2019年单招理科数学模拟试题含答案

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2019 年单招理科数学模拟试题（一）【含答案】

一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有

且只有一项符合题目要求 .

1．复数 z 满足方程= ﹣ i（ i 为虚数单位），则复数 z 在复平面对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合 A={x|x2+x ﹣ 2＜ 0}，集合 B={x|（ x+2 ）（ 3﹣ x）＞ 0}，则（ ?RA）∩B 等于（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。

A．{x|1≤x＜3}B． {x|2≤x＜ 3}

C． {x|﹣ 2＜ x＜ 1}D ．{x|﹣2 ＜x≤﹣ 1 或 2≤x＜ 3}

3．下列函数中，在其定义域，既是奇函数又是减函数的是（）

A．f （ x）= B． f（ x） =C． f（ x） =2 ﹣ x﹣2xD ．f （ x） = ﹣ tanx

4．已知“x＞2 ”是“x2＞ a（a∈ R）”的充分不必要条件，则 a 的取值围是（）

A．（﹣∞，4） B．（ 4， + ∞）C．（ 0， 4]D ．（﹣∞， 4]

5．已知角α是第二象限角，直线2x+ （ tan α）y+1=0 的斜率为，则 cos α等于（）

A． B．﹣ C． D．﹣

6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为 8，则输出 s 的值为（）

A．16B． 8C． 4D． 2

7．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）

A．﹣ 112B ． 112C． 56D．﹣ 56

8．在△ ABC 中，∠ A=60 °， AC=3 ，面积为，那么BC的长度为（）

A．B． 3C． 2D．

.

9．记曲线 y=与 x 轴所围成的区域为 D，若曲线 y=ax （ x﹣2 ）（ a＜ 0）把 D 的

面积均分为两等份，则 a 的值为（）聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。

A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣

10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30 名学生参加环保知识测试，得

残分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me ，众数为m0，平均值为，则（）

骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。

A．me=m0=B． me=m0 ＜ C． me ＜m0 ＜ D． m0 ＜me ＜

11．已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且AB=6 ，BC=2，则棱锥 O

﹣ABCD 的侧面积为（）酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。

A．20+8B． 44C． 20D． 46

12．函数 f（ x）=2sin （ 2x++ φ）（ |φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y 轴对称，

则以下判断不正确的是（）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。

A．是奇函数B．为f（x）的一个对称中心

C． f （ x）在上单调递增D． f（x）在（ 0，）上单调递减

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13．若变量x， y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．

14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积

为．

15．已知抛物线y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C：﹣=1（ a＞0 ，b ＞0 ）渐近线的距离为，

.

点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1（ 0，c）的距离与到直线 x= ﹣ 2 的

距离之和的最小值为 3 ，则该双曲线的方程为．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。

16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2 则θ的取值围为．

三、解答题：本大题共 5 小题，共70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知 Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和， S6=51 ， a5=13 ．

（1 ）求数列 {an}的通项公式；

（2 ）数列 {bn} 的通项公式是bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．

18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为 1、 2、 3、 4，从袋中每次任取一个球，记下其编

号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为 3 后放同袋中继续取球；若所取球的编号

为奇数，则停止取球．厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。

（1 ）求“第二次取球后才停止取球”的概率；

（2 ）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为 X，求 X 的分布列和数学期望．

19．在三棱椎A﹣ BCD 中， AB=BC=4 ， AD=BD=CD=2，在底面BCD 作 CE⊥CD，且

CE=．茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。

（1）求证： CE∥平面 ABD；

（2）如果二面角 A﹣ BD﹣C 的大小为 90°，求二面角 B﹣ AC﹣ E 的余弦值．

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+=1 （ a＞ b ＞ 0）的离心率为．且过点（ 3，﹣ 1）．

（1）求椭圆 C 的方徎；

（2）若动点 P 在直线 l： x= ﹣ 2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ， N 两点，使得 PM=PN ，

再过 P 作直线 l′⊥ MN ，直线 l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理

由．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。

21．已知函数 f（x） = m（ x﹣1 ） 2﹣ 2x+3+lnx

（ m≥1）．（1 ）求证：函数 f （x）在定义域存在单调递减区间

[a，b] ；

（2 ）是否存在实数m，使得曲线C： y=f （ x）在点 P（ 1， 1）处的切线l 与曲线 C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞。

[选修 4-1 ：几何证明选讲]

22．选修 4﹣ 1：几何证明选讲

.

连接 AD 并延长交⊙O 于点 E，若 PA=2，∠APB=30°．預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥。

（Ⅰ ）求∠AEC 的大小；

（Ⅱ ）求 AE 的长．

[选修 4-4 ：极坐标与参数方程]

23．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x0y 中，动点 A 的坐标为（ 2﹣ 3sinα，3cosα﹣ 2），其中α∈ R．在极坐标

渗系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为ρcos（θ﹣）=a ．

釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨。

（Ⅰ ）判断动点 A 的轨迹的形状；

（Ⅱ ）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，数 a 的值．

[选修 4-5 ：不等式选讲 ]

24．已知函数 f（x） =|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|．

（1）若 a=2 ，解不等式 f（ x）≥2；

（2）若 a＞ 1， ?x∈R，f（ x）+|x ﹣1|≥1，数 a 的取值围．

2019 年单招理科数学模拟试题（一）参考答案

一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每个小题给出的四个选项中，有

且只有一项符合题目要求.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵。

1．复数 z 满足方程= ﹣ i（ i 为虚数单位），则复数z 在复平面对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】由= ﹣ i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数

z 在复平面对应的点的坐标，则答案可求．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢。

【解答】解：由= ﹣i ，

得，即 z=1+i ．

则复数 z 在复平面对应的点的坐标为（1， 1）．

位于第一象限．

故选： A．

2．已知集合A={x|x2+x ﹣ 2＜ 0}，集合 B={x|（ x+2 ）（ 3﹣ x）＞ 0}，则（ ?RA）∩B 等于（）贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉。

A．{x|1≤x＜3}B． {x|2≤x＜ 3}

C． {x|﹣ 2＜ x＜ 1}D ．{x|﹣2 ＜x≤﹣ 1 或 2≤x＜ 3}

.

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 B，求出 A 的补集，找出补集与 B 的公共部分，能求出

结果．

【解答】解：∵集合 A={x|x2+x ﹣ 2＜ 0}={x| ﹣ 2＜ x＜ 1}，

集合 B={x| （ x+2 ）（ 3﹣ x）＞ 0}={x| ﹣ 2＜ x＜3}，∴

（ CRA）∩B={x|x≤﹣ 2 或 x≥1}∩{x|﹣ 2＜x＜3}

={x|1 ≤x＜ 3}．

故选： A．

3．下列函数中，在其定义域，既是奇函数又是减函数的是（）

A．f （ x）= B． f（ x） =C． f（ x） =2 ﹣ x﹣2xD ．f （ x） = ﹣ tanx

【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即

可得到答案．

【解答】解： A 中， f（ x） =是奇函数，但在定义域不单调；

B 中， f（ x） =是减函数，但不具备奇偶性；

C 中， f（ x） 2﹣ x﹣ 2x 既是奇函数又是减函数；

D 中， f（ x） = ﹣ tanx 是奇函数，但在定义域不单调；

故选 C．

4．已知“x＞2 ”是“x2＞ a（a∈ R）”的充分不必要条件，则 a 的取值围是（）A．（﹣∞，4） B．（ 4， + ∞）C．（ 0， 4]D ．（﹣∞， 4]

【考点】充要条件．

【分析】由x＞ 2 得到 x2＞ 4，根据充分不必要条件的概念得：a≤4．

【解答】解：由题意知：由x＞2 能得到 x2＞ a；而由 x2＞ a 得不出 x＞ 2；

∵x＞ 2，∴ x2＞ 4；

∴a≤4；

∴a 的取值围是（﹣∞，

4]．故选： D．

5．已知角α是第二象限角，直线2x+ （ tan α）y+1=0 的斜率为，则cosα等于（）

A．B．﹣C．D．﹣

【考点】直线的斜率．

【分析】表示出k，求出 tanα，根据角α是第二象限角，求出cosα即可．

【解答】解：由题意得：

k= ﹣=，

故 tan α= ﹣，

.

故cosα= ﹣，

故选： D．

6．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为 8，则输出s 的值为（）

A．16B． 8C． 4D． 2

【考点】程序框图．

【分析】已知 b=8 ，判断循环条件， i＜ 8，计算循环中 s， i， k，当 x≥8 时满足判断框的条件，

坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱。

退出循环，输出结果 s 即可．

【解答】解：开始条件i=2 ，k=1 ，s=1 ，i＜8 ，开始循环，

s=1 ×（1×2） =2 ， i=2+2=4 ， k=1+1=2 ， i＜ 8，继续循环，

s=×（2×4） =4 ， i=6 ， k=3 ， i＜ 8，继续循环；

s=×（4×6） =8 ， i=8 ， k=4 ， 8≥8，循环停止，输出 s=8 ；

故选 B：

7．（﹣） 8 的展开式中， x 的系数为（）

A．﹣ 112B ． 112C． 56D．﹣ 56

【考点】二项式系数的性质．

【分析】先求出通项公式，再令4﹣ r=1 ，由此可得开式中x 的系数

【解答】解：（﹣） 8 的展开式的通项为Tr+1= （﹣ 2） rC8rx4﹣r，

令4﹣ r=1 ，

解得 r=2 ，

∴展开式中 x 的系数为（﹣ 2） 2C82=112 ，故

选： B．

.

8．在△ ABC 中，∠ A=60 °， AC=3 ，面积为，那么BC的长度为（）

A．B． 3C． 2D．

【考点】三角形中的几何计算．

【分析】根据三角形的面积公式求得丨AB 丨， cosA=，sinA=，求得丨 AD

丨，丨 BD 丨在△ BDC 中利用勾股定理即可求得BC 的长度．蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦。

【解答】解：在图形中，过 B 作 BD⊥AC

S△ABC=丨AB丨?丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB 丨 =2 ，

∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2× =1，

sinA=，则丨 BD 丨 = 丨 AB 丨 sinA=2 ×=，

丨CD 丨 =丨 AC 丨﹣丨 AD 丨=3 ﹣ 1=2 ，

在△ BDC 中利用勾股定理得：丨BC 丨 2= 丨 BD 丨 2+ 丨 CD 丨 2=7 ，

则丨 BC丨=，

故选 A．

9．记曲线 y=与 x 轴所围成的区域为 D，若曲线 y=ax （ x﹣2 ）（ a＜ 0）把 D 的

面积均分为两等份，则 a 的值为（）買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌。

A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣

【考点】直线与圆相交的性质．

【分析】求出区域 D 表示（ 1 ， 0）为圆心， 1 为半径的上半圆，利用曲线y=ax （x﹣ 2）（ a

綾镝鯛駕櫬鹕

＜0 ）把 D 的面积均分为两等份，可得=，即可得到结论．

踪韦辚糴飙钪。

.

【解答】解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），

则区域 D 表示（ 1， 0）为圆心， 1 为半径的上半圆，

而曲线 y=ax （ x﹣ 2）（ a＜0 ）把 D 的面积均分为两等份，

∴=，

∴（﹣ ax2）=，

∴a= ﹣，

故选： B．

10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30 名学生参加环保知识测试，得

驅分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me ，众数为m0，平均值为，则（）

踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼。

A．me=m0= B． me=m0 ＜C． me ＜m0 ＜D． m0 ＜me ＜

【考点】众数、中位数、平均数．

【分析】根据题意，由统计图依次计算数据的中位数、众数、平均数，比较即可得答案．

【解答】解：根据题意，由题目所给的统计图可知：

30 个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、 6，故中位数 me=5.5 ，

得分为 5 的最多，故众数m0=5 ，

其平均数=≈5.97；

则有 m0 ＜ me ＜，

故选： D．

11．已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上，且AB=6 ，BC=2，则棱锥 O ﹣ABCD 的侧面积为（）猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬。

A．20+8B． 44C． 20D． 46

【考点】球接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，

锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝。

求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．

【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD 的侧棱长为： 5．所以侧面中底面边长为 6 和 2，

.

所以棱锥 O ﹣ABCD 的侧面积为： S=4 ×6+2=44 ．

故选 B．

12．函数 f（ x）=2sin （ 2x++ φ）（ |φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y 轴对称，则以下判断不正确的是（）構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲。

A．是奇函数 B．为 f（ x）的一个对称中心

C． f （ x）在上单调递增 D． f（x）在（ 0，）上单调递减

【考点】函数y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．

【分析】利用诱导公式、函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再

利用三角函数的奇偶性、单调性，以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从

而得出结论．輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧。

【解答】解：把函数f（ x）=2sin （ 2x++ φ）（ |φ|＜）的图象向左平移个单位后，

得到 y=2sin （ 2x++ φ+ π）= ﹣ 2sin（2x++ φ）的图象，

再根据所得关于 y 轴对称，可得+ φ=k π+， k∈ Z，∴ φ=，

∴f （ x） =2sin （ 2x++ φ） =2cos2x ．

由于 f（ x+） =2cos （ 2x+） = ﹣ sin2x 是奇函数，故 A 正确；

当 x=时， f（ x） =0 ，故（， 0）是 f（ x）的图象的一个对称中心，故 B 正确；

在上， 2x∈（﹣，﹣）， f（ x）没有单调性，故 C 不正确；

在（ 0，）上， 2x∈（ 0，π）， f（x）单调递减，故 D 正确，

故选： C．

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分.

13．若变量x， y 满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为6．

【考点】简单线性规划．

.

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，

联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰。

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得 A（4，2），

化目标函数z=2x ﹣ y 为 y=2x ﹣ z，由图可知，当直线 y=2x ﹣ z 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为6．识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减。

故答案为： 6．

14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为

．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】首先还原几何体为体和三棱锥的组合体，分别计算体积得到所求．

【解答】解：由三视图得到几何体如图：

其体积为；

故答案为：

15．已知抛物线y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C：﹣=1（ a＞0 ，b ＞0 ）渐近线的距离为，点 P 是抛物线y2=8x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点F1（ 0，c）的距离与到直线x= ﹣

2 的距离之和的最小值为

3 ，则该双曲线的方程为为﹣ x2=1 ．凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄。

【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．

【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得a=2b ，再利用抛物线的

定义，结合 P 到双曲线 C 的上焦点 F1（ 0 ，c）的距离与到直线x= ﹣ 2 的距离之和的最小值

为 3，可得 FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻。

【解答】解：抛物线y2=8x 的焦点 F（ 2，0 ），双曲线 C：﹣=1 （ a＞ 0， b ＞0）一条

鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬。

渐近线的方程为ax﹣by=0 ，

∵抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C：﹣=1 （ a＞ 0， b ＞ 0）渐近线的距离为，

∴，

∴2b=a ，

∵P 到双曲线 C 的上焦点F1（ 0， c）的距离与到直线x= ﹣ 2 的距离之和的最小值为3，

∴F F1=3，

∴c2+4=9 ，

∴c=，

∵c2=a2+b2 ， a=2b ，

∴a=2 ， b=1 ，

∴双曲线的方程为﹣ x2=1 ．

故答案为：﹣ x2=1 ．

16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2 则θ的取值围为．

【考点】向量的三角形法则．

【分析】由| + |=2，|﹣|=2 ，可得：+2=12 ，﹣

2=4 ，可得，，利用 cosθ=与基本不等式的性质即可得出．硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶。

【解答】解：由 | + |=2，| ﹣ |=2 ，可得：+2=12 ，

﹣2=4 ，

∴=8 ≥2，=2 ，

∴cos θ=≥ ．

∴θ∈．

故答案为：．

三、解答题：本大题共 5 小题，共70 分 .解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知 Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和， S6=51 ， a5=13 ．

（1 ）求数列 {an}的通项公式；

（2 ）数列 {bn} 的通项公式是 bn=，求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn．

【考点】等比数列的前n 项和；等比关系的确定．

【分析】（ 1）设等差数列 {an}的公差为 d，利用 S6=51 ，求出 a1+a6=17 ，可得 a2+a5=17 ，从而

阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙。

求出 a2=4 ，可得公差，即可确定数列 {an}的通项公式；

（2）求出数列 {bn} 的通项公式，利用等比数列的求和公式，可得结论．

【解答】解：（ 1）设等差数列 {an}的公差为 d ，则

∵S6=51 ，

∴×（ a1+a6 ） =51 ，

∴a1+a6=17 ，

∴a2+a5=17 ，

∵a5=13 ，∴a2=4 ，

∴d=3 ，

∴an=a2+3 （ n ﹣ 2） =3n ﹣ 2；

∴数列 {bn} 的前 n 项和 Sn==（8n﹣1）．

18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为 1、 2、 3、 4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为 3 后放同袋中继续取球；若所取球的编号

为奇数，则停止取球．氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓。

（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；

（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求 X 的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．

【分析】（ 1）记“第二次取球后才停止取球”为事件 A，利用相互独立事件同时发生的概率计

算公式能求出“第二次取球后才停止取球”的概率．釷鹆資贏車贖滅獅赘慶獷。

（2）由已知条件推导出X 的可能取值为3，5，6，7，分别求出相对应的概率，由此能求出

X 的分布列和数学期望EX．怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨。

【解答】解：（ 1）记“第二次取球后才停止取球”为事件 A．

∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，

∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，

∴P（ A） =× =．

（2 ）若第一次取到 2 时，第二次取球时袋中有编号为1， 3， 3， 4 的四个球；

若第一次取到 4 时，第二次取球时袋中有编号为1， 2， 3， 3 的四个球．

∴X 的可能取值为3， 5， 6， 7，

∴P（X=3 ）= × = ，P（ X=5 ）= × +× =，

P（X=6 ）=× +× =， P（X=7 ） =× =，

∴X 的分布列为：

X3567

P

数学期望EX=3× +5 × +6 × +7 × =．

19．在三棱椎A﹣ BCD 中， AB=BC=4 ， AD=BD=CD=2，在底面BCD 作 CE⊥CD，且CE=．谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋。

（1）求证： CE∥平面 ABD；

（2）如果二面角 A﹣ BD﹣C 的大小为 90°，求二面角 B﹣ AC﹣ E 的余弦值．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．

【分析】（ 1）由 BD=CD=2，BC=4，可知BD⊥ CD，再由CE⊥ CD，可得CE∥ BD，利用

嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳。

线面平行的判定定理可得结论；

（2）当二面角 A﹣ BD﹣ C 的大小为 90 °时可得 AD⊥平面 BDC，取 AC 中点 F， AE 中点 G，可

证∠ BFG 为二面角 B﹣ AC﹣ E 的平面角，连接 BG，通过解三角形可求得∠ BFG，从而得到

答案．熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰。

【解答】（ 1）证明：∵ BD=CD=2，BC=4，

∴B D2+CD2=BC2 ，

∴BD⊥ CD，

∵CE⊥ CD，∴ CE∥BD，

又CE?平面 ABD， BD?平面 ABD，

∴CE∥平面 ABD ；

（2 ）解：如果二面角 A﹣BD﹣ C 的大小为 90°，

由 AD⊥ BD 得 AD⊥平面 BDC，∴ AD ⊥ CE，

又CE⊥ CD，∴ CE⊥平面 ACD，从而 CE⊥ AC，

由题意 AD=DC=2，∴ Rt△ ADC中，AC=4，

设 AC 的中点为F，∵ AB=BC=4 ，∴BF⊥AC，且 BF=2，

设AE 中点为 G，则 FG∥CE，

由 CE⊥ AC 得 FG⊥ AC，∴ ∠ BFG 为二面角B﹣ AC﹣ E 的平面角，连接

BG，

在△ BCE 中，∵ BC=4 ， CE=，∠ BCE=135°，∴ BE=，

在 Rt△ DCE 中， DE==，

于是在 Rt△ ADE 中， AE==3，

在△ ABE 中， BG2= AB2+ BE2﹣AE2=，

∴在△ BFG 中， cos ∠ BFG== ﹣，

∴二面角 B﹣ AC﹣ E的余弦值为﹣．

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：+=1 （ a＞ b ＞ 0）的离心率为．且

过点（ 3，﹣ 1）．

（1）求椭圆 C 的方徎；

（2）若动点 P 在直线 l： x= ﹣ 2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ， N 两点，使得 PM=PN ，

再过 P 作直线 l′⊥ MN ，直线 l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理

由．鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（ 1）由已知条件推导出，同此能求出椭圆 C 的方程．

（2 ）直线 l 的方程为 x= ﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，

设 M（ x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，利用点差法l′的方程为

，

从而得到 l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，由此推导出l′恒过定

点．纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨。

【解答】解：（ 1）∵椭圆 C：+=1 （ a＞ b＞ 0 ）的离心率为．且过点（3，﹣1），

∴，

解得 a2=12 ， b2=4 ，

∴椭圆 C 的方程为．

（2 ）∵ 直线 l 的方程为x= ﹣ 2，

设 P（﹣ 2，y0），，

当 y0≠0 时，设 M （ x1， y1）， N （x2， y2），由题意知x1≠x2，联立，

∴，

∴，

又∵ PM=PN ，∴ P 为线段 MN 的中点，

∴直线 MN 的斜率为，

又 l′⊥ MN ，∴ l′的方程为，

即，

∴l ′恒过定点．

当 y0=0 时，直线 MN 为，

此时 l′为 x 轴，也过点，

综上， l′恒过定点．

21．已知函数 f（x） =m（ x﹣1 ） 2﹣ 2x+3+lnx （ m≥1）．

（1）求证：函数 f （x）在定义域存在单调递减区间[a，b] ；

（2）是否存在实数m，使得曲线 C： y=f （ x）在点 P（ 1， 1）处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负。【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（ 1）令 f′（x）=0 ，因为△＞ 0，所以方程存在两个不等实根，根据条件进一步可得

濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖。

方程有两个不等的正根，从而得到函数f（ x）存在单调递减区间；

（2）先求出函数y=f （x）在点 P（ 1， 1）处的切线l 的方程，若切线l 与曲线 C 只有一个公共点，则只需方程 f（ x）= ﹣ x+2有且只有一个实根即可．銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎。

【解答】（ 1）证明：令 f′（ x） =0 ，得 mx2 ﹣（ m+2 ） x+1=0 ．（ *）

因为△ =（ m+2 ）2﹣ 4m=m2+4 ＞ 0，所以方程（ * ）存在两个不等实根，记为a，b（ a＜ b ）．

因为 m≥1 ，所以 a+b=＞ 0， ab= ＞ 0，

所以 a＞ 0， b ＞ 0，即方程（ *）有两个不等的正根，因此f′（ x）≤0 的解为 [a，b] ．

故函数 f（x）存在单调递减区间；

（2）解：因为 f′（ 1） = ﹣ 1，所以曲线 C： y=f （x）在点 P（ 1， 1）处的切线 l 为 y= ﹣ x+2 ．

若切线 l 与曲线 C 只有一个公共点，则方程m（ x﹣ 1）2 ﹣ 2x+3+lnx= ﹣ x+2有且只有一个实根．

显然 x=1 是该方程的一个根．

令 g（ x） = m（x﹣1） 2 ﹣x+1+lnx ，则 g ′（x） =．

当 m=1 时，有 g ′（ x）≥0 恒成立，所以 g （ x）在（ 0， + ∞）上单调递增，

所以 x=1 是方程的唯一解， m=1 符合题意．

当m ＞1 时，令 g ′（ x）=0 ，得 x1=1 ， x2= ，则 x2∈（0 ，1），易得 g（ x）在 x1 处取到极小值，在 x2 处取到极大值．挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷。

所以 g （ x2）＞ g （ x1） =0 ，又当 x→0时， g （x）→﹣∞，所以函数 g（ x）在（ 0，）也有一个解，即当m＞ 1 时，不合题意．赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈極嚕。

综上，存在实数m，当 m=1 时，曲线 C：y=f （ x）在点 P（ 1， 1 ）处的切线 l 与 C 有且只

有一个公共点．

[选修 4-1 ：几何证明选讲 ]

22．选修 4﹣ 1：几何证明选讲

如图，已知 PA 是⊙O 的切线， A 是切点，直线 PO 交⊙ O 于 B、 C 两点， D 是 OC 的中点，

连接 AD 并延长交⊙O 于点 E，若 PA=2，∠APB=30 °．塤礙籟馐决穩賽釙冊庫麩适。

（Ⅰ ）求∠AEC 的大小；

（Ⅱ ）求 AE 的长．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（Ⅰ ）先连接 AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠ AOB=60 °；再结合 OA=OB

裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺递灿。

以及∠ ABC= ∠ AEC 即可得到结论；

（Ⅱ ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．

【解答】解：（Ⅰ）连接 AB，因为：∠ APO=30 °，且 PA 是⊙ O 的切线，

所以：∠ AOB=60 °；

∵OA=OB

∴∠ AB0=60 °；

∵∠ ABC=∠ AEC

∴∠ AEC=60 °．

（Ⅱ ）由条件知 AO=2 ，过 A 作 AH⊥BC 于 H，则 AH=，

在 RT△AHD 中， HD=2 ，∴ AD== ．

∵BD?DC=AD ?DE，

∴DE=．

∴AE=DE+AD=．

[选修 4-4 ：极坐标与参数方程]

23．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x0y 中，动点 A 的坐标为（ 2﹣ 3sinα，3cosα﹣ 2），其中α∈ R．在极坐标

仓系（以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 C 的方程为ρcos（θ﹣）=a ．嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁絛鯛。

（Ⅰ ）判断动点 A 的轨迹的形状；

（Ⅱ ）若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点，数 a 的值．

【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ ）设动点 A 的直角坐标为（ x， y），则，利用同角三角函数的基

本关系消去参数α可得直角坐标方程，从而得到点 A 的轨迹．绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧恒蟬。

（Ⅱ ）把直线 C 方程为直角坐标方程，由题意可得直线 C 与圆相切，故有圆心到直线的距

离等于半径，由此解得 a 的值．骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙骠弒。

【解答】解：（Ⅰ）设动点 A 的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数

的基本关系消去参数α可得，

（x﹣ 2） 2+ （ y+2 ） 2=9 ，点 A 的轨迹为半径等于 3 的圆．

（Ⅱ ）把直线 C 方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a ，

由题意可得直线 C 与圆相切，故有=3 ，解得a=3或a=﹣3．

[选修 4-5 ：不等式选讲]

24．已知函数f（x） =|x ﹣ 1|+|x ﹣ a|．

（1）若 a=2 ，解不等式 f（ x）≥2；

（2）若 a＞ 1， ?x∈R，f（ x）+|x ﹣1|≥1，数 a 的取值围．

【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．

【分析】（ 1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得

瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉貿锕。

不等式 f（x）≥2 的解集；

（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数

的单调性可得函数在 R 上先减后增，鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類碍穑。

得到函数的最小值为 f（ 1）+|1 ﹣ 1|=f （1 ）=a ﹣1 ，而不等式 f（ x） +|x ﹣ 1|≥1 解集为 R 即 a

栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬奧伛。

﹣1 ≥1 恒成立，解之即可得到实数 a 的取值围．

【解答】解：（ 1）当 a=2 时，，

由于 f（ x）≥2，

则① 当 x＜ 1 时，﹣ 2x+3 ≥2，∴ x≤；

②当 1≤x≤1 时， 1≥2，无解；

③当 x＞ 2 时， 2x﹣ 3≥2，∴ x≥ ．

综上所述，不等式f（ x）≥2 的解集为：（﹣∞，]∪ [，+∞）；

（2 ）令 F（x） =f （ x） +|x ﹣ 1|，则，

所以当 x=1 时， F（x）有最小值F（ 1） =a ﹣1，

.

只需 a﹣ 1≥1，解得 a≥2，所以实数a 的取值围为 [2， + ∞）．