可再生资源开发利用全

可再生资源开发与管理

陈兰荪

(中国科学院数学所；大连理工大学数学系)

§1 引言

首先考虑开放式资源开发与管理

两个重要的概念

（1）最大持续产量MSY

永远收获而不改变种群剩余产量

种群大，产量低

种群k

→

种群小，产量高

种群0

→

存在一个产量MSY使永久产生，种群剩余产量不变（2）最优持续产量OSY

考虑经济因素：

OSY：获剩最多而永远收获不改变群体剩余量

为了实现OSY

我们要研究最优资源收获策略

先研究开发利润与开发成本之间的关系

当然这个关系在市场与社会的调控下产生

绘成下图：

产品价格细分则与年龄结构有关，年龄越大，价值越高。（3）脉冲式捕捞

在远海捕鱼作业常发生脉冲式捕捞

①船队加工船，捕捞船经常往返成本大

②到达海域就尽所能及地捕捞

③捕捞到剩余产量太少时会增加捕捞成本，因此不会捕捞

到种群灭绝

以下我们要把以上叙述以及图表中所列。用数学模型以及数学方法来分析。

§2 单种群模型

)()(t h x F dt

dx

-= （2.1） 相对增长率 x x F x r /)()(= （a ） 纯补偿模型：当)(x r 单减

（b ） 退偿模型：存在*k ，)(x r 增加，当*0k x <<时；)(x r 减少，

当k x k <<*时。

（c ） 临界退偿模型（稀疏效应）：存在0k ，0)(

0k x <<时。

退偿也称Allee 效应

简单情况：Ex t h =)( [恒定努力量E 模型] 则

Ex x F dt

dx

-=)( (2.2)

若（2.2）是纯补偿模型，则存在唯一平衡点E x ，持续产量

)(E E E x F Ex y ==

产量努力量曲线)(E E x F y =。

（1） Logistic 模型 比例开发 （A ） 恒定努力量

)()1(x f Ex k

x

rx dt dx =--= 正平衡态)1(r

E

k x E -=

持续产量)1(r

E

kE Ex y E E -==

最大持续产量MSY kr x E E 4

1

*

==

r E 2

1*=

)0('

=E y

（产量——努力量曲线）

（B ） 脉冲收获（周期脉冲）

??

??

?=-=-=?=≠-=+τ

τk t Ex t x t x x k k t k

x rx dt dx

当当)()(3,2,1)

1( （2.4）

对于每一个确定捕捞周期τ和恒定努力量E ，脉冲微分方程（2.4）存在唯一τ周期解)(*t x ，即)()(**t x t x =+τ，初值0*)0(x x =是τ和E 的函数),(0E x τ。 周期解),,(*τE t x 是全局渐近稳定的。 持续产量),,(*τE t Ex y E

=

对于固定的捕捞周期τ有最大持续产量

MSY ),,(*

**τE t x E =。

问题：对于固定的努力量0E 我们可以选择一个捕捞周期*τ得到最大持续产量：

MSY=),,(*

0*0τE t x E 。

（C ） 周期开发， 周期Logistic 模型

)()())(1)((t x t E t k x

t r dt dx --= （2.5）

)(t r ，)(t k ，)(t E 为ω周期函数。

[范猛已完]证明存在唯一全局渐近稳定正周期解。 李海龙推广到一般模型

)()(),(t x t E x t f dt

dx

-= (2.6) 与前一样对于（2.5）(2.6)可以得到持续产量以及MSY 。

(D) 周期脉冲开发，周期Logistic 模型

??

??

?∈=?∈≠-=N

k t x b t x N

k t t t x t a t r t x dt dx

k k k k )()()]()()()[( （2.6）

)()(t r t r =+ω )()(t a t a =+ω

脉冲周期k k t t T -=+1

两种情况 ①ω=T

②ω≠T 在系数周期),0(ω内有n 个脉冲，即

ω+=+k n k t t

k n k b b =+ N k ∈

两种情况有结论：

若1110)(1

ττμd r k

n

k e b (n

为整数),则系统有唯一正周期

解且是全局渐近稳定的，同样可求得持续产量与MSY 。

(E) 脉冲周期与时变周期不同的情况

ω≠nT 记T ωυ= 结论：

若υ=有理数，且1)11(

0)(1

τ

τυμd r k

n

k e b ， 则系统（2.6）由唯一全局渐近稳定正周期ω周期解

若1>μ， 则（2.6）一切解)(t x 有0)(lim =∞

→t x t 。 问题：可以知道当υ=无理数（2.6）一切解M t x ≤)(且

不存在周期解，计算表明有拟周期解。

（F ） 种群增长的时滞效应对收获生产的影响

Ex k

t x rx dt dx ---=))

(1(τ （2.7）

由于系统（2.7）与系统（2.3）平衡点计算相同，所以

正平衡态)1(r

E

k x E -=

持续产量)1(r

E

kE Ex y E E -==

MSY=kr x E E 4

1

*

=

（G ） 时滞效应模型的脉冲收获

Yu.J.S Tang X.H.

Bll. Londen. Math. Soc. 34(2002) no.3 319-328

??

???====+-++ 321)()(0

)](1)[()(，，k t x b t x t t t x t x t r dt

dx

k k k k τ (2.8)

),0)(,0(∞∞∈C r 0>τ k t 单增∞→

10≤=t t x ? )0,(τ-∈t

结论： ① 若01=∏∞

=k k b

且1)

(1

1≤=?∏

--≤≤-t

t k s

t s ds b s r R k τ

时很大的t ，

则（2.8）一切解0→，当∞→t ② 若01>∏∞

=k k b ，∞=?∞

0)(ds s r

且23

)

(1

1≤

=?∏

--<≤-t

t k s

t s ds b s r R k τ

对一切0>t ，

则（2.8）一切解0→，当∞→t 。 问题：当01>∏∞

=k k b 且

R ≤2

3

时，解如何？ 当01

=∏∞

=k k b 且1>R

时，解如何？

(2) Logistic 模型常数开发 (A) 最大承受生产

F h x k x k

r

dt dx =--=)( （2.9） 一般情况有两个平衡态

)4(212

1r

hk k k x h --= )4(2122r hk k k x h -

+= h x 2稳定，h x 1不稳定。

这时有))((21h h x x x x k

r

dt dx ---=。 当04*2

=-r

k

h k 时，h x 1与h x 2重合。 当*h h >时，0

4

*rk

h =

称最大承受生产，这时h h h x x x ==21。

（B ） 脉冲收获的最大承受生产

??

???=-=?=≠-=k k t t h x k t t x k x k

r

dt dx 3,2,1)

( （2.10）

设

ω+=+k k t t 1，

对于给定的h 和ω与（2.9）有类似的

结论。一般情况下(2.10)

存在两个周期解),,(1ωh t x ，),,(2ωh t x 。也有类似的结论：对于给定的ω存在*h 使),,(),,(),,(*2*1*ωωωh t x h t x h t x ==，

)(*ωh 即为最大承受生产。

记

12为

),(10ωh x ，),(20ωh x ，),(*0ωh x ，均为h 和ω的函数。

当时0→ω时（脉冲连续化）我们有 h x h x 110),(→ω h x h x 220),(→ω

h x h x →),(*

0ω 4

*

rk h →

当0→h 时（收获量减少为零）我们有 0),(10→ωh x k h x →),(20ω k x h →。

（C ） 脉冲收获的最大持续产量MSY

对于模型(2.10)我们要求在时间区间],0[T 内获得最大

产量。我们假设在],0[T 内有n 个脉冲

设1=n ，则T =ω，MSY=k ；

2=n ，则2

T =ω ，MSY=)2(2*T

h ；

一般地MSY=

)(*n

T nh ； ∞=n ，MSY=T rk

4

。

问题：是否对于所有的n 存在一个最大的MSY?

(D) 最优生产方式 研究单种群模型

????

?=-=-+=≠=0

)0()()0(2,1)(x x I

x x n i t x f dt dx

i i i

τττ 当 （2.11）

有n 个脉冲时刻n τττ<<<< 210 对应的脉冲收获量为n I I I I 321,,

要求在时刻],0[T 内完成n 次脉冲，即T n ≤τ 并且产量达到要求数量I I I I n =+++ 21。 问题：是否存在一种方式（选择i i I 和τ）使剩余产量达到最大？

Angelova:Appl.Anal.69(1998)no.3-4,207-221

对于Logistic 模型)()(x k x k

r

x f -=

，以及 Gomper 模型)ln ()(x r r x x f -=均有结论。

（E ） 离散种群模型的开发

)()](1

1)[()1(n b n x k

n x n x +-=+μ (2.12)

)(n b 为在时间1+n 时的收获率， )(n b 为ω周期序列

Zhang R.Y .Z:Comput .Math.Appl.39(2000)no1.2 77-90 得到最大承受生产*

24)1()(h k n b =-<μ

μ.

当*

)(h n b <时,(2.12) 存在两个ω周期函数解。

§3 生物经济学模型

（1）几个概念

p 为产品价格，设p 为常数。

TR )(E pY =努力量E 所得到的能持续的“收益总量”。 TC 总成本，简单地设TC 与努力量E 成正比，TC=cE 。 能持续的经济利润CE E pY TC TR -=-)(。 生物经济平衡0=-TC TR ，由此可得到*E E =。 1． 当*E E >时，↓E 。（赔钱而减少捕鱼者） 2． 当*E E <时，↑E 。（得利润渔民增加） 例：Logistic 模型

)1()(r

E

kE E Y -=

生物经济平衡： 0)1(=--=-cE r

E

pkE TC TR ，这时

)1(*pk

c r E -=，p c

r E k x =-=)1(*

*，成本—价格比。

当p k c

>时，捕鱼成本高于鱼价格，亏本，↓E 。 当p k

c

<时，捕鱼成本低于鱼价格，盈利，↑E 。

（2）种群水平与努力量模型

努力量作为一个变量最简单模型

?????-=-=)()(cE pxE R dt

dE Ex x F dt dx

（2.13） R 为常数，dt

dE

与现实经济利润成正比.

关于方程(2.13)有结论： 1．

)(x F 为

Logistic 模型或纯补偿情况，系统有唯一正平衡

点且全局渐近稳定。

2． )(x F 为退偿情况，平衡点不稳定。

在模型（2.13）中产品的价格p 被视为常数，实际上产品的市场价格常因各种因素而变化，例如：

（A ） 产品价格因季节性需要不同而周期性变化，)

(t p 是 t 的周期函数

?????-=-=])([)(cE xE t p R dt

dE Ex

x F dt dx

(2.14)

1． )(x F 为Logistic 模型或纯补偿情况，系统有唯一正ω周期解且是全局稳定的。 2． )(x F 为退偿情况？chaos?

（B ） 政策性调价对产量的影响

?????-=-=])([)(cE xE t p R dt

dE Ex x F dt dx

?????><=T

t p T t R t p 2)(

(2.15)

(2．15)解的情况？

（C ） 产品价格依赖于市场上产品数量——物以稀为

贵

Ex

p +=

ωυ产量越高，产品价格越低

当0→x 时,

ω

υ=

p 。 当∞→x 时，0=p 。

(i))(x F 为Logistic 或纯补偿模型? (ii))(x F 为退偿，另外若)(t υυ= )(t ωω=?

（3）最优持续产量OSY

OSY ：获胜最多而永远收获不改变群体剩余产量 OSY=MSY+经济获利最多

)()(t h x F dt

dx

-= 收获量)(t h 依赖于种群水平)(t x 和努力量)(t E ，记为生

产函数),(x E Q h =。

为了数学推理方便一般取为线性形式E x G h )(=。 一般说来对于固定的努力量当种群水平增加时，收获量

是不会减少的，所以)(x G 是不减函数。

目标函数，记在t ?时间内的纯经济收入为t R ?，则

t h x C p t E c x pG t cE ph t E x R t R ?-=?-=?-=?=?))(())(()(),(

其中)

()(x G c

x C =

为单位收获量的成本。 要达到的目标：已贴现后的总收入PV 达到最大 记0>δ为贴现率，一般说来δ为利率，税收等。

???∞

-∞

-∞

---=-=-==0

.

.

0))())((()()(62.1)())((),(dt

x x F x C p e

x

x F t h dt

t h x C p e

dt

E x R e PV t

t

t δδδ）由（

应用极大值原理，可求得最优种群平衡态水平和最优收获努力量E 。

例： 状态系统 dt dx =)()1(t u k

x

rx --

初值

0)0(x x =；

条件

max

0x x ≤≤

目标 ?=T

t d t u J 0

)( 使得 max J

用极大值原理来解这个问题

设)(t p 是协态变量，取Hamiltonian 函数

??

?

???--+=u k x rx p u p p u x H )1(),,(0

00≥p

协态方程

)2(x k k

pr x H dt dp --=??-= 利用最优条件可以得到 奇异极值曲线 2

k x = 奇异控制为 4rk

u = 注：正好是常数开发时 最大承受生产

4*rk

h = 例2 沿海——外海捕鱼模型

)(1t x 沿海渔场生物量，)(2t x 外海渔场生物量

一般性的模型

?????--+=--+=22212221112111

)()()()(x E x x x F dt

dx

x E x x x F dt dx σσ (2.18)

求Osy ：目标函数 []()()}{?+∞

--+-=0

22211121E c px E c px e E E J t δdt

通过分部积分可得

?∞

+-??

???????????

?

???--+-+???--+-=0.2212222.1121111)()()()()()(x x x x F x c p x x x x F x c p e

J t

σσδ

dt

对于具体的

21,F F ，我们可以用极大值原理求解这个最优

问题。以下考虑几个具体例子。 （i ） 近海捕鱼最优收获

??

???-+-=--+-=)()()11(212221121111

x x x r dt dx Ex x x x k r x dt dx σσ (2.19)

容易计算正平衡态，*

12*

2x r x σ

σ

+=

)1(1

*1α--

=r E

k x , )

(212σσα+=

r r r

持续产量)1(1

α--

=r E kE y E 0'

=E y 1*

)1(21r E α-= )1(2

)(**1α+=k

E x

最大持续产量

)1(

12

1α-=

kr Msy 扩散到此产量减少

当0→σ时，0→α，14

1

kr Msy =

，当∞→σ时，1→α，0→Msy 问题1 ： 季节性迁移对渔业产量的影响

??

???-=--=2

2211111

)1(x r dt dx Ex k x x r dt dx k t t ≠ （2.20） ???-=?-=?)()(212

121x x x x x x σσ k t t =

问题2 ： 沿海，外海捕鱼经济收入比较

?????--+-=--+-=2212221121111

)()()1(Ex x x x r dt

dx

Ex x x k x x r dt dx βσασ （2.21）

0=β为沿海收获, 0=α时为外海收获.

但)(11x C 和)(22x C 单位收获量成本不同，要求目标总的获利润最大

问题3 : 脉冲式捕捞

?????-+-=-+-=)

()()1(21222

121111

x x x r dt

dx

x x k x x r dt dx σσ 当k t t ≠ (2.23) 22Ex x -=? 当k t t =时

问题4 : 季节性迁移,外海脉冲式捕捞

???????-=-=)1()1(222221

1111

k x

x r dt

dx k x x r dt dx ωm t ≠ 2,1=m (2.24)

)(121x x x -=?σ )(212x x x -=?σ 当ωm t = 22Ex x -=? 当ωn t

=, km n =, i k 2=, 2,1=i

(ii) 阶段结构最有收获模型 1 最简单的时滞阶段模型

()?????---=---=--)()()()()(222222121t Ex t x t x e dt

dx

t x e t rx t x dt

dx r r βτατααττ

（2.25）

（初始值略，下同）

收获成年鱼，依靠网眼大小来控制

（时滞阶段结构模型不能用于幼年鱼的收获）

这个模型的平衡态，持续产量以及最大持续产量的讨论与Logistic 模型类似，十分容易。（2.25）形式是二维的，实质是一维的。 2 常量收获成年种群

?????---=---=--h

t x t x e dt

dx t x e t rx t x dt dx r r )()()()()(22222121βτατααττ

记τ

αθr e -=（2.26） 平衡态

02*2

*

2=--h x x βθ

β

βθθ242

*

2h x -±=

最大承受生产 βθ22

=h