3log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞）
选C
（4）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =
3
π
,a =3,b =1，则c =（ B ） (B) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 解：由正弦定理可得sinB ＝
1
2
，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30?，所以C ＝90?，故c ＝2，选B （5）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（ D ）
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6) 解：设d ＝（x ，y ），因为4a ＝（4，－12），4b －2c ＝（－6，20），2(a －c )＝（4，－2），依题意，有4a ＋（4b －2c ）＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，选D (6)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为（ B ）
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0，又f （x ＋4）＝－f （x ＋2）＝f （x ），故函数
f （x ）的周期为4，所以f （6）＝f （2）＝－f （0）＝0，选C
（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ B ）
(A)2 (B)
22 (C) 2
1
(D)42 解：不妨设椭圆方程为22
221x y a b
+=（a >b >0），
则有2221b a c a c =-=，据此求出e ＝22，
选B
（8）设p ：x 2
－x －20>0,q ：2
12
--x x <0,则p 是q 的（ A ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
解：p ：x 2
－x －20>0?x >5或x <－4，q ：2
12
--x x <0?x <－2或－12，借助图形知选A
（9）已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ A ）
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为1
1
3
233C C A ＝36，但集合B 、C 中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A
（10）
已知2n
x ? ?
的展开式中第三项与第五项的系数之比为－143,其中2
i =－1，则展开式中常数项是（ A ）
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
解：第三项的系数为－2
n C ，第五项的系数为4
n C ，由第三项与第五项的系数之比为－14
3
可得n ＝10，
则210110
()(r
r
r r T C x -+=＝405210()r
r r i C x --，令40－5r ＝0，解得r ＝8，故所求的常数项为8810
()i C -＝45，选A
（11）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件??
?
??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y
的最大值是（C ）
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解：画出可行域：
易得A （5.5，4.5）且当直线z ＝10x ＋10y 过A 点时， z 取得最大值，此时z ＝90，选C
（12）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为（ C ） (A)2734π (B)26π (C)86π (D)24
6π
（12题图）
解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为
6
4
，外接球的体积为3466()348
ππ=，选C
x
y
2x ＋3y ＝9
2x ＝115x －11y ＝－22
C B
A
O P
E
D C
O
2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II ）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 得分 评卷人
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上. （13）若lim 1,()
n a n n a n →∞
==+-则常数 2 .
解：
（14）已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，则22
12y y +的最
小值是 32 .
解：显然12,x x ≥0，又22
12y y +＝4（12x x +）≥812x x ，当且仅当124x x ==时取等号，所以所求
的值为32。
（15）如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为 . （15题图）
解：易证B 1⊥平面AC 1，过A 点作AG ⊥CD ，则
AG ⊥平面B 1DC ，于是∠ADG 即∠ADC 为直线AD 与平面B 1DC 所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值为
45
。
（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）. ①将函数y =1+x 的图象按向量y =(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x
1lim
lim lim(11)
()1
212n n n n a n a
a n n n a n a n
a a
→∞
→∞→∞++==+++-=
?=?=A 1B 1
C D
A C
B G
②圆x 2+y 2+4x -2y +1=0与直线y =
x 2
1
相交，所得弦长为2 ③若sin(α+β)=2
1，sin(α－β)=31
,则tan αcot β=5
④如图，已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1，P 为底面ABCD 内一动点，P 到平面AA 1D 1D 的距离与到直
线CC 1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分. 解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y ＝|x －2| ②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y =
x 2
1
的距离为 45
>半径2，故圆与直线相离，
③正确，sin(α+β)=
2
1
＝sin αcos β＋cos αsin β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝3
1
两式相加，得2 sin αcos β＝5
6，
两式相减，得2 cos αsin β＝1
6
，故将上两式相除，即得tan αcot β=5
④正确，点P 到平面AD 1的距离就是点P 到直线AD 的距离，
点P 到直线CC 1就是点P 到点C 的距离，由抛物线的定义 可知点P 的轨迹是抛物线。
（16题图）
三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 已知函数2
()sin ()(0,0,0)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><<，且()y f x =的最大值为2，其图象相
邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）. （I ）求?
（II ）计算(1)(2)(2008)f f f ++
+.
解：（I ）2
sin ()cos(22).22
A A
y A x x ω?ω?=+=
-+ ()y f x =的最大值为2，0A >.
2, 2.22
A A
A ∴
+== 又
其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，
12()2,.224
ππωω∴== 22()cos(2)1cos(2)2222
f x x x ππ
??∴=-+=-+.
()y f x =过(1,2)点，
cos(2) 1.2π
?∴+=- 22,,2
k k Z π
?ππ∴
+=+∈
22,,2
k k Z π
?π∴=+∈
,,4
k k Z π
?π∴=+
∈ 又
0,
2
π
?<<
4
π
?∴=
.
（II ）解法一：
4
π
?=
，
1cos()1sin .222
y x x πππ
∴=-+=+
(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又
()y f x =的周期为4，20084502=?，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++???+=?=
解法二：
2()2sin ()4
f x x π
?=+
223(1)(3)2sin ()2sin ()2,44
f f ππ
??∴+=+++=
22(2)(4)2sin ()2sin ()2,2
f f π
?π?+=+++= (1)(2)(3)(4) 4.f f f f ∴+++=
又()y f x =的周期为4，20084502=?，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++???+=?=
18．（本小题满分12分）设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥-，求()f x 的单调区间.
A
B
C
A 1
V
B 1
C 1
解：由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'
1
()(1),1
ax f x a x -=
≥-+ （1）当10a -≤≤时，'
()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减， （2）当0a >时，由'
()0,f x =解得1.x a
=
'()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表
x
1(1,)a
-
1a
1
(,)a
+∞ '()f x
— 0 + ()f x
极小值
从上表可知
当1(1,)x a
∈-时，'
()0,f x <函数()f x 在1(1,)a
-上单调递减. 当1(,)x a
∈+∞时，'
()0,f x >函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增. 综上所述：
当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.
当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a
+∞上单调递增. 19．（本小题满分12分）
如图，已知平面111A B C 平行于三棱锥V ABC -的底面ABC ，等边△1AB C 所在的平面与底面ABC 垂直，且∠ACB=90°，设2,AC a BC a ==
（1）求证直线11B C 是异面直线1AB 与11A C 的公垂线； （2）求点A 到平面VBC 的距离； （3）求二面角A VB C --的大小。
解法1：
（Ⅰ）证明：∵平面
111A B C ∥平面ABC ，
1111//,//B C BC AC AC ∴
BC AC ⊥
1111B C A C ∴⊥
又∵平面1AB C ⊥平面ABC ，平面1AB C ∩平面ABC AC =， ∴BC ⊥平面1AB C ，
1BC AB ∴⊥ 111B C AB ∴⊥，
又
11111A C B C C ?=，1111B C AB B ?=.
11B C ∴为1AB 与11A C 的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A 作1AD B C ⊥于D ，
∵△1AB C 为正三角形，
∴D 为1B C 的中点. ∵BC ⊥平面1AB C ∴BC AD ⊥， 又1B C BC C ?=，
∴AD ⊥平面VBC ，
∴线段AD 的长即为点A 到平面VBC 的距离.
在正△1AB C 中，222
AD AC a =
=?=.
∴点A 到平面VBC .
解法2：取AC 中点O 连结1B O ，则1B O ⊥平面ABC ，且1B O . 由（Ⅰ）知1BC B C ⊥，设A 到平面VBC 的距离为x ，
11B ABC A BB C V V --∴=，
即111111
3232
BC AC B O BC B C x ?
??=???，解得x =.
即A 到平面VBC .
则11|||cos ,|d AB AB n =?<>111|||cos |||||
AB n
AB AB n ?=?<
>?
233.2
a
a =
= 所以，A 到平面VBC 的距离为3a .
(III)过D 点作DH VB ⊥于H ，连AH ，由三重线定理知AH VB ⊥ AHD ∴∠是二面角A VB C --的平面角。 在Rt AHD 中，11113.B D
DH AD a B DH B BC BC B B
=?∞?
= 115
.5
B D B
C DH a B B ?∴=
=
tan 15AD
AHD DH
∴∠=
=。 arctan 15AHD ∴∠=。
所以，二面角A VB C --的大小为arctan 15. 解法二：
取AC 中点O 连1B O ,易知1OB ⊥底面ABC ，过O 作直线//OE BC 交AB E 于。
取O 为空间直角坐标系的原点，1,,OE OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。则1(0,,0),(,,0),(0,,0),(0,0,3)A a B a a C a B a -。 （I ）
(,0,0)BC a =-，1(0,,3)AB a a =，
1(,0,0)(0,,3)0BC AB a a a ∴?=-?=， 1BC AB ∴⊥。
1BC AB ∴⊥
又
11111//,B C BC B C AB ⊥
由已知11,//BC AC AC AC ⊥。
11BC AC ∴⊥，
而111111//,BC B C B C A C ∴⊥。 又111,B C AB 与11A C 显然相交，
11B C ∴是111AB A C 与的公垂线。
（II ）设平面VBC 的一个法向量(,,)n x y z =，
又1(0,)CB a =-
由1(,,)(,0,0)0(,,)(0,,3)0x y z a n BC x y z
a a n CB ?-=?⊥??
???
-=⊥???
? 取1z = 得 n =
点A 到平面VBC 的距离，即1AB 在平面VBC 的法向量n 上的投影的绝对值。
1(0,)AB a =，设所求距离为d 。
则11cos d AB AB n =?
111AB n AB AB n
?=?
?
32
a =
所以，A 到平面VBC .
（III ）设平面VAB 的一个法向量111(,,),m x y z =
1
m AB ⊥ 10m AB ?= 110ay = 由 ? ?
m AB ⊥ 0m AB ?= 10ax += 取11z = m =
1
cos ,.||||4
m n m n m n ?∴<>=
=-?
二面角A VB C --为锐角，
所以，二面角A VB C --的大小为1arccos .4
20．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）随机变量ξ的概率分布和数学期望； （3）计分介于20分到40分之间的概率。 解：（I ）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，
则3111
52223
102
()3
C C C C P A C ???== 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ”，“一次取出的3个小球上有两个数
字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为121
5283
101
()3
C C C P B C ??== 所以12
()1()133
P A P B =-=-
=. （II ）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5.
211222223
101
(2);30C C C C P C ξ?+?=== 2112
42423
102
(3);15C C C C P C ξ?+?=== 2112
62623
103
(4);10C C C C P C ξ?+?=== 2112
82823
108
(5);15
C C C C P C ξ?+?=== 所以随机变量ε的概率分布为
因此ε的数学期望为
1238132345301510153
E ε=?
+?+?+?= （Ⅲ）“一次取球所得计分介于20
分到40分之间”的事件记为C ，则
2313
()("3""4")("3")("4")151030
P C P P P εεεε=====+==
+=或 21．（本小题满分12分）
双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线y =为C 的一条渐近线。
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点(0,4)P 的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当12PQ QA QB λλ==，且128
3
λλ+=-时，求Q 点的坐标。
解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b -=
由椭圆22
184
x y += 求得两焦点为(2,0),(2,0)-，
∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线 ∴
3b
a
= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2
2
13
y x -= （Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。 设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y 则4(,0)Q k
-
1PQ QA λ=
11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+
1
111
111
14444()44x k k x k k y y λλλλ?
=--??-=+??∴???
??-==-??? 11)(,A x y 在双曲线C 上， ∴
21211
11616
()10k λλλ+--= ∴22
2211161632160.3
k k λλλ++-
-=
∴222
1116(16)32160.3
k k λλ-++-
= 同理有：22
22216(16)32160.3
k k λλ-++-=
若2
160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2
160,k ∴-≠
12,λλ∴是二次方程222
16(16)32160.3
k x x k -++-
=的两根. 122
328
163
k λλ∴+=
=-- 24k ∴=，
此时0,2k ?>∴=±.
∴所求Q 的坐标为(2,0)±.
解法二：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零
设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 1PQ QA λ=，
Q ∴分PA 的比为1λ.
由定比分点坐标公式得
111
111
11111
44(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??
-==-+??+??→?
?+??=-=??+?? 下同解法一 解法三：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零
设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4
(,0)Q k
-
. 12PQ QA QB λλ==，
111222444
(,4)(,)(,)x y x y k k k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==，
114y λ∴=-
，22
4
y λ=-，
又1283
λλ+=-
， 121123
y y ∴
+= 即12123()2y y y y +=
将4y kx =+代入2
2
13
y x -=得 222(3)244830k y y k --+-=
230k -≠，否则l 与渐近线平行。 2
12122224483,33k y y y y k k -∴+==--。
2
22
244833233k k k
-∴?=?-- 2k ∴=±
(2,0)Q ∴±
解法四：
由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y 则4(,0)Q k
-
1PQ QA λ=,
11144
(,4)(,)x y k k
λ∴--=+。
∴1114444k kx x k
λ-
=
=-++ 同理
124
4
kx λ=-
+
1212448
443
kx kx λλ+=-
-=-++.
即 2
121225()80k x x k x x +++=。
（*）
又
2
2
4
1
3
y kx y x =+-= 消去y 得2
2
(3)8190k x kx ---=.
当2
30k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，2
30k -≠。 由韦达定理有：
122
1228319
3k x x k x x k +=
-=-
- 代入（*）式得
24,2k k ==±
∴所求Q 点的坐标为(2,0)±。
22．（本小题满分14分）
已知12a =，点1(,)n n a a +在函数2
()2f x x x =+的图象上，其中1,2,3,n =
（1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列； （2）设12(1)(1)
(1)n n T a a a =+++，求n T 及数列{}n a 的通项；
（3）记112n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项n S ，并证明2
131
n n S T +=-
解：（Ⅰ）由已知212n n n a a a +=+，
211(1)n n a a +∴+=+
12a =
11n a ∴+>，两边取对数得
1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，
即
1lg(1)2lg(1)
n n a a ++=+
{lg(1)}n a ∴+是公比为2的等比数列.
