高中数学小专题(精品)39

微专题39 传统不等式的解法

一、基础知识

1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠

可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图像，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图像与x 轴的交点 2、高次不等式

（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为

()0f x >）

①求出()0f x =的根12,,x x L

② 在数轴上依次标出根

③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像，()0f x >? 寻找x 轴上方的部分 ()0f x

（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式

（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为

()

()

f x

g x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如

()

()

0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()

0f x g x g x ?>???≠?? （化商为积），进而转化为整式不等式求解

4、含有绝对值的不等式

（1）绝对值的属性：非负性

（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方

（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同

（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法：

（1）先讲一个不等式性质与函数的故事 在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：a b a c b c >?+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ），将相同的变换视为一个函数，即设

()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=，因为()f x x c =+为增函数，所以可得：()()a b f a f b >?>，即a b a c b c >?+>+成立，再例如：0,0,c ac bc

a b c ac bc

>>?>??

<时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即

()()()()

0,0,c f a f b a b c f a f b >>??>??<

数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号

在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：a b >，则11

,a b

的关系如何？设()1

f x x =

，可知()f x 的单调减区间为()(),0,0,-∞+∞，由此可判断出：当,a b 同号时，11

a b a b

>?<

（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是x

y a =还是()log 0,1a y x a a =>≠，其单调性只与底数a 有关：当1a >时，函数均为增函数，当

01a <<时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，

规律如下：

1a >时，x y >

log log (,0)x y

a a a a x y x y ?>?>>

01a <<时，x y >

log log (,0)

x y

a a a a x y x y ?

进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）对于对数的两个补充

① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，

如当1a >时，()()()()()()

0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

>?

② 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁 例如：(

)22.5log =？

2.5222

2.5 2.51 2.5log 2log 2log =?=?== 某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：()

2

2

3240x x -?->，

可将为2x 视为一个整体，令2x

t =，则0t >，则不等式变为()()23404104t t t t t -->?-+>?>，24x ∴>，两边可同取以2为底对数2log 42x >=

6、利用换元法解不等式

（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将2x 视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解

（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为：

①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体

②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 ③解出新元的范围

④在根据新元的范围解x 的范围 二、典型例题：

例1：解下列一元二次不等式：

（1）2

340x x --< （2）2

410x x -+> （3）2

450x x -+> （4）2

4

x --解（1）2340x x --<()()410x x ?-+<

即()2

34f x x x =--与x 轴的交点为1,x x =-=由图像可得满足()0f x <的x 的范围为14x -<<

∴ 不等式的解集为()1,4-

（2） 令()2

41f x x x =-+，则()0f x = 可解得：2x =

=±

作图观察可得：2x <-

或2x >+∴

不等式的解集为(

()

,22-∞-++∞U

（3）令()245f x x x =-+，则()0f x =中，0?< 则()f x 与x 轴无公共点，即恒在x 轴上方，x R ∴∈

注：由（1）（2）我们发现，只要是0a >，开口向上的抛物线与x 轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分()0f x <，在小大根之外的部分()0f x >，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀 ① 让最高次项系数为正

② 解()0f x =的方程，若方程有解，则()0f x >的解集为小大根之外，()0f x <的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可

（4）解：先将最高次项系数变为正数：2

2

430430x x x x --+ 方程2

430x x +-=

的根为422

x -±=

=-±∴

不等式的解集为(

()

,22-∞---++∞U

例2：解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x ---> （2）()(

12x x +-（1）解：()()()()123f x x x x =--- 则()0f x =的根1231,2,3x x x === 作图可得：12x << 或3x >

∴不等式的解集为()()1,23,+∞U

（2）思路：可知()2

20x -≥，所以只要2x ≠，则()2

2x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020

x x x +-

-≠? ，可得13x -<<且2x ≠

∴不等式的解集为()()1,22,3-U

小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。 穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图

像中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分。以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正）

，当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的

符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化。

例3：解下列分式不等式：（1）21

03

x x -≥+ （2）22

43068x x x x -+≤-+ 解：（1）不等式等价于()()()21301,,3230

x x x x -+≥???

?∈+∞-∞?

??+≠??

?U

∴不等式的解集为()1,,32??

+∞-∞????

U

（2）不等式等价于()()()()()()222

436801324024680

x x x x x x x x x x x x ?-+-+≤----≤??

???

≠≠-+≠???且 解得：1234

24x x x x ≤≤≤≤??≠≠?

或且

∴不等式的解集为[)[)1,23,4U

例4：（1）

21

13x x -≥+ （2）221

x x +≥+ （3）21612

x

x x ≥-+

分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为

()

()

0f x g x >再进行求解 解：（1）

2121

11033

x x x x --≥?-≥++ ()()4304

04330

x x x x x x -+≥?-∴

≥??≥?++≠?或3x < ∴不等式的解集为()[),34,-∞+∞U

（2）2

21

x x +

≥+ ()()()221212200001111

x x x x x x

x x x x x -++--?-+≥?≥?≥?≥++++

()()110101

110x x x x x x x +-≥?-≤≤≥?∴???

≠-+≠??

或 ∴不等式的解集为(][)1,01,-+∞U

（3）思路：观察发现分母()2

2612330x x x -+=-+>很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了 解：

22

1612612

x

x x x x x ≥?≥-+-+ ()()27120340x x x x ∴-+≤?--≤ 34x ∴≤≤

∴不等式的解集为[]3,4

例5：解不等式：

（1）23x x x +≤ （2）22x x x x

--> 解：（1）方法一：

所解不等式可转化为2

2

2340

33023x x x x or x x x x x x x x x

?+≥-≤-≥??-≤+≤????≤≤+≤???

02x ∴≤≤

方法二：观察到若要使得不等式23x x x +≤成立，则300x x ≥?≥，进而2x x +内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解2

3x x x +≤即可。解得02x ≤≤

∴不等式的解集为[]0,2

（2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数，所以直接可得：

2

002x x x

-

小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法 例6：解不等式：（1）125x x -++< （2）2120x x ---<

解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论

令两个绝对值分别为零，解得：2,1x x =-=，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论

①1x > 不等式变为1252x x x -++

②21x -<≤时，不等式变为12535x x -++- 32x ∴-<≤- 综上所述：不等式的解集为()3,2-

小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性

（2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观察，所解不等式为212x x -<-，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方（所用不等式性质：2

2

0a b a b >≥?>）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。 解：212x x -<-

()()22

2221244144x x x x x x ∴-<-?-+<-+

23311x x ∴

例7：解下列不等式：

（1）23

212

2x x

--??< ?

??

（2） ()

221

0.20.04x x -->

（3）()

22log 23x x -< （4）()()

21log 21x x x +-->

解：（1）23

212

2x x

--??

< ?

??

（2）()

221

0.20.04x x -->

2

322

2

x x

--?< ()

265

20.20.2x x --?>

2

32x x ?-<- 2

652x x ?--< 2

230x x ?--> 2

670x x ?--< 3x ?>或1x <- 17x ?-<<

∴不等式的解集为()(),13,-∞-+∞U ∴不等式的解集为()1,7-

（3）(

)

2

2log 23x x -<

()2222

log 2log 8

20

x x x x ?-?? 2228242002x x x x x x x ?-?<>??或

20x ∴-<<或24x <<

∴不等式的解集为()()2,02,4-U

（4）()()

21log 21x x x +-->

()()()()211log 2log 1x x x x x ++∴-->+

22211120x x x x x x ?-->+?∴+>??-->? 或222101120x x x x x x ?--<+?∴<+? ∴ 可解得：3x > ∴不等式的解集为()3,+∞

例8：解下列不等式：

（1）943120x

x

-?-< （2）()

()112

1

log log 114x x ---> （3）121

12

682x

x --??

-?< ?

??

（4）2331x x --≤

（1）思路：()

2

93

x

x =，从而可将3x

视为一个整体，则所解不等式可看做关于3x

的二次不等

式，解出3x

的范围，再反求x 的范围即可 解：943120x

x

-?-< ()

2

3

43120x x -?-< 令3,0x t t =>

2

412006t t t ∴--

即3036log 6x

x <

∴不等式的解集为()3,log 6-∞

（2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：

1log log a b b a =

，从而选择一项进行变形（比如选择()11

log 4x -)，再将()12

log 1x -视为一个整体解不等式，解出()12

log 1x -的范围后进而求出x 的范围

解：()

()112

1

log log 114x x --->

()()()()11112242

101112

12log 11log 11log 1log 1x x x x x x x x ??????->>??

?-≠?≠??????-->-->--???? 令()12

t log 1x =- 0t ≠

不等式转化为：()()222

100210t t t t t t t t

+--->?

log 12x -<-或()12

0log 11x <-<

可解得：5x >或

3

22

x << （3）121

12

682x

x --??-?< ?

??

()22121

628232822

x x x x -?-?

()

2

2

62160x x ?-?-<

令2,0x

t t => 不等式转化为：2

616008t t t --

即0283x

x <

∴不等式的解集为(),3-∞

（4）思路：所解不等式等价于2

1331x x -≤--≤，本题可以考虑对x 的符号进行讨论，从而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现2

2

x x =，从而所解不等式转化为：

22

331331

x x x x ?--≥-?

?--≤??，将x 视为一个整体，先解出x 范围，进而解出x 的范围 解：22

3311331x x x x --≤?-≤--≤

22

331331

x x x x ?--≥-?

??--≤?? 令0t x =≥，所解不等式转化为22331331t t t t ?--≥-??--≤??

数学小专题

即2233202

34004

t t t t t t ?+--≥?≥

???--≤?≤≤?

4t ≤≤

4x ≤≤

4x ∴-≤≤

4x ≤≤ ∴

不等式的解集为4,??

-??????

U 例9：已知不等式()

22log 362ax x -+>的解集为()(),1,+b -∞∞U ，则a =___，b =____

思路：所解不等式(

)222

22360

log 36log 4364ax x ax x ax x ?-+>??-+>?-+>??，即22360320ax x ax x ?-+>??-+>??，观察可得只要x 让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解2

320ax x -+>。由已知可得此不等式的解集为()(),1,+b -∞∞U ，则1,x x b ==为2

320ax x -+=的两根，代

入1x =解得1a =，再解得2b =

答案：1,2a b ==

小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而简化所解不等式的个数

例10：已知不等式()

22log 251ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是________

思路：所给条件等价于22252250

ax x ax x ?-+>??-+>??的解集为R ，即2

230ax x -+>的解集为R ，由此

可得：04120

a a >??

?=->? 解得：103a <<

答案：1

03

a <<