四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题(考试真题)

目录

四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 4第一次考试题 四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 8.第二次考试题 四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 15.第三次考试题 高一竞赛数论专题1.整除

高一竞赛数论专题 4.第一次考试题

(满分180分)

1.(满分40分)设p 是素数,,a b 是整数,(mod )p p a b p ≡,证明：2

(mod ).p p a b p ≡

2.(满分40分)设p 是奇素数,证明：1

1

()!(1)!p k p p k k -=--∑.(其中!(1)

21,n n n =-?约定0! 1.=)

3.(满分50分)设2

012333n n m d d d d =+?+?+

+?为一个正整数的平方,且{0,1,2},0,1,2,

,.i d i n ∈=

证明：至少有一个 1.i d =

4.(满分50分)设p 是大于1的奇数,若4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+证明：,2p p +是孪生素数. (孪生素数是指相差为2的一对素数).

高一竞赛数论专题

4.第一次考试题解答

(满分180分)

1.(满分40分)设p 是素数,,a b 是整数,(mod )p

p

a b p ≡,证明：2

(mod ).p

p

a b p ≡

证明：因为p 是素数,所以由Fermat 小定理知道(mod ),(mod )p

p

a a p

b b p ≡≡. 于是(mod ).

a b p ≡20分

从而,.a b pq q Z =+∈01122

2()()()p p p p p p p p p p p a b pq C b C b pq C b pq C pq --=+=++++.

所以011122()(mod )p p p p p p p p b pq C b C b

pq b b p q b p --+=+≡+≡ 所以2

(mod ).p p a b p ≡40分

2.(满分40分)设p 是奇素数,证明：1

1

()!(1)!p k p p k k -=--∑.(其中!(1)

21,n n n =-?约定0! 1.=)

证明：因为(1)!(1)(2)((1))()!p p p p k p k -=-----

又1(1)(2)((1))(1)(2)

((1))(1)(1)!(mod ).k p p p k k k p -----≡----≡--

于是1

(1)!(1)

()!(1)!(mod ).

k p p k k p --≡---20分

由Wilson 定理知(1)!1(mod ).p p -≡- 所以()!(1)!(1)(mod ).k

p k k p --≡- 从而

11

1

1

()!(1)!(1)

0(mod )(1p p k

k k p k k p p --==--≡-≡-∑∑是偶数).

所以1

1

()!(1)!

p k p p k k -=--∑40分

3.(满分50分)设2012333n n m d d d d =+?+?++?为一个正整数的平方,且{0,1,2},0,1,2,

,.i d i n ∈=

证明：至少有一个 1.i d =

证明：因为2

012333n n m d d d d =+?+?+

+?为一个正整数的平方,所以012,,,,n d d d d 不全为0.

对于任意的,0,1,1(mod3)x x ≡-,所以2

0,1(mod3).x ≡ 所以00,1(mod3).m d ≡≡所以00d =或1.

若00,d =则2

12333.n n m d d d =?+?+

+?从而3|.m 因为2*,.m t t N =∈所以23|.t 从而3|,t 于是23|.m

于是13|d ,所以10.d =则2

22223333(33)n n n n m d d d d d -=?+

+?=+?+

+? .

于是22333n n d d d -+?++?是一个正整数的平方,按上面的推导方法可得20.d =

如此下去,可以推导出0120.n d d d d =====(矛盾)

若01d =,则结论成立. 所以0 1.d = 至少有一个 1.i d =

4.(满分50分)设p 是大于1的奇数,若4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+证明：,2p p +是孪生素数. (孪生素数是指相差为2的一对素数).

证明：引理 若(1)!1(mod ).p p -≡-则p 是素数.

引理的证明：假设p 不是素数,则p 为合数,于是.p ab =其中1,.a b p <<于是,a b 必是1,2,,1m -中的

某个数.若a b ≠,则|(1)!p p -矛盾.若a b =,则2

.m a = 当2a >时,2

2a a >因为21,2,

,1a -一定含有,2a a ,所以22|(1)!a a -矛盾.

当2a =时, 4.p =所以(1)!3!1(mod ).p p -=≡/矛盾. 所以假设错误, p 是素数. 10分

回到原题,因为4(1)!4(mod (2)).p p p p -+≡-+所以(2)|4(1)!4p p p p +-++.

因为p 是奇数,所以(,2)(,2) 1.p p p +==

于是|4(1)!4p p p -++且(2)|4(1)!4p p p +-++.

因为|4(1)!4p p p -++,所以|4[(1)!1]p p -+,p 是奇数,(,4) 1.p =|(1)! 1.p p -+ 即(1)!1(mod ).p p -≡- 由引理知道p 是素数. 30分

因为(2)|4(1)!4p p p +-++,所以(2)|4(1)!2p p +-+,p 是奇数,(,2) 1.p =(2)|2(1)! 1.p p +-+ 即2(1)!1(mod 2).p p -≡-+

于是(1)(2)(1)!1(mod 2).p p ---≡-+也就是(21)(22)(1)!1(mod 2).p p p p +-+--≡-+ 即((2)1)!(1)!(1)(1)!1(mod 2).p p p p p p +-=+=+-≡-+ 由引理知道2p +是素数. 所以,2p p +是孪生素数. 50分

高一竞赛数论专题 8.第二次考试题

(满分180分)

1.(满分40分)设k 是非负整数,记号||k a b 表示b 恰被a 的k 次方整除,即1

|,.k k a b a

b +

设,m s 都是大于1的正整数,且2|| 1.s

m -证明：对所有的正整数n 都有22||1n

n s m +-成立.

2.(满分40分)证明：对每个素数,p 有无穷多个正整数,n 使得|2.n

p n -

3.(满分50分)证明：对于任意的正整数,k 1

2

0!

(!)()!

k j j k j k -=+∏为整数.

4.(满分50分)以(,)S n p 表示(1)n

x +的展开式中不可被p 整除的系数的个数. 证明：2017

(2018,2017)S 可被2018整除.

高一竞赛数论专题 7.第二次考试题解答

1.(满分40分)设k 是非负整数,记号||k

a b 表示b 恰被a 的k 次方整除,即1

|,.k

k a b a

b +

设,m s 都是大于1的正整数,且2|| 1.s

m -证明：对所有的正整数n 都有22||1n

n s m +-成立. 证明：方法1 因为2|| 1.s m -所以1

2|1,2 1.s s m m +--于是0021,s m q q =+是正奇数.

我们用数学归纳法证明.

当1n =时,2222111

000001(21)1222(21).s s s s s m q q q q q ++--=+-=+=?+ 因为0q 是正奇数,所以1

002(21).s q q -+所以1

2222

|1,2 1.s s m m ++--即122|| 1.s m +-

所以当1n =时,结论成立.

假设当n k =时,结论成立,即22||1k k s m +-.也就是2122|1,2 1.k

k

k s k s m m +++--

于是221,k

k s k k m q q +=+是正奇数. 当1n k =+时,1

2

222222

1111()1(21)1222(21).k k

k s k s k s k s k s k k k k k m m q q q q q +++++++-+-=-=+-=+=+

因为k q 是正奇数,所以12(2

1).k s

k k q q -++所以1

112222|1,2 1.k k k s k s m m ++++++--即1

122|| 1.k k s m +++-

即当1n k =+时,结论成立.

于是对所有的正整数n 都有22||1n

n s m +-成立. 方法2：我们用数学归纳法证明. 当1n =时,2

1(1)(1).m m m -=-+

因为2||1,s

m -1,s >又2||2,所以2||1m +所以1

22|| 1.s m +-

所以当1n =时,结论成立.

假设当n k =时,结论成立,即22||1k

k s m +-. 当1n k =+时,1

2

22221()1(1)(1).k k k k

m m m m +-=-=-+

因为22||1,k

k s m +-1,s >又2||2,所以22||1,k

m +所以1

122|| 1.k k s m +++-

即当1n k =+时,结论成立.

于是对所有的正整数n 都有22||1n

n s m +-成立.

方法3 一方面21

22221(1)(1)(1)

(1)(1)n

n n m m m m m m ---=-++++.

由于2||1,s

m -则m 为奇数.故22|1(0,1,2,,1).i

m i n +=-

所以1

20

2|

(1).i

n n

i m

-=+∏又2| 1.s m -

所以1220

2

|(1)(1) 1.i

n

n n s

i m m m -+=-+=-∏

另一方面,,m s 都是大于1的正整数,所以2,s ≥于是4| 1.m -

1

2220

112(1)(1)2422(21).i i

j

i j m m m m q q -=+=-+=-++=+=+∏即22||1(0,1,

,1).i

m i n +=-

结合2||1,s

m -所以22|| 1.n

n s m +-

方法4 1

2221(1)(1)(1)

(1).n

n m m m m m --=-+++

因为2|1,s

m -对于任意的12,1(1)(1),k

k k m m m m -≥-=-+++所以2|1s k m -.

设12,k

m A -=则1

2

|.s A -

因为1,s >所以A 是偶数.112222(1).k

k

m m A A +=-+=+=+1A +是奇数. 所以2|| 1.k m +又2|| 1.s

m - 所以1

220

2||(1)(1) 1.i n

n n s

i m m m -+=-+=-∏

方法5 一方面,由于2||1s

m -,故m 是奇数,则有22|1(0,1,,1).i

m i n +=-

故1

2

22|(1)(1)

(1).n n

m m m

-+++又2|1,s m -所以22| 1.n

n s m +-

另一方面,若存在i 使得212,i

t m k k +=?是正奇数, 2.t ≥

则211222(21)i

t t m k k --=?-=?-,因为1

2

1t k -?-是奇数,所以22||(1).i

m -

而22|1,(1)|(1)i

s m m m ---,故22|(1)(1)i

s m s ->与22||(1)i

m -矛盾. 所以对0,1,2,

,1i n =-都有22||1(0,1,

,1).i

m i n +=-于是1

222||(1)(1)(1).n n m m m -+++

结合2|| 1.s

m -所以22||1(0,1,,1).i

n s m i n ++=-

2.(满分40分)证明：对每个素数,p 有无穷多个正整数,n 使得|2.n

p n - 证明：若2p =,取n 为正偶数即可.

若p 是奇素数,则(2,) 1.p =于是由Fermat 小定理知道1

2

1(mod ).p p -≡

若取的正整数n 满足(1)n s p =-,则21(mod ).n

p ≡为使得|2.n

p n -则正整数n 还需满足1(mod ).n p ≡ 即(1)1(mod ).n s p p =-≡所以取(1)(1)(1,2,)n kp p k =--=.

则(1)(1)

112122

(1)(1)(2)(1)110(mod )n

kp p p kp kp n kp p kp kp p p ------=---=---+≡-=.

所以有无穷多个正整数(1)(1)(1,2,)n kp p k =--=使得|2.n p n -

所以命题得证.

法2：若2p =,取n 为正偶数即可.

若p 是奇素数,取2

(1)(1),0,1,2,

k

n p p k =+-=,

2

(1)

(1)21(1)

(1)

2222(1)(1)(2)(1)(1)11(1)0(mod ).k

k

n p p k p p p k k n p p p p p +--+--=-+-=-+-≡--≡

3.(满分50分)证明：对于任意的正整数,k 1

2

0!

(!)

()!

k j j k j k -=+∏为整数. 证明：注意到!n 的素因数分解式为(,)

!,p n p n

n p

α≤=

∏其中p 是素数,1(,).

j j n p n p α∞

=??

=????∑

所以只需证明1

2

!

(!)

()!k j j k j k -=+∏对任意的素数p 的指数均为非负整数,即只要证明对于任意的素数的正整数次幂,P 有210.k j k j k j P P P -=???+?????≥-?? ??????

???????∑ 因为两边均为整数,所以只需证明210 1.k j k j k j P P P -=???+?

????>--?? ???

????????

??∑

即2211

100011k k k j j j k k j k j k j j k j k j P P P P P P P P P ---===???++??+?????????->--+-=---?????????? ? ?????????????

??∑∑∑ 注意到2

1

0,k j k k P P -==∑所以只需要证明21100 1.k k j j k j j k P P P --==??+????+<+??????????

??∑∑

然而,数0,1,

,1k -模P 的余数之和显然不大于数,1,,21k k k +-模P 的余数之和,

也即1

100k k j j j j k P P --==+????

.从而211001k k j j k j j k P P P --==??+????+<+????????????∑∑得证

对于任意的正整数,k 1

2

0!

(!)

()!

k j j k j k -=+∏为整数. 法2注意到!n 的素因数分解式为(,)

!,p n p n

n p

α≤=

∏其中p 是素数,1(,).

j j n p n p α∞

=??

=????∑

所以只需证明1

2

!

(!)

()!k j j k j k -=+∏对任意的素数p 的指数均为非负整数,即只要证明对于任意的素数p 有210.k i i i j k j k j p p p -=??

??????+≥- ????????

???????∑

设,,0.i

i

k t p s t N s p =?+∈≤<

(1)111

00i i i

i

r p p p i

i i i i i i j j j rp j k j j s j j s j t tp p p p p p p +---===??????????????????+++-=+-=+- ? ? ??????????????

?????????????????∑

∑∑ 1

10

+.i i

i p s p i i

i i i i j j p s j s j j s j tp tp s p p p p ---==-????????????++=+

--=+ ? ?????????????????????

∑

∑ 1111000i i

tp s s s s i

i i i i i i i i j j j j tp j k j j k j j s j j s j t sp p p p p p p p p +----====????????????????????????++++-=-=+-=+- ? ? ? ??????????????????

???????????????????????∑

∑∑∑ 1

0.s i

i j j s sp p -=??

+=+????

∑

于是1

1200.k s i i

i i i j j j k j j s t p st sp p p p --==????????++-=+++ ???????????????

∑∑

11

1002.i

i p s s s i i i i j j j p s j s j s j s s p p p p ----===-??????

+++=+=-??????

??????

∑∑∑ 所以1

22202(1)2(1)22k i i i i i i

i i j j k j t p st sp s p t p st sp s t p st s p p -=??????+-=+++-=-+++<-++ ???????????

∑

所以

1

20(1)22 1.k i

i i j j k j t p st s p p -=??????+-≤-++- ???????????

∑ 222222()22.i i i i i

i k t p stp s s t p st p p p ??????

++==++????????????

所以

22222222221(1)21(1)221i i i i i

i i i i

k s s s t p st t p st t p st p t p st s p p p p ????=++>++-=-+++-≥-++-???????? 所以210.k i i i j k j k j p p p -=??

??????+≥- ???????????????

∑

所以对于任意的正整数,k 1

2

!

(!)

()!k j j k j k -=+∏为整数. 4.(满分50分)以(,)S n p 表示(1)n

x +的展开式中不可被p 整除的系数的个数. 证明：2017

(2018

,2017)S 可被2018整除.

证明：设p 为素数,而2012110()k k k k p n n n p n p n p n n n n -=+?+?++=是n 的p 进制表达式.

引理：01(,)(1)(1)

(1).k S n p n n n =+++

若引理已证明,因为2017是素数,2017

2017

2017

20170

2018(12017)

2017.i

i i C ==+=?∑ 因为20172017|(1,2,

,2016)i

C i =,所以从第4项起,都可以被42017整除.

而前3项的和为12223

201720171201720171201710082017.C C +?+?=++?

2017234201812017100820172017M =++?+?

20171

1020172018()k k n n n n -=的01231,0,1,1008.n n n n ====

201701(2018,2017)(1)(1)(1).m S n n n =+++

其中03(1)(1)(11)(10081)2018.n n ++=+?+= 所以2017

(2018

,2017)S 可被2018整除.

下面证明引理,(1)n

x +的展开式中i x 的系数为,i n C 所以应该计算!

(0,1,

,)!()!

i

n n C i n i n i ==-中不可被p

整除的个数.

20121

10()k k k k p n n n p n p n p n n n n -=+?+?+

+=,20121

10()k k k k p i i i p i p i p i i i i -=+?+?++=

由Lucas 定理知道0101

(mod )k k

i

i i

i

n n n n C C C C p ≡,

所以01

1

0(mod )k

k

i i i n n

n C C C p =表示i n C 可被p 整除, 01

01

1,2,,1(mod )k k

i i i n n n C C C p p =-均表示不可被p 整除.

注意到!

(0)!()!

b

a a C

b a p b a b =

≤≤<-均不能被素数p 整除.

于是!

(0,1,,)!()!

i

n n C i n i n i =

=-中不可被p 整除等价于0011,,

,.k k i n i n i n ≤≤≤这个的i 的个数为

01(1)(1)(1)k n n n +++个.

所以01(,)(1)(1)(1).k S n p n n n =+++所以引理得证.

法2 我们证明,若p 是奇素数,((1),)p

S p p +可被1p +整除.

(1)(1)p

p x ++的展开式的每一项的系数为(1)(0,1,2,,(1)).p

m

p p C m p +=+

(1)(1)!.!((1))!

p

p m

p

p p C

m p m ++=+-考虑此式的分子分母中p 的幂次. 注意到3p ≥,ln ()p f p p

=

单调递减,所以1

(1).p p p p ++< 111(1)(1)((1)!),((1))!),(!).p p p

p p

p

p

p p p i i

i i i i p p m m V p V p m V m p p p ===??????++-+=+-==????????????

∑∑∑ 注意到(1)(1).p p i i

i p p m m p p p

++-=+ 所以

012211110122

()(1)i i i i p p i i p p i i p p p p p p p p p p p i i i i

C C p C p C p C p C p C p C C p C p p p p p p --------++++++++++==+

012211110122

()(1)i i i i p p i i p p i i p p p p p p p p p p p i i i i

C C p C p C p C p C p C p C C p C p p p p p p

--------++++++++++==+ 注意到!

!(!

k k

k p p C p p k p k =

-的p 的幂次为1.k p +

所以11(1).i i p p p p p i i C p C p p p p --++??+=????所以0122

(1)(1).i i p p p p p i i i

C C p C p p p p p p --++??++=+????

若m 模i

p 的余数超过0

122i i p p p C C p C p --++

,

高一竞赛数论专题 15.第三次考试题

(满分180分)

1.设k 为不等于1的整数,证明存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除

2.n

n C

2.是否存在正项数列{}n a 满足1(),n n a a d n +=+(其中()d n 表示n 的正因数的个数)且至少连续两项为完全平方数.

3.设,m n 为大于1的整数,用()n a a a n n ??=-????

表示(mod )a n 的最小非负剩余.

求120,,,1

max min ()m m

j

n k n

a a a j a

k ≤<=+∑,其中最大遍及所有的m 项整数数列.

高一竞赛数论专题 15.第三次考试题解答

(满分180分)

1.设k 为不等于1的整数,证明存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除

2.n

n C

证明：当1k >时,k 有素因子,p 取,m

n p k =-其中正整数m 足够大,使得0,n >这样的n 有无穷多个. 我们证明对这些n 有2,n

n

n k

C +即2.m n n p C 设素数p 在22(2)!

(!)n n

n C n =中出现的幂次为.α则1122.j j j j n n p p α∞∞

==????=-????????

∑∑

因为,m n p k =-所以1

22,m m n p p

+<≤所以1,j m ≥+20,0.j j n n p p ????

==????????

于是1122()22m m m

m j j j

j j j n n p k p k p p p p α==??????

??????--=-=- ? ?????????????????????

∑∑ 12222m

m j m j

j j j k k p p p p --=??????--=+-- ???????????∑122.m j j j k k p p =??????--=- ???????????

∑ 因为|,p k 所以220.k k p p ????---=????????

所以222m j j j k k p p α=??????--=- ?

??????????∑ 因为1

[2][][][][]12[] 1.2

x x x x x x =++≤++=+

所以[2]2[] 1.x x -≤于是2221.m

j j j k k m m p p α=??????--=-≤-< ???????????

∑所以2.m

n n p

C 当0k ≤时,因为素数有无穷多个,故可取奇素数2||,p k >令||,n p k =+这样的正整数n 有无穷多个. 我们证明对这些n 有2,n

n n k

C +即2.n n p C

设奇素数p 在22(2)!

(!)n

n

n C n =中出现的幂次为.α则1122.j j j j n n p p α∞∞

==????=-????????

∑∑

因为||,n p k =+所以2

222||3.n p k p p <+<≤所以2,j ≥20,0.j j n n p p ????

==?

???????

所以22(||)||2||||2||||222222n n p k p k k k k k p p p p p p p p α??????????????????

++=-=-=+--=- ??

???????????????????????????????

?? 因为2||,p k >所以2||||0,0.k k p p ????==?

???????于是2||||20.k k p p α????=-=????

????

所以2.n

n p C 于是我们证明了k 为不等于1的整数,存在无穷多个正整数,n 使得n k +不整除2.n

n C

2.是否存在正项数列{}n a 满足1(),n n a a d n +=+(其中()d n 表示n 的正因数的个数)且至少连续两项为完全平方数.

解：不存在这样的正项数列{}n a .

先证明()d n ≤

设12

1212(2,s

s s i n p p p p p p p αα

α

=≤<<

<都是素数,.i N α∈于是12()(1)(1)(1).s d n ααα=+++

于是只需证明312

1222

21212

123

94(1)(1)

(1)33()().43

s

s

s s s n p p p p p p p αααααααααα+++≤==

下面分别证明(1)

12119(1),4p αα≥+(2)2

2224(1),3

p αα≥+(3)2(1)(3,4,,).i i i p i s αα≥+=

先证明(1)

1

2119(1).4

p αα≥+ 因为

111992.44p αα≥?于是只需证明1219

2(1).4

αα?≥+ 下面用数学归纳法证明.

当1120,1,2ααα===时显然成立. 假设当1(2)k k α=≥时结论成立即292(1).4

k

k ?≥+ 当11k α=+时,

112999

222(2)2(1).444

k k k α+?=?=??≥+ 注意到2

2

2

2

2

2(1)(11)2(1)(2)20,k k k k k +-++=+-+=-> 所以

112221999

222(2)2(1)(11)(1).444

k k k k αα+?=?=??≥+>++=+ 所以当11k α=+结论成立. 所以

11

199244

p αα≥?成立.我们不难发现当且仅当112,2p α==时等号成立. 再证明(2)

2

2224(1).3

p αα≥+ 因为

222443.33p αα≥?于是只需证明2224

3(1).3

αα?≥+ 下面用数学归纳法证明. 当220,1αα==时显然成立. 假设当2(1)k k α=≥时结论成立即243(1).3

k

k ?≥+ 当21k α=+时,

212444

333(3)3(1).333

k k k α+?=?=??≥+ 注意到2

2

2

2

2

3(1)(11)3(1)(2)2210.k k k k k k +-++=+-+=+-> 所以

212222444

333(2)3(1)(11)(1).333

k k k k αα+?=?=??≥+>++=+

所以当21k α=+结论成立. 所以

22

244333

p αα≥?成立.我们不难发现当且仅当223,1p α==时等号成立. 最后证明(3)2

(1)(3,4,

,).i i i p i s α

α≥+=

因为3,i ≥所以 5.i p ≥于是只需证明2

5(1).i i α

α≥+ 下面用数学归纳法证明. 当0i α=时显然成立.

假设当(0)i k k α=≥时结论成立即2

5(1).k k ≥+

当1i k α=+时,12222225

55(5)5(1)4(1)(22)(2)(11)(1).i

k k i k k k k k αα+==≥+>+=+>+=++=+

所以当1i k α=+结论成立.

所以2

5(1)i i αα≥+成立.我们不难发现当且仅当0i α=时等号成立.

于是我们证明了()d n ≤

回到原题.

由1()n n a a d n +=+知道1(1)(2)(1).n a a d d d n =++++-

对于素数p 有() 2.d p =又(1) 1.d =

对于合数a 有() 2.d a ≥于是112(2)2 2.n a n n ≥++-=- 若存在连续两项为完全平方数设2

2

*

1,(,).n n a s a t s t N +==∈

1()1,n n a a d n +-=≥即221,t s -≥于是 1.t s ≥+所以 1.s t ≤-

22221()(1)211 1.n n d n a a t s t t t +=-=-≥--=-=≥

1.≥

于是1 1.≥≥>矛盾. 所以不存在这样的正项数列{}n a .

3.设,m n 为大于1的整数,用()n a a a n n ??=-????

表示(mod )a n 的最小非负剩余.

求120,,,1

max min

()m m

j

n k n

a a a j a

k ≤<=+∑,其中最大遍及所有的m 项整数数列.

解：不妨设0(1),j a n j m ≤<≤≤令121(,,

,)().m

k m j n j S a a a a k ==+∑

当0k =时,m 项整数数列为{()}j n a , 当1k =时,m 项整数数列为{(1)}j n a +,

当k t =时,m 项整数数列为{()}j n a t +,

当k m =时,m 项整数数列为{()}j n a m +, 如果120120min (,,

,)(,,,),k m m k n

S a a a S a a a ≤<<

则存在0t n <<使得1212(,,,)(,,

,)(0).t m k m S a a a S a a a k n ≤≤<

令(1),j j a a t j m '=+≤≤于是()(),(1)(1),(2)(2),

,j n j n j n j n j n j n a a t a a t a a t '''=++=+++=++

()(),(1)(),(2)(1),,j n j n j n j n j n j n a m t a m a m t a a m t a '''+-=++-+=+-+=+

()(1).j n j n a m a t '+=+- 于是我们有01

212(,,,)(,,,)(0).m

k m

S a a a S a a a k n ''''''≤≤< 这表明对遍及所有的m 项整数数列求

120,,,1

max min ()m m

j n k n

a a a j a k ≤<=+∑ 可以限定在满足

12012min (,,,)(,,,)k m m S a a a S a a a =的那些数列12,,,m a a a 上求解.

因为()j j n j a k a k a k n n +??

+=+-????,所以,(),j j j n j

j a k n a n k a k a k a n k +-≥-?+=?+<-?若若.

设j a i =的次数为.i μ所以121

1

()().m

m

k j

n j n n n k j j S a

k a mk n μμμ---===

+=+-++

+∑∑

当且仅当12(0)n n n k

mk

k n n

μμμ---+++≤≤<时1201211

min (,,

,)(,,

,).m

k m m j k n j S a a a S a a a a ≤<===∑

于是1111111

0121

1

1

1

111

(,,

,)()=(1)j

m

n n n n n n n m j i n i n i n i n i j i i i j i

i j i j i S a a a a i n i μμμμμ-----------============-==∑∑∑∑∑∑∑∑∑

因为12(0),n n n k

mk

k n n μμμ---+++≤≤<所以11

012111(,,,).j

n n m n i j i j mj S a a a n μ---===??

=≤????

∑∑∑

考虑函数m y x n =

及矩形,OABC 其中(1)(1)

(1,0),(1,),(0,).m n m n A n B n C n n

---- 由矩形的中心对称性知道1

12

((,)1)(1)(1).n j mj m n m n n -=??

--=--???

?∑

于是

1

11

((1)(1)(,)1).2n j mj m n m n n -=??=--+-????

∑ 所以1

01211

(,,

,)((1)(1)(,)1).2n m j mj S a a a m n m n n -=??≤=--+-????

∑

于是120,,,1

1

max min

()((1)(1)(,)1).2

m m

j n k n

a a a j a k m n m n ≤<=+≤

--+-∑ 选取(1),1,2,,.n i mi m i i n n n μ--????

=-=???

?????

则121(1)(0),k

n n n k i m i m i m k mk k n n n n n μμμ---=???-????????++

+=-=≤≤< ????????

???????∑ 于是此时1201211min (,,

,)(,,

,).m

k m m j k n

j S a a a S a a a a ≤<===∑

于是数列12,,

,m a a a 有(1),1,2,,n i mi m i i n n n μ--????

=-=????????

个.n i -

且121(1)(0),k

n n n k i m i m i m k k n n n n μμμ---=???-????????

++

+=-=≤< ?????????

??????∑ 于是1

1

0121111

(,,

,)((1)(1)(,)1).2j

n n m n i j i j mj S a a a m n m n n μ---===??===--+-????

∑∑∑

所以120,,,1

1

max min

()((1)(1)(,)1).2

m m

j n k n

a a a j a k m n m n ≤<=+=

--+-∑ 高一竞赛数论专题

1.整除

设,,0.a b Z a ∈≠如果存在,q Z ∈使得,b aq =那么就说b 可被a 整除(或a 整除b ),记做|.a b 且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数(也可称为除数、因数).b 不能被a 整除就记做a b . 整除关系的基本性质 (1)|,||.a b b c a c ?

(2)|,|a b a c ?对任意的,,x y Z ∈有|.a bx cy +

设12,a a 是两个不全为零的整数,如果1|d a 且2|,d a 那么d 就称为1a 和2a 的公约数,我们把1a 和2a 的公约数中的最大的称为1a 和2a 的最大公约数,记做12(,).a a 若12(,)1,a a =则称1a 和2a 是既约的,或是互素的.

设12,a a 是两个均不为零的整数,如果1|,a l 且2|,a l 那么l 就称为1a 和2a 的公倍数,我们把1a 和2a 的公倍数中的最小的称为1a 和2a 的最小公倍数,记做12[,].a a

1.设12,a a 是两个不全为零的整数,证明对任意整数q ,都有12121(,)(,).a a a a qa =+

2.设(,)1,a b =证明(1)若|,|a c b c 则|.ab c

(2)若|a bc 则|.a c

3.(Bezout 定理)设,a b 是不全为零的整数,证明(,)1a b =的充要条件是存在整数,x y 使得 1.ax by +=