2021高考模拟考试试题

2021高考模拟考试试题

文科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合20x A x x ?-?

=≤????，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ）.

A ．{1,2}

B ．{0,1,2}

C ．{1}

D ．{1,2,3} 2.已知

21z

i i

=--，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3.一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（ ）. A ．

132 B ．164 C ．364 D ．332

4.命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）.

A ．03a <<

B ．0a <或3a ≥ C. 0a <或3a > D. 0a ≤或3a ≥ 5.函数lg x

y x

=

的图像大致是（ ）.

A ．

B ． C. D ．

6.已知,2παπ??

∈ ???，3sin 5α=，则tan()4πα+=（ ）.

A ．17-

B ．7 C. 1

7

D ．-7

7.已知向量满足a 、b ，满足2a =，1b =，()0a b b -?=，那么向量a 、b 的夹角为

（ ）.

A ．30°

B ．45° C.60° D ．90°

8.已知双曲线的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过左焦点1F 作斜率为33的直线交双曲线的右

支于点P ，且y 轴平分线段1F P ，则双曲线的离心率为（ ）. A ．3 B ．51+ C. 2 D ．23+ 9.函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移

4

T

个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）.

A ．最大值为1，图像关于直线2x π

=

对称 B ．在0,4π??

???

上单调递增，为奇函数 C.在3,88ππ??- ???上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π??

???

对称

10.在四面体ABCD 中，AB CD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为

AB 中点，则线段CM 的长为（ ）. A ．2 B ．3 C.

32 D ．2

2

11.过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A B 、两点若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF =（ ）.

A ．1

B ．2 C. 3 D ．4

12.在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且满足=b c ，

1cos cos b B

a A

-=

，若点O 是ABC ?外一点，(0)AOB θθπ∠=<<，2OA =，1OB =，则平面四边形OACB 面积的最大值是（ ）. A ．

4534+ B ．8534+ C.3 D ．45

2

+ 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.如图所示的程序框图，输出的S = ．

14.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．

15.若非负实数,x y 满足：1

25y x x y ≥-??+≤?，（2,1）是目标函数3(0)z ax y a =+>取最大值的最优

解，则a 的取值范围为 ．

16.若直角坐标系内A B 、两点满足：（1）点A B 、都在()f x 的图像上；（2）点A B 、关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对”，点对(,)A B 与(,)B A 可看作一个“姊妹

点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e

?+

=?≥??，则()f x 的“姊妹点对”有 个．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，，12n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）已知2log n n b a =，求数列11n n b b +??

????的前n 项和n T .

18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C .且四边形11BB C C 是菱形，

160BCC ∠=?.

（1）求证：1AC B C ⊥；

（2）若1AC AB ⊥,三棱锥1A BB C -的体积为

6

3

，求ABC ?的面积. 19. 二手经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：

下面是z 关于x 的折线图：

（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手汽车当使用年数为9年时售价大约为多少？

（b 、?a

小数点后保留两位有效数字）.

21. 已知函数，2()ln f x x a x =-+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当4a =时，记函数()()g x f x kx =+，设1212()x x x x <、是方程()0g x =的两个根，0x 是

12x x 、的等差中项. ()g x '为函数()g x 的导函数，求证：()0g x '<.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程是6cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半

轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t α

α=+??=?（t 是参数）.

（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；

（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，且27AB =，求直线的倾斜角α的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x =+-.

（1）求关于x 的不等式()3f x <的解集；

（2）如果关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.

文科数学答案

一、选择题：

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案

A

A

C

B

D

C

C

A

B

C

A

B

二、填空题：

13．88； 14．64+4π； 15．[6,)+∞； 16．2

三、解答题：

17.解：（1）∵12n n a S +=+ ∴12(2)n n a S n =-+≥.

两式作差得：11n n n n n a a S S a +--=-=， 所以：12n n a a +=，即

1

2(2)n n n

a a n a +=≥. 又当1n =时：2124a S =+=，∴

2

1

2a a =成立； 所以数列{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列， ∴1.12()n n n a a q n N -==∈.

(2)由（1）可得：2log n n b a n ==，

11111

(1)1

n n b b n n n n +==-++， ∴111111

()()...()12231n T n n =-+-++-+,

1111

n n n =-

=++. 18.解：（1）证明：连结1BC ，

因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ?平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥. 因为四边形11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥, 又因为1AB

BC B = ，所以1B C ⊥平面1ABC .

因为1AC ?平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.

（2）由AB ⊥平面11BB C C ，1BC BB =可知1AC AB =. 设菱形11BB C C 的边长为a ，

因为160BCC ∠=?，所以22221112cos1203B C BC BB BC BB a =+-???=. 因为1AC AB ⊥，所以222113AC AB B C a +==，所以16

2

AC AB a ==. 因为AB ⊥平面11BB C C ，BC ?侧面11BB C C ，所以AB ⊥BC , 所以在Rt ABC ?中，222

2

AB AC BC a =-=

. 因为1111126

sin12033223

A B

B

C BB C V S AB a a a -?==---?-=,

解得：2a =，所以2

22

AB a ==，2BC a ==. 所以11

22222

ABC S BC AB ?=

?=??=. 19.解：（1）由已知： 4.5x =,2z =,

6

1

47.64i i

i x z

==∑，

6

2

1

()

4.18i

i x x =-=∑，

6

2

1

()

1.53i

i z z =-=∑，

所以1

2

2

11

()()

47.646 4.52 6.36 6.36

()0.994.18 1.53 6.3954 6.40

()

()n

i

i

i n

n

i i i i x x z z r x x z z ===---??=

=

=-≈?--∑∑∑.

z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高.

（2）1

1

22

2

21

1

()()47.646 4.52 6.36

?0.361396 4.517.5

()n

n

i

i

i i

i i n

n

i i i i x x y y x y nx y

b

x x x nx

====----??==

=

=-≈--?--∑∑∑∑.

??20.36 4.5 3.62a

y bx =-=+?=. 所以z 关于x 的线性回归直线方程为?0.36 3.62ln z x y =-+=. 所以y 关于x 的回归方程为：0.36 3.62?x y a -+=， 当9x =时，0.38? 1.46y

a =≈， 所以预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价大约为1.46万元.

（3）令?0.7118y

≥，即0.36 3.63ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥== , 所以0.36 3.620.34x -+≥-，解得：1x ≤ .

因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年.

20.解：（1）依题意可得：圆M 的圆心坐标为(1,0)M -半径为4r =，QN QF =, 则4QN QM QF QM R MF +=+==> .

根据椭圆定义，E 是以(1,0)M -,(1,0)F 为焦点，长轴长为4的椭圆，

设其方程为：22

221(0)x y a b a b

+=>>,

∴24,22,a c ==即2,1a c ==，∴223b a c =-=.

∴E 的方程为：22

143

x y +

=. （2）证明：设00(,)P x y 直线1B P 方程为：00

3

3y y x x +=

-， 令0y =得：00

33C x x y =

+，同理可得：00

33D x x y =

-，

所以2

00200

333333C D x x x OC OD x x y y y ?=?=

?=

-+-. 因为点P 是E 上且不在坐标轴上的任意一点，所以22

00143

x y += 即22200031244(3)x y y =-=-,

所以220022

0034(3)

433x y OC OD y y -?===--，因此OC OD ?的定值为4. （3）当点C 的坐标为（-1,0）时，点(4,0)D -，3CD =, 设直线l 的方程为：1x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ,

联立221

14

3x my x y =-??

?+=??消x 并整理得：22(34)690m y my +--=.

解得：22122

2361361

,3434m m m m y y m m -+++==++, 所以2122121

34

m y y m +-=+.

所以ABD ?的面积,

2212222213121181181223434311

m m S CD y y m m m m ++=?-=-==

++++

+.

∵20m ≥，211m +≥，∴1

3y x x

=+在[1,)+∞上为增函数,

∴221

13131411m m ++

≥?+=+，所以∴189

42S ≤=，

所以当0m =即直线AB 的方程为：1x =-时，ABD ?面积的最大值是9

2

. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞,

又22()2a x a

f x x x x

-=-=- ,

当0a ≤时；在()0,+∞上()f x 为减函数；