【数学】山东省济南市济南一中2014届高三模拟考试(文)

济南一中2014届高三四月模拟考试

数学（文）试题

命制人：辛卫国审核人：徐卫平

说明：本试卷满分150分，试题分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页，第n卷为第3页至第4页。考试时间120分钟。

第I卷（选择题，共*分）

—、选择题（每题M分，共5分）

1. 设集合M = {x|lg z > 0j, AT= {x||^| < 2] M n AT= A

A-（1,2] B CU2i D [1,2]

2. i是壺数单位，复的实部为C

1 + J

A. 2 比—2 C. 1 D. —1

3在hABCV,ZA=60B, AB = 2,且LABC的面积为逅，则BC册长为A

2

A. 75

B.3

C. ^7

D.7

1

4?若a、b为实数，则“ ab v 1”是“ 0 v a v ”的（B）

b

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分条件

D.既不充分也不必要条件

5.现有四个函数：①y = x sin x②y二x -cosx③y二x-|cosx |④y = x-2x的图象（咅B分）如

下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ D ）

A.④①②③

B.①④③②

C.③④②①

D.①④②③

丿工丄；r 下，目标= 的最大值為C

2 二

^+J <1

（A ） - （B ）- （C ） - （D ）-

4 4 6 3

7.若一个几何体的三视图如右图所示，则它的悴■积为B 1 3 1 A.l B - C.l D 丄 2 2 3 S.对具有线性相关关系的变量蔺护测得一组数据如下表;

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 y =10.5x ? a ，据此模型来预测当x=20

时，y 的估计值为（D ）

A . 210

B. 210. 5 C . 212. 5

D . 211 . 5

2 2

9.已知双曲线 务—占=1（a>0,bA0 ）的一条渐近线经过点（2,2^3 ），则该双曲线的离心 b 率为（B ） 第口卷（非选择题，共 100 分）

注意事项：

1. 第n 卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上，

考试结束后上交答题纸。

2. 答题前将密封线内的项目、座号填写清楚，密封线内答题、答错位置无效。

（请将答案写到答题纸上.）

、填空题（共5小题，满分25分）

6.在约束条件彳

主裡酬 左祝團

I

mes

A. 、、3

B.2

C. l 5

D.2

10.设方程 log 4 X 1 x

-()=0、log

4

x-（：）X =0的根分别为 X 1、X 2,贝U

(A )

A. 0 v X 1 x 2< 1

B. X 1 X 2=1

C.1

< X 1 x 2 < 2 D. X 1 x 2> 2

11.已知直线3x-4y-a = 0^圆亍-4 +才-? +1 = 0相切，则殛a的值为 __________________

12已知等比数列｛陽｝的公比为正熟且a. a6=9a, f出=1，则眄的值沟________________

13. 已知向墾& = 21审=（一1,1 若：丄（茁-巩则址等干____________

14. ^0 <9<-.则血日+话8￡卫的取值范围是_______________ .

3

15. 函j = a^ta >0,位工11的图象恒过定盘乩若点盘在直线脚龙+矽二0（战：>一1”并A

⑴上则丄+丄的最小值为—

附十1 n

二、解答题（共6小题，满分75分）

16. （本小题满分12分）

在AABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a,b,c,若向量

m - -cosB,sinC ,n - -cosC,-sinB 且

（I）求角A的大小;

（II）若b ^4^ ABC的面积S — 3，求a的值?

17. （本小题满分12分）

: 重量段[80 , 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100]

件数5a15b 规定重量在82克及以下的为“A”，重量在85克及以上的为“B”，已知该批电器有“ A” 型2件（I）从该批电器中任选1件，求其为“ B”型的概率；

（H）从重量在］80,85）的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“ A”的概率.

18. （本小题满分12分）如图，已知

AB _平面

AD = DE =2AB,且F是CD的中点.

（I）求证：AF//平面BCE

（II）求证：平面BCE _平面CDE.

19. (本小题满分12分)

在数列3/(n ? N ”)中，其前n项和为S n，满足2S n= n - n2.

(I)求数列1a n冶勺通项公式；

(n)设b n = n 2an,求数列'b n ?的前n项和T n.

20. (本小题满分13分)

已知关于x的函数f (x) =ax「a (a =0)

e x

(I)当a =-1时，求函数f (x)的极值；

(n)若函数F(x)二f(x)没有零点，求实数a取值范围.

2 2 珂

21. (本小题满分14分)如图；?已知椭圆C: x2y2=1(a b 0)的离心率为一，以椭圆

a b 2

的左顶点T为圆心作圆T:(x 2)2 - y^r2(r .0),设圆T与椭圆C交于点M、N.

(I)求椭圆C的方程；

(n)求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；

(川)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与x轴交于点R, S, O为坐标原点。求证：OR |0目为定值. 杪

参考答案

16.解：(I ) ??? m ，n =1,

2

17.解：（I ）设“从该批电器中任选1件,其划站型”为事件加

贝山珂）=斗尹=存 ............... .... .................................. 3分 所以臥该批电器中任选1件，求其为型的概率 . (4)

10 分

（II ）设“从重量在［30,35）的5件电器中，任选2件电器，求其中恰育1件为炉€型

规 角奎件毎记这5件电器分别为盘丘g 读丹其中总疋型为孑乩从中任选2件，所 肴■可能的情况为站恥ad>吕白bis bd^ be> c ■& effr 為共丄0种*￡分

其中恰有1件为” A ”型的情况有 ac , ad , ae , bc , bd , be ，共6种.，,,，

10分

所以卩码需害所以从重量在［80,85）的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A ” 3

型的概率为3.

18.解：（I ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ,

??? F 为CD 的中点，

(11) -8 或 12 (12.)

- 3

(13.)

12

(14.) ,3,2 (15.)

4

二 cosB cosC —sin B 1

sin C =—

1 即 cosy ，

cos( n A)

又 A (0, n, (n ) S ZABC

be sinAu^be sin3 = V3 , 2 2 3

??? be =4 .

又由余弦定理得：

222

2 n a b c

「

2bc cos

3

2 2

二 b c bc ,

2 2

? a =(b c) -be = 16 -4 =12 ,

12.分…

1

??? FP // DE，且FP = DE.

2

1

又AB // DE，且AB = 1DE ?

2

?AB // FP，且AB = FP ,

?四边形ABPF为平行四边形，? AF //BP ?”,，4分又；AF二平面BCE , BP二平面BCE ,

?AF // 平面BCE. ,,,, 6 分

(n)；ACD为正三角形，? AF丄CD,

；AB 丄平面ACD , DE // AB ,

?DE丄平面ACD , 又AF 平面ACD ,? DE丄AF ?

又AF 丄CD , CD DE 二D ,

?AF 丄平面DCE . ,,,, 10 分又BP // AF ? BP 丄平面DCE .

又; BP 平面BCE , ?平面BCE丄平面CDE.,,,, 12分

2 2

19.解:(I )由题设得：2S n 二n - n ,所以2S n」二n - 1-( n -1) (n _ 2)

所以a n= S n- S n 4 = 1 - n (n _ 2),,,,, 2 分

当时，^=3=0,数列、a n'是a^ = 0为首项、公差为—1的等差数列

故a n = 1 ~n?,,,,, 5 分

(n)由(I)知：b n= n空亠

所以T n= b| b2b^ b n

=1 20 2 2」3 2，4 2「n 21』

2 亠T n =1 2」2 2

3 23

4 2^ - (n 一1) 21』n 2』,,,,,,,, 8分

两式相减得：

1

=1 2二2乂2^ 2^ 21』一n 2」

1 1 1

= 2-2 q)n -n (?)n =2-(n+2)(2)n.

①当a 0时，F(x), F '(x)的情况如下表:

2

20.（本小题满分□分）

已知关于x 的函数丁⑴=严二2（“①

（I ）当-1时，求函飯/■?）的极值=

（［I ）若函数巩沪口）十1没肓零晟 求冥数/取值范围

当a = -i 时，『（MJ3的惰况如下表:

X

（-呼） 2

—

+

'、

极小值

/

所I 儿 当a= -1时！函数的极小值为f （x ） -= -e _J .............................................. 6分

（II ）咋”八—竺二

因为 F （1）=1> 0, ............................................................................... 分 ........ 8 若使函数F （x ）没有零点，需且仅需 F （2）

1 .0,解得a .弋2, .............................. 分9

e

所以此时Y 2

::a :: 0

;

②当a 0时，F （x ）, F '（x ）的情况如下表:

x

(严2)

2 （2,他）

f '(x) + 0

—

f (x)

/

极大值

——11分

1

丄0

因为 F(2) -F(1) -0,且 F(1」°)=e 3 J 。：：：M° <0 ,

a

1

=

1

=

e a e a

所以此时函数F(x)总存在零点 ..................... 2?分1 (或：当 XA 2 时，F(x) = a (x j )州 >1,当 x<2 时，令 F (x)=日匕-1

好,即 a (x —1^e x <0,

由于 a x-1

■ e x ::a x -1

e 2,令 a x —1 广e 2 ：： 0, 2

e _

x^-—时F (x) ￡0 即x <2时F (x)存在零点.)

x

(q,2)

2 (2F

f '(x) —

0 + f (x)

极小值

/

---7 分

..........................................2分

■分10

2

得x V1 -d ，即

a

所以 7^ = 4 - 2+