人教版八年级下册数学 20.1 数据的集中趋势 教案

20.1数据的集中趋势 教案

一、学习目标

1. 掌握平均数、中位数、众数的概念，会求一组数据的平均数、中位数、众数。

2. 在加权平均数中，知道权的差异对平均数的影响，并能用加权平均数解释现实生活中一些简单的现象。

3. 了解平均数、中位数、众数的差别，初步体会它们在不同情境中的应用。

二、重点、难点：

重点：体会平均数、中位数、众数在具体情境中的意义和应用。 难点：平均数、中位数、众数在不同情境中的应用。

三、考点分析：

“数据的分析”主要研究如何收集、整理、计算、分析数据，既定性又定量地获取总体信息，并在这个基础上进行科学的推断．本单元主要内容分为两大部分：一部分是反映数据集中趋势的平均数、中位数、众数；另一部分是反映数据离散程度的极差、方差。基本要求是体会统计对决策的作用及其在社会生活及科学领域中的应用．

这部分知识在近几年的中考命题中多次出现，用统计的思想解决一些应用问题，已成为命题的焦点。

一、平均数

用一组数据的和除以这组数据的个数，所得的结果叫这组数据的平均数，也叫算术平均数。 要点诠释：

计算平均数的方法有三种：

（1）定义法：如果有n 个数据x 1，x 2，x 3……x n ，那么)(1

21n x x x n

x +++=

ΛΛ叫做这n 个数据x 1，

x 2，x 3……x n 的平均数，x 读作“

拔”。

（2）新数法：当给出的一组数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化平均数公式a x x +'=，其中a 取接近于这组数据平均数的较“整”的数。

（3）加权法：即当x 1出现f 1次，当x 2出现f 2次……当x n 出现f n 次，则可根据公式：

n

n

n f f f x f x f x f x ++++++=

K K 212211求出x 。

注意：平均数的大小与一组数据中的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．

二、中位数

将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。

要点诠释：

一组数据中的中位数是唯一的。如：一组数据1，3，2，5，4，首先按由小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5，因为数字3处于中间位置，所以这组数据的中位数是3。而另一组数据1，3，2，5，4，6，同样按由小到大的顺序排列为：1，2，3，4，5，6，因为数据的个数是偶数，所以中间两个数据3，4的平均数3.5为这组数据的中位数。

三、众数

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 要点诠释：

（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据，是该组数据中的原始数据，而不是相应的次数；

（2）如果一组数据中两个数据出现的次数相等且都最多，则这两个数据都是众数，众数可以有多个，如：一组数据1，2，2，3，3，4，5，这里2和3都出现了两次，次数最多，它们都是众数；

（3）如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数，如：一组数据1，2，3，4，5，则这组数据没有众数。

四、平均数、中位数和众数的关系

平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量。平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太大或太小，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数较合适。中位数与数据排列有关，个别数据的波动对中位数没影响；当一组数据中有不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。

知识点一：平均数

例1. 从一批机器零件中取出10件，称得它们的重量为210，208，198，192，218，182，190，200，205，198，计算它们重量的平均值。

思路分析：

1）题意分析：本题考查了平均数的计算。

2）解题思路：以上数据都在200左右波动，于是，将上面各数据同时减去200可得一组数值10，8，-2，-8，18，-18，-10，0，5，-2，算出其平均值后再加上200即可。

解答过程：将上面各数据同时减去200得一组数值10，8，-2，-8，18，-18，-10，0，5，-2，由x =10

1（10+8-2-8+18-18-10+0+5-2）=0.1

所以x =200+0.1=200.1

解题后的思考：当给出的一组数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化平均数公式a x x +'=，其中a 取接近于这组数据平均数的较“整”的数。这种计算方法可以简化运算，提高解题效率。

例2. 某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100

（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，则谁将被录用，说明理由．

思路分析：

1）题意分析：本题考查了加权平均数的计算。

2）解题思路：（1）根据平均数的定义易求出各人的平均成绩。（2）要求按5∶3∶2的比例确定每人的成绩，需用加权法求平均数，即：n

n

n f f f x f x f x f x ++++++=

K K 212211。

解答过程：（1）甲的平均成绩为：

733

64

7085=++ 乙的平均成绩为：

723

72

7173=++ 丙的平均成绩为：

743

84

6573=++ ∴候选人丙将被录用． （2）甲的测试成绩为：

3.762

352

64370585=++?+?+?

乙的测试成绩为：2.722

352

72371573=++?+?+?

丙的测试成绩为：8.722

352

84365573=++?+?+?

∴候选人甲将被录用．

解题后的思考：要结合实际情况灵活运用加权法求平均数，在各项的重要性不同时，每一项先乘以其权数再相加，最后再除以权数的和。

知识点二：众数与中位数

例3. 公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下（单位：岁）： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57。 解答下列问题（答案直接填在横线上）：

（1）甲群游客的平均年龄是_________岁，中位数是_________岁，众数是_________岁，其中能较好反映甲群游客年龄特征的是____________。

（2）乙群游客的平均年龄是__________岁，中位数是__________岁，众数是__________岁，其中能较好反映乙群游客年龄特征的是____________。

思路分析：

1）题意分析：本题考查了平均数、众数、中位数的概念及特征

2）解题思路：平均数、中位数及众数都是反映数据集中趋势的量，当一组数据的大小均较相近时（如甲群游客），平均数、中位数与众数也较相近；当一组数据中有个别数据特大或特小时（如乙群游客），它就会影响平均数的大小，但不影响中位数、众数，此时可由中位数或众数反映这组数据的集中趋势。

解答过程：（1）平均数为

中位数是15， 众数是15；

平均数、中位数、众数； （2）平均数为

中位数是5.5 众数是6； 中位数、众数。

解题后的思考：平均数的大小与每一个数据都有关，当一组数据中有个别数据太大或太小，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数较合适。中位数与数据排列有关，个别数据不会对中位数有太大影响；当一组数据中有不少数据多次重复出现时，可用众数来描述。

例4. 某公司10销售额（单位：万元） 3 4 5 6 7 8 10 销售员人数（单位：人）

1

3

2

1

1

1

1

（1）求销售额的平均数、众数、中位数；

（2）今年公司为了调动员工积极性，提高了年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元?

思路分析：

1）题意分析：本题考查了平均数、众数、中位数的特征

2）解题思路：（1）平均数、众数、中位数的计算只要根据各自的概念就可得出．（2）平均数易受极大值或极小值的影响，众数有时偏离平均值，而中位数一定处于中间，故应选择中位数．

解答过程：（1）平均数为5.6万元，众数为4万元，中位数为5万元．

（2）若规定平均数5.6万元为标准，则多数销售员无法或不可能超额完成，会挫伤员工积极性，若规定众数4

万元为标准，则绝大多数销售员不必努力就可以超额完成，不利于提高年销售额；若规定中位数5万元为标准，多数销售员能完成或超额完成，少数销售员经过努力也能完成，所以5万元标准较合理．

解题后的思考：对平均数、众数、中位数的概念不清，容易算错；平均数、众数、中位数分别从不同角度描述一组数据的集中趋势，各有侧重，应根据问题的具体情况，恰当地使用平均数、众数、中位数．

例5. 某校在一次考试中

请根据表格提供的信息回答下列问题：

（1）甲班的众数为__________分，乙班的众数为________分，从众数看成绩较好的是__________。

（2）甲班的中位数是_______分，乙班的中位数是________分，甲班成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%，乙班成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_______%，从中位数看成绩较好的是_________。

（3）若成绩在85分以上为优秀，则甲班的优秀率为_______%，乙班的优秀率为_______%，从优秀率看成绩较好的是_________班。

思路分析：

1）题意分析：本题考查了平均数、众数、中位数的特征。

2）解题思路：（1）考查了众数的定义；（2）考查了中位数的定义。

解答过程：（1）根据众数的定义，甲班的众数为90分，乙班的众数为70分，从众数看甲班成绩较好。 （2）据中位数的定义，甲、乙两班的中位数都为80分，甲班成绩在中位数以上的有31人，所占百分比为

?50

31100%=62%，乙班成绩在中位数以上的有27人，所占百分比?5027

100%=54%，从中位数看成绩较好的是甲班。

（3）甲班85分以上有20人，所以优秀率为%40%10050

20

=?；乙班85分以上有24人，所以优秀率为

%48%10050

24

=?。所以从优秀率看乙班成绩较好。 解题后的思考：一组数据中的中位数是唯一的，求中位数之前一定要将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果一组数据的个数为奇数，则排序后最中间的一个数据就是这组数据的中位数，如果一组数据的个数为偶数，那么排列顺序后，最中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

小结：众数、中位数与平均数的异同点

①众数、中位数及平均数都是描述一组数据的集中趋势的量，其中以平均数最为重要，其应用也最为广泛。 ②平均数的大小与一组数据里的每个数均有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的变动。

③众数着眼于对各数据中出现次数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。

（答题时间：60分钟）

1. 李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期．收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱

据调查，今年市场上樱桃的批发价格为每千克15元．用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ）

A. 200千克，3000元

B. 1900千克，28500元

C. 2000千克，30000元

D. 1850千克，27750元

2. 某班派9名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是（单位：千克）：67，59，61，59，63，57，70，59，65，这组数据的众数和中位数分别是（）

A. 59，63

B. 59，61

C. 59，59

D. 57，61

3. 王老师为了了解本班学生的课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．则这10个数据的平均数和众数分别是（）

A. 2.4，2.5

B. 2.4，2

C. 2.5，2.5

D. 2.5，2

4. 在综合实践课上，六名同学制作的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x，6，4；若这组数据的平均数是5件，则这组数据的中位数是____________件．

5. 已知一组整数由大到小排列为：10，10，x，8，它们的中位数与平均数相等，求x的值及这组数据的中位数．

6.

日期1号2号3号4号5号6号7号8号

电表显示（度）117 120 124 129 135 138 142 145 （1）估计李明家六月份的总用电量是多少度；

（2）若每度电的费用是0.5元，估计李明家六月份共付电费多少元？

7. 某地区筹备召开中学运动会，指定从某校八年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求身高一致，现随机抽取10名八年级某班女生体检表（各班女生人数均超过20人），测得身高如下（单位：cm）：165，162，158，157，162，162，154，160，167，155．求这10名学生的平均身高。

8. 对某校八年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后填入下表：

次数分段50~74 75~99 100~124 125~149

人数 5 15 20 10

（1）求参加这次测试的学生人数；

（2）如果一分钟跳绳次数在75次以上（含75次）为达标，请估计该年级学生测试的达标率是多少？

（3）这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在四个小组中的哪一个小组内？请说明理由．

9. 某次歌唱比赛，最后三名选手的成绩统计如下：

比赛项目比赛成绩

王晓丽李真林飞扬

唱功98 95 80

音乐常识80 90 100

综合知识80 90 100

（1）若按算术平均分排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军各是谁?

（2）若按6∶3∶1的加权平均分排出冠军、亚军、季军，则冠军、亚军、季军各是谁?

（3）若最后排名冠军是王晓丽，亚军是李真，季军是林飞扬，则权重可能是多少?

10. 某校为了解全校2000名学生的课外阅读情况，在全校范围内随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，将结果绘制成频数分布直方图（如图所示）．

（1）这50名学生在这一天课外阅读所用时间的众数是多少？

（2）这50名学生在这一天平均每人课外阅读所用的时间是多少？

11. 据报道，某公司的33名职工的月工资如下（单位：元）：

职务 董事长 副董事长

董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资

5500

5000

3500

3230

2730

2200

1500

（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

（2）假设副董事长的工资从5 000元涨到15 000元，董事长的工资从5 500元涨到28 000元，那么新工资的平均数、中位数、众数又是多少？（精确到1元）

（3）你认为哪个统计量不能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法

参考答案

1. C

解析：依题意，此果园平均每棵树所产樱桃的质量是

（千克），

所以100棵树所产樱桃的质量是

（千克），又批发价格为每千克15元，

所以2000千克的樱桃所得的总收入为

（元），故应选C ．

2. B

解析：将这9个数据由小到大排列为：57，59，59，59，61，63，65，67，70，其中出现次数最多的是59，是众数；第五个数是61，即中位数是61，故选B 。 3. A

解析：根据统计中平均数的公式

，以及众数的概念可知1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，

3，3.5这10个数据的平均数和众数分别是2.4，2.5，故选A. 4. 5

解析：∵平均数是5，∴

＝5，∴x ＝5，从小到大排列为3，4，5，5，6，7，故中位数为5。

5. 8 x ，中位数为9．

6. （1）估计李明家六月份的总用电量为120度； （2）李明家六月份共付电费 60元．

7. 平均身高是160.2cm ；

8. （1）参加人数为50人；

（2）达标率为90%；

（3）跳绳次数的中位数落在第三小组内．理由略。 9. 解：（1）王晓丽：

＝86

李真：≈91.7

林飞扬：

≈93.3

冠军：林飞扬，亚军：李真，季军：王晓丽． （2）王晓丽：＝90.8

李真：＝93

林飞扬：

＝88 冠军：李真，亚军：王晓丽，季军：林飞扬．

（3）因为冠军是王晓丽，亚军是李真，季军是林飞扬，而王晓丽的唱功分最高， 李真的唱功分第二，林飞扬的唱功分最低，即唱功分的高低与最后排名一致， 所以唱功权重应远远大于其他两项，猜测权重为8∶1∶1．（答案不惟一） 王晓丽：＝94.4 李真：＝94

林飞扬：

＝84

当权重为8∶1∶1时，冠军：王晓丽，亚军：李真，季军：林飞扬． 10. 解：（1）众数是1.0小时； （2）1

(0.515 1.020 1.510 2.05)

50

x =

?+?+?+? 1.05=（小时）， 这50名学生在这一天平均每人所用课外阅读的时间是1.05小时；

11. （1）月工资的平均数约为2151元，中位数是1500元，众数是1500元； （2）新工资的平均数约为3136元，中位数是1500元，众数是1500元； （3）平均数不能反映这个公司员工的工资水平．看法略