48)T 代入1f ，2f 得， 目标值为： ()()()2 2 2 1min 2.671 1.842 1.483 5.13f =-+-+-= 2222min 2.672 1.843 1.4820.47f =+?+?= 习题六 包括题目：P130页包括题目4；5；6；7 4,5题解如下 6,7题解如下 第六题答案 1.与v 1点相邻接的顶点有v 2、v 3两点，l 2=1，l 3=2，取Min{l 2、l 3}=1，于是连接v 1、v 2两点，令顶点集S={v 1、v 2}；图示如下： 2.与S={v 1、v 2}相邻接的顶点有v 3、v 4、v 5三点，l 5=l 2+d 25=1+3=4，l 4=l 2+d 24=1+3=4， Min{l 2+d 23、l 3}=1，取Min{l 3、l 4、l 5}=1，于是连接v 1、v 3两点，令顶点集S={v 1、v 2、v 3}；图示如下： 3.与S={v 1、v 2、v 3}相邻接的点有v 4、v 5、v 7三点，l 5=l 2+d 25=1+3=4，l 4=l 2+d 24=1+3=4， l 7=l 3+d 37=2+8=10，取Min{l 4、l 5、l 7}=4,于是连接v 2、v 4、v 5三点，令顶点集S={v 1、v 2、v 3、v 4、v 5}；图示如下： 4.与S={v 1、v 2、v 3、v 4、v 5}相邻接的点有v 6、v 7两点，l 6=Min {l 5+d 56、l 4+d 46}=6，l 7=min{ l 3+d 37、l 4+d 47、l 5+d 57}=7，取min={ l 6、l 7}=6，于是连接v 4、v 6两点，令顶点集S={v 1、v 2、v 3、v 4、v 5、v 6}；图示如下： 5.与S={v 1、v 2、v 3、v 456相邻接的点有v 78l 7=min{337、l 4+d 47、l 5+d 57、 l 6+d 67}=7，l 8=l 6+d 68=11，min={ l 7、l 8}=7，于是连接v 5、v 7和v 6、v 7这两组点，令顶点集S={v 1、v 2、V 1 V 2 V V 1 V 2 3V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 v 3、v 4、v 5、v 6、v 7}；图示如下 6.与S={v 1、v 2、v 3、v 4、v 5、v 6、v 7}相邻接的点有v 8，l 7= l 5+d 57=l 6+d 67，连接v 7、v 8两点，得到l 8=10，如图所示： 从图上可以看出从v 1到v 8的最短路有两条，一条是： 另一条是： 这两条路径均是最短路，最短路的长度是10. V 1 V 2 V 5 V 7 V 8 V 2 V 4 V 6 V 7 V 8 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 1 第七题答案 人选一个初始方案，如下图所示： 通过分析，我们发现有的链并未饱和，即没有达到最大流，通过寻找增广链的方法来求最大流，增广链有 将增广链与初始方案结合后即可得到最大流为9，最大流方案如下图所示： 第一章 误差 1. 试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差. 解: 例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式2 4A r π=计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生 的误差即为模型误差. 在计算过程中,要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值: 12 222...q q π=? ?? 其中 11 2,3,... n q q n +?=?? ==?? 我们取前9项的乘积作为π的近似值,得 3.141587725...π≈ 这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差. 2. 按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字: 816.956 7 6.000 015 17.322 50 1.235 651 93.182 13 0.015 236 23 解: 816.96 6.000 0 17.323 1.235 7 93.182 0.015 236 3. 下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字? 81.897 0.008 13 6.320 05 0.180 0 解: 五位 三位 六位 四位 4. 若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字? 解: 两位 5. 若 1.1062,0.947a b ==,是经过舍入后得到的近似值,问:,a b a b +?各有几位有效数字? 解: 已知4311 d 10,d 1022 a b -- 2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于 《最优化方法》复习题(含答案) 附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+， 南京邮电大学2010－2011学年研究生最优化方法试题 学号 姓名 得分 一、（3％×8） （1）线性规划 ,0 153 22 ..3 min 2121212 1≤≥-=--≤+-x x x x x x t s x x 的对偶规划为 自由变量 2121212 1 ,0 15 33 2 ..2-ax y y y y y y t s y y m ≤-≥-≤+-。 （2）在三维空间3 R 中，集合},1|),,{(222z x y z y x z y x +≥≤++的极点构成的集合为 },1|),,{(222z x y z y x z y x +≥=++ 。 （3）用黄金分割法求解某个函数在区间[-1,3]上的极小点，若要求缩短后的区间的长度不大于原始区间的0.08，则需要迭代的次数为 6 （4）函数65722),,(321212 32221321++--+++=x x x x ax x x x x x x f 为严格凸函数，则 常数a 的取值范围是 ||a （8）用内罚函数法（对数罚函数）求解0 x 01 .. min 212221≥≤-+x t s x x ，其增广目标函数为 212 221ln )1ln(x r x r x x ---+ 二、（10％）()f x 为凸集n D R ?上的函数，令(){(,)|,,()}epi f x y x D y R y f x =∈∈≥，证明()f x 为凸函数的充要条件是()epi f 为凸集。 证明：? 任意取两点)(),(),,(2211f epi y x y x ∈，其中,,21D x x ∈,,21R y y ∈,)(11x f y ≥ )(22x f y ≥。R D , 为凸集，R y y D x x ∈-+∈-+∴2121)1(,)1(αααα。)(x f 为凸函数，212121)1()()1()())1((y y x f x f x x f αααααα-+≤-+≤-+∴，,)1((21x x αα-+ ),())1(21f epi y y ∈-+αα)(f epi ∴为凸集。（5分） ? 任取,,21D x x ∈令),(),(2211x f y x f y ==)(),(),,(2211f epi y x y x ∈∴。)(f epi 为凸集，=-+),)(1(),(2211y x y x αα ,)1((21x x αα-+)())1(21f epi y y ∈-+αα，)()1()()1())1((212121x f x f y y x x f αααααα-+=-+≤-+∴为凸函数。由凸函数定义知，)(x f ∴（5分） 三、（10％）设G 为n 阶正定对称矩阵，12,, ,n n u u u R ∈线性无关。k p 按如下方式生成： 《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称 习题二包括题目：P36页5（1）（4） 5（4） 习题三 包括题目：P61页1(1)(2); 3; 5; 6; 14；15(1) 1(1)(2)的解如下 3题的解如下 5,6题 14题解如下 14. 设22121212()(6)(233)f x x x x x x x =+++---, 求点在(4,6)T -处的牛顿方向。 解：已知 (1) (4,6)T x =-，由题意得 121212212121212(6)2(233)(3)()2(6)2(233)(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +++-----?? ?= ?+++-----?? ∴ (1)1344()56g f x -?? =?= ??? 21212122211212122(3)22(3)(3)2(233)()22(3)(3)2(233)22(3)x x x x x x x f x x x x x x x x +--+--------? ??= ? +--------+--?? ∴ (1)2(1)1656()()564G x f x --?? =?= ?-?? (1)1 1/8007/400()7/4001/200G x --?? = ?--?? ∴ (1)(1)11141/100()574/100d G x g -?? =-= ?-?? 15（1）解如下 15. 用DFP 方法求下列问题的极小点 （1）22 121212min 353x x x x x x ++++ 解：取 (0) (1,1)T x =，0H I =时，DFP 法的第一步与最速下降法相同 2112352()156x x f x x x ++???= ?++??， (0)(1,1)T x =，(0) 10()12f x ???= ??? (1)0.07800.2936x -??= ?-??， (1) 1.3760() 1.1516f x ???= ?-?? 以下作第二次迭代 (1)(0) 1 1.07801.2936x x δ-??=-= ?-??， (1)(0) 18.6240()()13.1516f x f x γ-??=?-?= ?-?? 0110 111011101 T T T T H H H H H γγδδδγγγ=+- 《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。 《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题 ()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。 天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的 严格局部最优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍 属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法，则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √ 15 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式 练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.*x=–1 2.0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限 ≤ 4 10 2 1 - ? 。( ) 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。( ) 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。( ) 4. 用 2 12x -近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 5. 3.14和3.142作为π的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1. 为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ； 2. *x =–0.003457是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限 为 ，相对误差限为 ； 3. 误差的来源是 ； 4. 截断误差为 ； 5. 设计算法应遵循的原则 是 。 三、选择题 1．*x =–0.026900作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s *=21 g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是 在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．1.41300作为2的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。 四、计算题 1． 3.142，3.141，22 7分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+?+x dt t x x (3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x 4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21 g t 2，g 为重力加速度。现设g 是精确的，而对t 有0.1±秒的测量误差，证明：当t 增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=? ∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为 最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(* x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称* x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈* . 则对D x ∈?，有 ).()()()(* **-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 作用： ①仿真的过程也是实验的过程，而且还是系统地收集和积累信息的过程。尤其是对一些复杂的随机问题，应用仿真技术是提供所需信息的唯一令人满意的方法。 ②仿真技术有可能对一些难以建立物理模型或数学模型的对象系统，通过仿真模型来顺利地解决预测、分析和评价等系统问题。 ③通过系统仿真，可以把一个复杂的系统化降阶成若干子系统以便于分析，并能指出各子系统之间的各种逻辑关系。 ④通过系统仿真，还能启发新的策略或新思想的产生，或能暴露出在系统中隐藏着的实质性问题。同时，当有新的要素增加到系统中时，仿真可以预先指出系统状态中可能会出现的瓶颈现象或其它的问题。 2.简述两个Wardrop 均衡原理及其适用范围。 答： Wardrop提出的第一原理定义是：在道路的利用者都确切知道网络的交通状态并试图选择最短径路时，网络将会达到平衡状态。在考虑拥挤对行驶时间影响的网络中，当网络达到平衡状态时，每个 OD 对的各条被使用的径路具有相等而且最小的行驶时间；没有被使用的径路的行驶时间大于或等于最小行 驶时间。 Wardrop提出的第二原理是：系统平衡条件下，拥挤的路网上交通流应该按照平均或总的出行成本 最小为依据来分配。 第一原理对应的行为原则是网络出行者各自寻求最小的个人出行成本，而第二原理对应的行为原则是网络的总出行成本最小。 3.系统协调的特点。 答： （1）各子系统之间既涉及合作行为，又涉及到竞争行为。 （2）各子系统之间相互作用构成一个反馈控制系统，通过信息作为“中介”而构成整体 （3）整体系统往往具有多个决策人，构成竞争决策模式。 （4）系统可能存在第三方介入进行协调的可能。 6．对已经建立了概念模型的系统处理方式及其特点、适用范围。答：对系统概念模型有三种解决方式。 1.建立解析模型方式 对简单系统问题，如物流系统库存、城市公交离线调度方案的确定、交通量不大的城市交叉口交通控制等问题，可以运用专业知识建立系统的量化模型（如解析数学模型），然后采用优化方法确定系统解决方案，以满足决策者决策的需要，有关该方面的内容见第四、五章。 在三种方式中，解析模型是最科学的，但仅限于简单交通运输系统问题，或仅是在实际工程中一定的情况下（仅以一定的概率）符合。所以在教科书上很多漂亮的解析模型，无法应用于工程实际中。 2.建立模拟仿真模型方式 对一般复杂系统，如城市轨道交通调度系统、机场调度系统、城市整个交通控制系统等问题，可以对系统概念模型中各个部件等采用变量予以量化表示，并通过系统辨识的方式建立这些变量之间关系的动力学方程组，采用一定的编程语言、仿真技术使其转化为系统仿真模型，通过模拟仿真寻找较满意的优化方案，包括离线和在线均可以，有关该方面的内容见第七章。 模拟仿真模型比解析模型更能反映系统的实际，所以在交通运输系统中被更高层次的所使用，包括 数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 1122k k k k k k x a x x x x +-??=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ? ?+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为00678.07 .20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 2102 1 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 一、 选择、判断、填空（10小题，每题2分，共20分） 1、线性规划问题化为标准型以后，原来的某自由变量被两个非负变量之差代替，在完成一次单纯形法迭代过程后，这两个非负变量的值_______________。 A 、可同时不为0； B 、必然同时为0； C 、最多只能有一个不为0； D 、必然同时不为0。 2、关于线性规划，以下叙述正确的是________。 A 、若存在最优化解，则一定是最优基本可行解； B 、若存在最优基本可行解，则其对偶问题也必存在最优解； C 、若无可行解，则对偶问题一定有无界解； D 、若存在最优解，则必存在最优基本可行解。 3、关于P 类问题、NP 类问题和P 类算法、NP 类算法，以下正确的叙述是______________。 A 、存在P 类算法的判定问题不一定是P 类问题；B 、线性规划问题的单纯形算法不是P 类算法，所以线性规划问题是NP 类问题；C 、NP 类问题包含P 类问题；D 、P 类问题与NP 类问题是互相对立的两类问题。 ***第4-6小题：判断正误，正确的填“√”，错误的填“╳”，填在括号内*** 4、用模拟退火算法求出的组合优化问题的解一定是最优解（ ）。 5、对于有约束非线性规划问题，目标函数的极值点一定是K-T 点（ ）。 6、已知LP 为求最小值问题，第i 个约束是“≤”约束，则对偶问题的第i 个对偶变量y i ≤0 7、若x (0)和y (0)分别是线性规划问题min{z =c T x | Ax ≥b , x ≥0}和其对偶问题的可行解，则x (0)和y (0)的关系是____________________（两者目标函数在x (0)和y (0)处值的关系）。 8、设x i 是某线性规划问题的一个决策变量，在单纯形法某次迭代后，若它的检验数不为零，则x i 是________变量。 9、使用黄金分割法和抛物线法进行一维搜索（设目标函数为 min f (x ) ）之前，必须首先找到三点，x 1、x 2和x 3，这三点应满足的条件为____________________________________。 10、用牛顿法求解约束优化问题min f (x )的x (1)（假设f (x )在x (1)）二阶光滑，且Hasse 矩阵正定）处的牛顿方向是_____________________________。 二、（（12分））考虑如下线性规划问题 123123123123m in 4.. 29240,1,2,3 i Z x x x s t x x x x x x x x x x i =++++≤+-≤-++≤≥= 令54,x x 和6x 表示每个约束的松弛变量．应用单纯形方法，得到最优单纯形表如下 经济预测与决策 考试形式：闭卷考试时量：150分钟总分：100分 一．单选题1*15=15分 1.经济预测的第一步是（）A A.确定预测目的，制定计划 B.搜集审核资料 C.建立预测模型 D.评价预测成果 2.对一年以上五年以下的经济发展前景的预测称为（）B A.长期经济预测 B.中期经济预测 C.短期经济预测 D.近期经济预测 3.（）回归模型中，因变量与自变量的关系是呈直线型的。C A.多元 B.非线性 C.线性 D.虚拟变量 4.以下哪种检验方法的零假设为：B1=B2=…=Bm=0？B A.r检验 B.F检验 C.t检验 D.DW检验 5.以数年为周期，涨落相间的波浪式起伏变动称为（）D A.长期趋势 B.季节变动 C.不规则变动 D.循环变动 6. 一组数据中出现次数最多的变量值，称为（）A A.众数 B.中位数 C.算术平均数 D.调和平均数 7. 通过一组专家共同开会讨论，进行信息交流和相互启发，从而诱发专家们发挥其创造性思维，促进他们产生“思维共振”，达到相互补充并产生“组合效应”的预测方法为（）A A.头脑风暴法 B.德尔菲法 C.PERT预测法 D.趋势判断预测法 8.（）起源于英国生物学家高尔登对人类身高的研究。B A.定性预测法 B.回归分析法 C.马尔科夫预测法 D.判别分析预测法 9.抽样调查的特点不包括（）D A.经济性 B.时效性 C.适应性 D.全面性 10.下图是哪种多项式增长曲线（）B A.常数多项式 B.一次多项式 C.二次多项式 D.三次多项式 11.根据历年各月的历史资料，逐期计算环比加以平均，求出季节指数进行预测的方法称为（）C A.平均数趋势整理法 B.趋势比率法 C.环比法 D.温特斯法 12.经济决策按照目标的性质和行动时间的不同，分为（）D A.宏观经济决策和微观经济决策 B.高层、中层和基层决策 C.定性决策和定量决策 D.战术决策和战略决策 13.（）是从最好情况出发，带有一定冒险性质，反映了决策者冒进乐观的态度。B A.最大最小决策准则 B.最大最大决策准则 C.最小最小后悔值决策准则 D.等概率决策准则 14.如果某企业规模小，技术装备不良，担负不起较大的经济风险，则该企业应采用（）A 最优化理论、方法及应用试题 一、 （30分） 1、针对二次函数1()2 T T f x x Q x b x c =++，其中 Q 是正定矩阵，试写出最速下降 算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？ 答：求解目标函数的梯度为()g x Qx b =+，()k k k g g x Q x b ==+，搜索方向：从k x 出发，沿k g -作直线搜索以确定1k x +。 Step1: 选定0x ,计算00,f g Step2: 做一维搜索, ()1min k k k t f f x t g +=-,1k k k x x tg +=-. Step3：判别，若满足精度要求，则停止；否则，置k=k+1,转步2。 优缺点：最速下降法在初始点收敛快，算法简单，在最优点附近有锯齿现象，收敛速度慢。 2、有约束优化问题 m in ()()0,1,2,,.. ()0,1,2,,i j f x g x i m s t h x j l ≥=???==?? 最优解的必要条件是什么？ 答：假设*x 是极小值点。必要条件是f ，g ，h 函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度(*)(1,2,,)i h x i l ?= 和(*)(1,2,,)j g x j m ?= 线性无关，则 存在****** 12 12,,,,,,,,l m αααβββ 使得 ()1 1* * * * * * 1 212* * (*)*(*)*(*)0 *(*)0,1,2,,,,,,,,,0 0,0 l m i i j j i i j j l m i j f x h x g x g x j m α β βα ααβββαβ==?- ?- ?===≠>≥∑∑ 3、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？ 答：起作用约束：若0()0j g x =，这时点0x 处于该约束条件形成的可行域边界上，它对0x 的摄动起到某种限制作用。 可行方向：0x 是可行点，某方向p ，若存在实数00λ>，使得它对任意 《计算方法》习题 习题一 1． 设85.9,64.3,23.1321===x x x 均准确到末位数字，试估计由这些数据计算 321x x x +的相对误差。 ??? ? ??? ??-=??????? ????????? ? ?----4170212153222352 32 31 4321x x x x 4． 用追赶法解方程组计算方法引论课后答案.
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