数学周报杯2011年全国初中数学竞赛试题

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项）

1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为（ ）

（A ）24 （B ）25 （C ）1074+ （D ）1274+

2、对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“△”为：（a ，b ）△（c ，d ）=（ac+bd ，ad+bc ）。如果对于任意实数u ，v ，都有（u ，v ）△（x ，y ）=（u ，v ），那么（x ，y ）为（ ）

（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（-1，0） （D ）（0，-1）

3、若x>1，y>0，且满足xy=x y ，y x y

x 3=，则x+y 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）29 （D ）2

11 4、点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设S 四边形EADF =S 1，S △BDF =S 2， S △BCF =S 3，S △CEF =S 4，则S 1S 3与S 2S 4的大小关系为（ ）

（A ）S 1S 3< S 2S 4 （B ）S 1S 3=S 2S 4 （C ）S 1S 3>S 2S 4 （D ）不能确定

5、设333399

1312111+???+++=S ，则4S 的整数部分等于（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

二、填空题（每小题7分，共35分）

6、若关于x 的方程（x-2）（x 2-4x+m ）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是___________。

7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。

8、如图，点A ，B 为直线y=x 上的两点，过A ，B 两点分别作y 轴 的平行线交双曲线x

y 1=（x>0）于C ，D 两点。若BD=2AC ， 则224OD OC -的值为________。

9、若2

11-+-=x x y 的最大值为a ，最小值为b ，则a 2+b 2的值为___________。 10、如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接

于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为__________。

三、解答题（每题20分，共80分）

11、已知关于x 的一元二次方程x 2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x 2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c 的值。

12、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙O 1和△BCH 的外接圆⊙O 2相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。

13、如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A ，B 两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2

3

2x y 于P ，Q 两点。

（1）求证：∠ABP=∠ABQ

（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o ，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式。

14、如图，△ABC 中，∠BAC=60o ，AB=2AC ，点P 在△ABC 内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC 的面积。