￥
2.7 随机变量的函数的分布
（1）离散型随机变量的函数的分布
已知X 的分布律为),3,2,1()( ===k p x X P k k ，)(X g Y =的分布律有以下两种情形：
①当)(k k x g y =的值互不相等时，则
),2,1()()( =====k p x X P y Y P k k k
②当)(k k x g y =的值有相等时，则应把那些相等的值分别合并，同时将它们所对应的概率相加，即得出)(X g Y =的分布律。
（2）连续型随机变量的函数的分布
~
已知X 的概率密度为)(x f X ，且)(x g y =有连续的导函数，求)(X g Y =的概率密度，通常使用以下两种方法： ①分布函数法：
先求Y 的分布函数?≤=≤=≤=y
x g X
Y dx x f
y X g P y Y P y F )()())(()()(，再对y 求导数，
可得Y 的概率密度)()(y F y f Y Y '=。 ②公式法：
如果)(x g y =严格单调，其反函数)(y h 有连续的导数，则)(X g Y =也是连续型随
机变量，且其概率密度为[]?
??<<'=其他,0,)()()(βαy y h y h f y f X Y
其中(){}∞+-∞=g g ),(m in α，(){}∞+-∞=g g ),(m ax β（此时)(x f 在+∞<<∞-x 上不为0）；或(){}b g a g ),(m in =α，(){}b g a g ),(m ax =β（此时)(x f 在[]b a ,之外全为0.）
第3章 多维随机变量及其分布
3.1 二维随机变量 联合分布函数
?
设X 、Y 是两个随机变量，称有序数组()Y X ,为二维随机变量。
联合分布函数为),(),(y Y x X P y x F ≤≤=，其中x ，y 为任意实数。 3.2 联合分布函数的性质
（1）1),(0≤≤y x F ，且0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F x F y F ，1),(=+∞+∞f 。 （2）),(y x F 对每一个变量单调不减，即对任意固定的y ，当21x x <时，
),(),(21y x F y x F ≤；对任意固定的x ，当21y y <时，),(),(21y x F y x F ≤。
（3）),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续。 （4）对任意的R x x ∈<21，R y y ∈<21，有
0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F 。
3.3 边缘分布函数
《
关于X 的边缘分布函数),(lim ),()(y x F x F x F y X +∞
→=+∞=； 关于Y 的边缘分布函数),(lim ),()(y x F y F y F x Y +∞
→=+∞=。
3.4 二维离散型随机变量
（1）二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布律为
),3,2,1,(),( ====j i p y Y x X P ij
j i
（2）()Y X ,关于X 的边缘分布律为
?∞
=∞
=?=====∑∑i j ij j j i i p p y Y x X P x X P 1
1
),()(（ ,2,1=i ）
()Y X ,关于Y 的边缘分布律为
j i ij i j i j p p y Y x X P y Y P ?∞
=∞
=?=====∑∑1
1
),()(（ ,2,1=j ）
（3）联合分布律ij p 应满足：
：
①0≥ij p （ ,2,1,=j i ）； ②∑∑∞
=∞
==111i j ij p 。
3.5 二维连续型随机变量
（1）二维连续型随机变量()Y X ,的联合分布函数为??
∞-∞
-=x y
dudv v u f y x F ),(),(，
其中称0),(≥y x f 为()Y X ,的联合概率密度函数。
（2）()Y X ,关于X 的边缘概率密度为?+∞
∞
-='=dy y x f x F x f X
X ),()()(；
()Y X ,关于Y 的边缘概率密度为?+∞
∞
-='=dx y x f y F y f Y Y ),()()(。
（3）联合密度函数),(y x f 的性质： ①0),(≥y x f ；
—
②??
+∞∞-+∞∞
-=1),(dxdy y x f ；
③()[]??=∈D
dxdy y x f D Y X P ),(,，其中D 为XOY 平面上的区域；
④当),(y x f 在点()y x ,处连续时，y x y x F y x f ???=),(),(2。
3.6 二维随机变量的独立性
随机变量X 与Y 相互独立)()(),(y F x F y x F Y X =?。
离散型随机变量X 与Y 相互独立j i ij P P P ???=?（ ,2,1,=j i ）。 连续型X 与Y 相互独立)()(),(y f x f y x f Y X =?（在连续点处）。 3.7 二维随机变量的函数的分布
"
二维离散型随机变量的函数的分布 二维连续型随机变量的函数的分布
设连续型随机变量()Y X ,的联合密度函数),(y x f ，),(Y X g Z =，Z 是一维随机变量，Z 的分布函数为[]??≤=
≤=≤=z
y x g Z dxdy y x f z Y X g P z Z P z F ),(),(),()()(，
Z 的密度函数为??≤==
z
y x g Z Z dxdy y x f dz d z F dz d z f ),(),()()(。 3.8 常用的二维连续型随机变量的函数的分布 （1）Y X Z +=的分布
()????+∞
∞--∞-≤+??????==
≤+=≤=dy dx y x f dxdy y x f z Y X P z Z P z F y z z
y x Z ),(),()()() ?+∞∞--==dy y y z f z F dz d z f Z Z ),()()(或?+∞∞--==dx x z x f z F dz
d
z f Z Z )()()(，
^
特别地，当X 、Y 相互独立时，
??
+∞
∞
-+∞∞
--=-=dx x z f x f dy y f y z f z f Y X Y X Z )()()()()(。
（2）),max(Y X M =及),min(Y X N =的分布
)()()(z F z F z F Y X M = [][])(1)(11)(z F z F z F Y X N ---=
第4章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量X 的数学期望
~
离散型 ∑∞
==1
)(k k
k p x X E
连续型 ?+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
4.2 随机变量函数的数学期望
（1）设)(X g Y =是X 的函数，其中)(x g 为连续函数。 离散型 ∑∞
==1)()(k k k p x g Y E
连续型 ?+∞
∞
-=dx x f x g Y E )()()(
（2）设),(Y X g Z =是X ，Y 的函数，其中),(y x g 为连续函数。 离散型 ∑∑∞=∞
==11
)()(i ij j j i p y x g Z E ，
】
连续型 dy dx y x f y x g Z E ??
+∞∞-+∞∞
-=),(),()(
4.3 数学期望的性质
（1）C C E =)(，（C 为常数） （2）)()(X CE CX E =，（C 为常数）
推广：b X aE b aX E +=+)()( （a 、b 是常数） （3）)()()(Y E X E Y X E +=+
推广：)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ （4）设X 与Y 相互独立，则)()()(Y E X E XY E =
*
推广：若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则)()()()(2121n n X E X E X E X X X E = 4.4 方差 方差的性质
方差 []{}
[]2
22
)()()()(X E X E X E X E X D -=-=
方差的性质
（1）0)(=C D ，（C 为常数） （2）)()(2X D C CX D =，（C 为常数）
（3）设X 与Y 相互独立，则)()()(Y D X D Y X D +=±
"
推广：若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则
)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=+++
（4）[]1)(0)(==?=X E X P X D （5）2)()(C X E X D -≤，（C 为常数） 4.5 几种常见的随机变量的数学期望和方差
（1）（0-1）分布 ),1(p B X ～ p X E =)(，)1()(p p X D -= （2）二项分布 ),(p n B X ～ np X E =)(，)1()(p np X D -= （3）泊松分布 )(λP X ～ 或)(λπ～X λ=)(X E ，λ=)(X D
（4）均匀分布 ),(b a U X ～ 2
)(b a X E +=，12)()(2a b X D -=
（5）;
（6）
指数分布 )(λE X ～ λ
1
)(=
X E ，2
1
)(λ
=
X D
（7）正态分布 ),(2σμN X ～ μ=)(X E ，2)(σ=X D 4.6 协方差 相关系数
X 与Y 的协方差[][]{})()()()()(),cov(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X -=--= X 与Y 的相关系数)
()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ
4.7 协方差的性质 （1）),cov(),cov(X Y Y X =
（2）),cov(),cov(Y X ab bY aX =，（a 、b 为常数） （3）…
（4）
),cov(),cov(),cov(Z Y Z X Z Y X +=+
（5）),cov(),cov(212211Y X a a b Y a b X a =++（1a ，2a ，1b ，2b 为常数） （6）),cov(2)()()(22Y X ab Y D b X D a bY aX D ++=+， 特别地，),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±
（7）设X 与Y 相互独立，则0),cov(=Y X 。 4.8 相关系数的性质
当0=XY ρ时，称X 与Y 不相关。 （1）1≤XY ρ （2）、
（3）
b aX Y XY +=?=1ρ，且??
?<->=0
,10
,1a a XY ρ
4.9 与不相关的性质
（1）若随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 不相关； （2）X 和Y 不相关)
()()()()()
()()(0),cov(Y X D Y X D Y D X D Y X D Y E X E XY E Y X -=+?+=±?=?=?
4.10 矩
（1）k 阶原点矩)(k k X E =μ（ ,2,1=k ） （2）k 阶中心矩[]{}
k
k X E X E B )(-=（ ,2,1=k ）
第6章 数理统计的基本概念
*
6.1 总体 样本
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的各个元素称为个体。通常为研究总体的某个数量指标而进行随机试验或观察，因此，代表总体的数量指标X 是一个随机变量，所以总体的分布是指随机变量X 的分布。从总体中按一定规则抽取n 个个体的过程称为抽样，抽样的结果称为样本，样本中所含个体的数量n 称为样本容量。若样本中的n 个个体n X X X ,,,21 相互独立且与总体同分布称为简单随机样本，简称样本。样本n X X X ,,,21 的试验结果n x x x ,,,21 称为样本观测值。
设总体X 的分布函数为)(x F ，则n X X X ,,,21 的联合分布函数为
∏==n
i i n x F x x x F 121)(),,,(
若X 为连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，则n X X X ,,,21 的联合概率密度为∏==n
i i n x f x x x f 121)(),,,(
若X 为离散型随机变量，其分布律为i i p x X P ==)(，则n X X X ,,,21 的联合分布律为∏∏========n
i n
i i i i n n p x X P x X x X x X P 1
1
2211)(),,,(
6.2 统计量
设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，),,,(21n X X X g g =是
n X X X ,,,21 的函数，若g 中不含任何未知参数，则称),,,(21n X X X g g =是
一个统计量。
|
统计量也是一个随机变量。 6.3 常用统计量
（1）样本均值 ∑==n
i i X n X 1
1
（2）样本方差 ()
∑∑==???
? ??--=--=n i n i i i X n X n X
X n S 1
21
2
2
2
1111 （3）样本标准差 ()
∑=--=
=n
i i X X n S S 1
2
2
11
（4）样本k 阶原点矩 ∑==n i k
i k X n A 11（ ,2,1=k ）
（5）样本k 阶中心矩 ()
∑=-=n
i k
i k X
X n B 1
1（ ,2,1=k ）
（6）顺序统计量 样本中位数 极差
！
第7章 参数估计
7.1 参数估计 点估计
利用统计量去估计总体的未知参数称为参数估计。设n X X X ,,,21 是来自总体
X 的样本，n x x x ,,,21 是样本的一组观察值。θ是总体X 的未知参数。若用一个统计量()n X X X ,,,21^
^
θθ=来估计θ，则称^
θ是参数θ的估计量；而称
()n X X X ,,,21^ θ的观察值()n x x x ,,,21^
θ为参数θ的估计值。 用()n X X X ,,,21^
θ去估计θ，称为对θ作点估计。 7.2 矩估计法
{
所谓矩估计法，是用样本矩（原点矩）去估计相应的总体矩，用样本矩的函数去估计相应总体矩的函数的一种方法。
设总体X 的分布形式已知，m θθθ,,,21 是总体分布中的未知参数，
n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，求m θθθ,,,21 的矩估计的步骤如下：
（1）求总体X 的前m 阶矩
()()()??
?????======m m m m
m m X E X E X E θθθμμθθθμμθθθμμ,,,)(,,,)(,,,)(212122
22111 （2）解（1）中的m 个方程得未知参数m θθθ,,,21 ，即
()()()
??????
?===m m m m
m μμμθθμμμθθμμμθθ,,,,,,,,,2121222111 （3）用样本矩∑==n i k
i k X n A 1
1代替相应总体k 阶矩k μ，得到m θθθ,,,21 的矩估
计量，即()
()()
?????
????===m m m m m A A A A A A A A A ,,,,,,,,,21^^21^2^
221^
1^
1 θθθθθθ
7.3 最大似然估计
\
设总体X 的概率密度为);(θx f （当X 为离散型随机变量时为分布律），θ为待估参数，n X X X ,,,21 时来自总体X 的样本，n x x x ,,,21 为其一组观测值，称
∏==n
i i x f L 1);()(θθ为似然函数。
若当^θθ=时，似然函数)(θL 达到最大值，则称^
θ为θ的最大似然估计量。 求最大似然估计量的步骤如下：
（1）正确写出总体X 的概率密度);(θx f （当X 为离散型随机变量时，);(θx P 为其分布律），θ为待估参数，构造似然函数
???????=∏∏==n i i n
i i X x p X x f L 1
1
),;(),;()(是离散型随机变量当是连续型随机变量当θθθ
（2）对似然函数)(θL 取对数得对数似然函数)(ln θL ； （3）对对数似然函数关于θ求导并令其为零，得似然方程0)
(ln =θ
θd L d ； （4）解似然方程，就可以得到θ的最大似然估计量。
`
注：若随机变量X 的分布函数中含有多个未知参数m θθθ,,,21 ，这时只需令
0ln =i
d L
d θ（m i ,,2,1 =）
解该似然方程组，就可以得到各未知参数i θ的最大似然估计量^
i θ。 7.4 点估计的评价标准
（1）无偏性 设^θ为参数θ的估计量，若有θθ=)(^E ，则称^
θ为θ的无偏估计量。
（2）有效性 设2^
1^
θθ，
都是θ的无偏估计量，若它们的方差满足??
?
??
1^θθ较有效。
'
~
）
第6、7章复习题
$
1、设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN X ～的样本，其中μ已知，2σ未知，则下列样本函数中不是统计量的是（ ）
A.∑=n i i X n 11
B.i n i X ≤≤1max
C.∑=??? ?
?-n
i i X 12
σμ D.()∑=-n i i X n 121μ
2、设),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本，X 是样本均值，则对任意实数c 有（ ）
A.()∑∑==+=-n
i n
i i i c X c X 12
12
2
B.()()∑∑==-<-n
i n
i i i X
X c X 112
2
C.()()
∑∑==-=-n
i n
i i i X
X c X 1
1
2
2
D.()(
)
∑∑==-≥-n
i n
i i i X
X c X 1
1
2
2
3、设总体),(2
σμN X ～，μ和2
σ均未知，则()
∑=-n
i i X
X n 1
2
1是（ ）
A.μ的无偏估计
B.μ的矩估计
C.2σ的无偏估计
D.2σ的矩估计
4、设（4,3,5,5,4,3,4,4）是来自总体)2,(μN X ～的一个样本的观测值，则μ的最大似然估计值是（ ）
￥
A.4
B.3
C.4.5
D.5 5、矩估计必然是（ ）
A.无偏估计
B.总体矩的函数
C.样本矩的函数
D.最大似然函数 6、设总体),(2σμN X ～，),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本，则)(X E = ；
)(X D = 。
7、设),,,(21n X X X 是来自参数为0>λ的泊松分布的样本，其样本均值、样本方差分别是X ，2S ，则)(X E = ；)(X D = ；)(2S E = ；样本),,,(21n X X X 的联合分布律为 。
8、设总体X 服从（0-1）分布，即???
? ??-p p X 110～（10<
k
X P == （n k ,,2,1,0 =）。
9、|
10、
×（没有讲）设2S 是来自总体),(2σμN X ～容量为16的样本方差，则
)(2S D = 。
11、总体参数常用的点估计方法是 和 。 12、设一个样本观测值为（0,2,0，2,0,2），则总体均值的矩估计值是 ，总体方差的矩估计值是 。
13、设),(p m B X ～，其中p （10<
),,,(21n X X X ，样本均值为X ，则未知参数p 的矩估计量^
p = 。 14、设总体X 服从参数为0>λ的泊松分布，
),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本，其样本均值，样本方差分别为X ，2
S 。如果()2^
32S a X a -+=λ为λ的无偏
估计量，则a = 。
15、设总体)4,(μN X ～，),,,(21n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，试求样本容量n 应取多大，才能使下式成立。
()
1.02
≤-μ
X E
16、设),,,(21n X X X 是来自总体X 服从（0-1）分布的一个样本，X ，
()
∑=-=n
i i X
X n B 1
2
21分别为样本均值和样本二阶中心矩，试求)(X E ，)(X D ，
)(2B E 。
17、[
18、
设总体X 具有分布律如下表所示：
其中θ（10<<θ）为未知参数。已知取得了样本值11=x ，22=x ，13=x ，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。
19、设总体X 的分布函数为??
???
≤>-=1
0111)(x x x
x F β
，其中未知参数1>β，
),,,(21n X X X 是来自总体X 的样本。试求：
（1）β的矩估计量； （2）β的最大似然估计量。
第1、2、3、4章复习题
1、对任意两个事件A 和B ，)(B A P -=（ ） A.)()(B P A P - B.)()()(AB P B P A P +-
%
C.)()(AB P A P -
D.)()()(B A P B P A P ++ 2、设事件A 与事件B 互不相容，则（ ）
A.0)(=B A P
B.)()()(B P A P AB P =
C.)(1)(B P A P -=
D.1)(=?B A P 3、设A 、B 为两事件，且0)(>B P ，()1=B A P ，则必有（ ） A.)()(A P B A P >? B.)()(B P B A P >? C.)()(A P B A P =? D.)()(B P B A P =?
4、设事件A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ，不能推出（ ）
