线代一二章习题及答案
线代一二章习题及答案
第一讲 行列式
例1、下三角行列式
nn
nn n nn
nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a
22112211)12(1
2
1
1
11211222111)1(000000000=-=-----τ
对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积
例2、 求
x
x b x a x 1221102085413+----的4x 和3
x 的系
数.
解析：4
x 的系数是1；3
x 的系数是-10 例3、 求3阶行列式
7
541026
43--=(-3)A 11+4A 12+6A 13=(-3)M 11-4M 12+6m 3
=(-3)?(-5)-4?(-18)+6?(-10)=27.
例4、
1
010001001t
t t
t
解析： 原式=1 A 11+t A 1n =1+1
1)
1(-+-?n n t
t
=1+
n n t +-1)1(
例5、 求行列式 2
2
3500
702
2
2204
03--的第四行各元素的余子式的和. 解析： 所求为
4443424144434241A A A A M M M M +-+-=+++
原式=44434241
2235A A A A +-+
将原行列式换为1
1
1100
702
2
220403---即他的值就是原题的余子式之和
答案为-28（对第三行展开 323277M A =-)
例6、277184
97
5181005
49754102643=--==--
08题
a
a a a a a a a a A 200
1200
1200012000122222 =
. 证明|A |=(n+1)a n . 分析： 证明：初等变换
n a n n
a n a a a n
a n a
a a a
a a a a
a a a a a a a a a a )1()1(34232)1(0
100003
40000
2300001220
0120
003
400
230
000122001200
1200
230000122
22
22+=+??
=+→
→→
例7、
?=cA 答A c n
；
例 8、设4阶矩阵
B
A B A B A +====求,3,2),,,,(),,,,(321321γγγβγγγα
解：
40
,,,8,,,8,,,82,2,2,),
2,2,2,(321321321321321=+=+=+=++=+γγγβγγγαγγγβαγγγβαγγγβαB A B A
例9、 已知行列式 3
012311
1++++-+--z x y y x z z y x d c b a 的代数余子式
A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.
解析：思路：利用性质8
??
???===??????=+++--→
z y x z y x 0)1(339 （二）、典型例题 例1
①
2
222
2a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a a a a a ②x
x x x ++++111111111
1111
111
③a
a a a ++++4444333322221111
④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n 阶行列式. ②分析：
解：
4)
x 000
0000001114111
411141
1141114111
1
11111
11111113
+=+→
+++++++→
++++（所以值x x
x x x x
x
x x x x x x
x x x
①分析：与②同理 ④分析：类型一致
③分析：把下面三行分别加到第一行
例2
4
321532154215431
543254321
解：
1
005
10501500115
1
1
1
1
114
114114
11115
1
1
14114114114111
151
1
1
4
1141014110411105
432154321153215152154151543155432154
321532154215431543254321-------→-------→----→----→→所以值=15×125=1875
例3
4
3
2
111
1
1
11111111
1111x x x x ++++
解：
+=+++++=
=+++++++=
++++43214
314
32
4
3214321
4324
32140
1
001000100
010
1
00100100
010
000000000111011101
1101
111111*********
1
1
1
111111111
1111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
例4 证明
时）
当b a b a b
a b a b
a a
b b
a b b a a b b a n n n
i i i n ≠--==++++++=-∑(0
000000000110
分析：
证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式 再用归纳法证明之 也可以：
n
n n n a bD a b a b a b a bD b a a b b a b a b a bD b a a b b a b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+=
=+++=+++++++---11100000000
000000000000
000
0000000000000000000000000 时）
当另b a b
a b a D b
a
D b a b a D D D D n n n n n n n n n n ≠--=→-=-→???-????
?+=??+=++++--()(212b a 1a b 1
11
1
11-n 11-n n a n a
a
a a a a a a
a
b a )1(20
20000
020
2+=其值为时另当
第二讲 矩阵
例、
?
???? ??---=101111010A ,??
??? ??--=301521B .求 B AX =的解
??
?
?? ??---→????? ??-----=313315210010101301521101111010)(B A ????? ??---→????? ??---→211213100010001413415200010101 ??
??? ??---=211213X
2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足
????? ??--=????? ??-222111B ,????? ??=????? ??011011B ,????? ??=????? ??110110B .
解:建立矩阵方程
????? ??--=????? ??-102112012101111011B
????? ??---→????? ??---213110011120110011110011222110011111
????? ??--→????? ??-→011101110100010001033110011300110011
????? ??--=011101110T
B ??
??? ??--=011101110B
2008年考题: 03
=A ,时 证明： A E -可逆.
证
E A E A A E A E =-=++-3
2))((.所以A E -可逆 例1、设C B A ,,都是n 阶矩阵,满足CA A C AB E B +=+=,,则
C B -为
(A) E .(B) E -. (C)A . (D)A -. )(A (2005年数学四)
AB E B +=化为E B A E =-)( 即 B 与 )(A E - 互为逆矩
阵CA A C += 化为 A A E C =-)(, 用 B 右乘得 AB C = 例2、 设A 是3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行上得B ,将B 的
第1列的-1倍加到第2列上得 *
C .记
??
???
??=100011001P
AP P C A 1)(-= 1)(-=PAP C B AP P C C T =)( T PAP D =)( A
B ????? ??=100010011 ??
??? ??-=100010011B C
1
100010011100010011-=???
?? ??-????? ??=PAP A C
例3、 设A 是3阶可逆矩阵,交换A 的1,2行得B ,则
(A) 交换*A 的1,2行得到*B . (B) 交换*A 的1,2列得到*B . (C) 交换*A 的1,2行得到*-B . (D) 交换*A 的1,2列得到*-B . 2009题
设A 和B 都是2阶矩阵,2=A , 3=B .则 ()=?
???
??*
O B A O
???? ??**O A B O A 23)(???? ??**O A B O B 32)( ???? ??**O B A O C 23)(???? ??**O B A O D 32)( ( 2009年的考题)
解: 1-*=C C C 先求1-C
()???
???
?
??→???????
??=00100001100
0010
0100001000010
0001A O O B O B A O E C
???
?
??→--O A B O
E O O E 1
1
????
?
?=???? ?
?=----*
O A B O
O A B O O B A O C 111
1
???
?
??=???? ??=???? ??=*
*----O A B B A O
O A A B B B A O O A B O B A 111
1
例4、 设A 是n 阶非零实矩阵,满足 T
A A =*. 证明:
0)1(>A
)2(如果2>n 则1=A 解：条件T
A A =*
,即
,
)()(T ij T ij a A =
即
j
i ij ij a A ,,?=
（1）in in i i i i A a A a A a A ++=2211
02
2221≥+++=in i i a a a
又因为 0≠A , 即A 有非零元素，
则
02
221>+++=in ke k a a a A (2)
E A AA AA T ==* n A A =2 得12
=-n A 因为0>A
2-n 是正整数，得1=A
例5、 3阶矩阵B A ,满足E BA ABA +=*
*2,其中
??
???
??=100021012A ,求B .(04一)
解：E
BA ABA +=*
*
2E BA E A =-*
)2( A B E A A =-)2(
A
B E A A =-23
91
3112122
=?=-=
A E A B
例6 设3阶矩阵,
??
??? ??---=201011153A A XA XA A 21+=-,求X .
解： 1
1112)(----+=AA XAA A XA A
E X X A 21+=-A AX X 2+=
A X A E 2)(=-
??
?
??
??------=-4020222106101021152)2(A A E
?????
??----→????? ??------→0104242022100010021420262022120110021
????? ??---→01042424106100010001 得
??
???
??---=010********X 例7 设3阶矩阵,??
???
??---=111111111A
X A X A 21
+=-*
,求X . 解：
X A X A 21
+=-* AX E X A 2+=
E X A E =-)24(
1)24(--=A E X
4
110110112111111111=--=---=A
例8 4阶矩阵B A ,满足E BA ABA 31
1+=--,已知
??
?
????
??-=*
80000100301
0101A 求B . (00一)
解：
E BA ABA 31
1+=-- A B AB 3+=
E A B A B A 3+=* 8
3
==*A A
得2=A
E B A E 6)2(=-* 1)2(6-*-=A E B
例9 设B A ,是3阶矩阵,A 可逆,它们满足E B B A 421
-=-.
(1) 证明E A 2-可逆.
(2) 设
??
??? ??-=200021021B ,求A . (2002)
A 可逆解：E
B B A 421-=-即A AB B 42-= B A AB 24+= A B E A 4)2(=-
由A 可逆得E A 2-可逆
例10 设n 阶矩阵B A ,满足bB aA AB +=.其中0≠ab ,证明 (1)bE A -和aE B -都可逆. (2) A 可逆B ?可逆. (3)BA AB =
解：(1)令aE B D bE A C -=-=,
aE D B bE C A +=+=,
abE bD abE aC aE D bE C +++=++))((
abE bD aC abE bD aC CD 2++=+++
D C ab
E CD ,?=都可逆
或者直接把bE A -和aE B -相乘
abE bB aA AB +--
(2)aA B bE A =-)( (3)abE aE B bE A =--))((
E aE B ab bE A =--)()
( E ab bE A aE B =--)
()
(
abE bE A aE B =--))((
O bB aA BA =--
AB bB aA BA =+=
例11 设B A ,都是n 阶对称矩阵,AB E +可逆,证明
A A
B E 1
)(-+也是对称矩阵. 证：验证
A A
B E A AB E T 11)(])[(--+=+ T T T AB E A A AB E ])[(])[(11--+=+ 111)()(])[(---+=+=+=BA E A A B E A AB E A T T T
即要证明
)()()()(1
11BA E A AB E A A AB E BA E A ++=?+=+---
)()(BA E A A AB E +=+?