高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期期末考试数学文科试题

高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期期末考试数学（文科）试题

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。

第I 卷 （选择题 共60分）

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。) 1.已知集合，集合

，则

（ ）

A. B. C.

D.

2.已知复数,z a i a R =+∈，若2z =，则a 的值为（ ） 31±D. 3±

3.设函数()2log 2g x x m x =--，则“函数()g x 在()2,8上存在零点”是“()1,3m ∈”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ， B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若4CB BF =，则

AF BF

=（ ）

A. 53

B. 5

2

C. 3

D. 2 5.设1F ， 2F 分别为椭圆1C ： 221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ： 22

222222

1(0,0)

x y a b a b -=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ， 1290F MF ∠=?，若椭圆的离心率13

4

e =，则双曲线2C 的离心率2e 的值为（ ）

A.

92B. 322 C. 32 D. 54

6.已知函数()()2142,1{

1log ,1

a x a x f x x x -+-<=+≥，若()f

x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是

（ ）

A. (]1,2

B. (],2-∞

C. (]0,2

D. [)2,+∞ 7.已知()()()420

1

x

f x a x x x =-+

>+，若曲线()f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线()f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()3,3- B. ()2,2- C. ()3,2- D. ()

2,3- 8.执行如图所示的程序框图，输出的T ＝

A. 29

B. 44

C. 52

D. 62 9.已知等比数列满足，则的值为（ ）

A. 2

B. 4

C.

D. 6

10.定义行列式运算

1214233

4

a a a a a a a a =-，将函数()sin23

cos21

x f x x =

的图像向左平移6π个单位，以

下是所得函数图像的一个对称中心是（） A. ,04π??

???B. ,02π?? ??? C. ,03π?? ???D. ,012π??

???

11.在ABC ?中， P 是边BC 的中点， Q 是BP 的中点，若6

A π

∠=

，且ABC ?的面积为

1，则AP AQ ?的最小值为（ ） A. 23232 C. 13+ D. 3

12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A. B. C.

D.

第II 卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知实数,x y 满足10

{20 0

x y x y x -+≤+-≤≥，则2z x y =-的最大值为__________．

14.设函数

()()sin f x A x ω?=+（,,A ω?是常数， 0,0A ω>>）.若()f x 在区间,62ππ??

????上具有

单调性，且2236f f f πππ??????

==-

? ? ???????

，则()f x 的最小正周期为. 15.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以1S ， 3S ， 4S 为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________. 16.平面四边形

中，,沿直线将翻折成

，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积是

__________．

三、解答题(共6小题 ,共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)

17.（本小题满分10分）

已知△的内角

的对边分别为

，若

，且

，.

（1）求角； （2）求△

面积的最大值. 18. （本小题满分12分）

如图，设双曲线22

122:1(0,0)y x C a b a b

-=>>的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左端

点，已知1C 的离心率为

233，且ABF 的面积3

12

S =- （1）求双曲线1C 的方程；

（2）设抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与2C 相切于点P ，与2C 的准线相交于点

Q ，试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？若是，求出定点M 的坐标；若不

是，请说明理由.

19.（本小题满分12分）

已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-. （1）证明数列{}n a 是等比数列；

（2）设()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20. （本小题满分12分）

如图，椭圆2222:1(0)x y W a b a b

+=>>的离心率为3，其左顶点A 在圆22

:16O x y +=上.

（1）求椭圆W 的方程； （2）直线

AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为

Q .

（ⅰ）当82

||AP =

时，求直线AP 的斜率； （ⅱ）是否存在直线

AP ，使

||

3||

PQ AP =？若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分） 已知函数()2

1ln (0)2

f x x x a x a =

-+> . （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，求证： ()()1232ln2

4

f x f x --+>.

22. （本小题满分12分）

如图，在几何体

ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形， BE ⊥平面ABCD , //DF BE ,且

22,3DF BE EF ===.

（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD .

（2）若1

cos 5

BAD ∠=

，求几何体ABCDEF 的体积. 文科数学试题答案

1.C

2.D

3.B

4.A

5.B

6.A

7.A

8.A

9.B10.B11.A12.B 13.2 14.

15.5 16.

17.（1）

（2）

【解析】（1）由

可得

故

（2）由

，由余弦定理可得

， 由基本不等式可得，当且仅当

时，“=”成立

从而

，故

面积的最大值为.

18.（1）2

213

y x -=（2）以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点()0,2M . 【解析】（1）由已知

233

c a =，即23a c =，则2243a c =，即()

22243a a b =+，得3a b =， 2c b =，

又

()13

12c a b -=-，则()

2323b b b -=-1b =. 从而3a = 2c =，所以双曲线1C 的方程为2

213

y x -=. （2）由题设，抛物线2C 的方程为2

8x y =，准线方程为2y =-， 由218y x =

，得1'4y x =，设点2001,8P x x ?? ???

，则直线l 的方程为()20001184y x x x x -=-， 即2

001148y x x x =-，联立2y =-，得2

0016,22x Q x ??--

???

， 假设存在定点()0,M

m 满足题设条件，则0MP MQ ?=对任意点P 恒成立，

因为2001,8MP x x m ??

=- ???， 2

0016,22x MQ m x ??-=--

???

，则()22001612028x m x m -??-+-= ???，

即

()2

022808

m x m m -++-=对任意实数0x 恒成立， 所以()20

{

280

m m m -=+-=，即2m =，故以PQ 为直径的圆恒经过

y 轴上的定点()0,2M .

19.（1）数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列. （2） ()2323n n T n =-+ 【解析】（1）当1n =时， 11121a S a ==-，所以11a =， 当2n ≥时， ()()112121n n n n n a S S a a --=-=---， 所以12n n a a -=，

所以数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知， 12n n a -=， 所以()1212n n b n -=-， 所以()()22113252232212n n n T n n --=+?+?+

+-?+-? （1）

()()2121232232212n n n T n n -=?+?++-?+-?（2）

（1）（2）得：

(

)

()12112222212n n n T n --=+++

+--?

()1222

1221212

n n n --?=+?---

()3223n n =--， 所以()2323n n T n =-+.

20.（1）

221164

x y +=；（2）（ⅰ）1，1；（ⅱ）不存在直线AP ，使得||

3||PQ AP =． 【解析】（1）因为椭圆W 的左顶点

A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =，

c e a ==，所以c =，

所以2

2

2

4b a c =-=，所以W 的方程为

22

1164

x y +=. （2）（ⅰ）设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线AP 存在斜率，

设直线AP 的方程为(4)y k x =+，与椭圆方程联立得22

(4)1164

y k x x y =+??

?+

=??， 化简得到2

2

2

2

(14)3264160k x k x k +++-=，

因为4为上面方程的一个根，所以2

1232(4)14k x k -+-=+，

所以2

12

41614k x k

-=+，

由1||(4)|5

AP x =--=

，

代入得到||5

AP ==，解得1k =±，所以直线AP 的斜率为1，1.

（ⅱ）圆心到直线

AP

的距离为d =

|

|AQ ===

因为

||||||||

1||||||

PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-，

代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k

+==-==-+++， 显然，2

3

331k -

≠+，所以不存在直线AP

，使得||3||PQ AP =． 21.解析：（1）()21(0)a x x a

f x x a x x

-+=+'-=

>， ①若()21

,0,04

a x x a f x ≥-+'≥≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；

②若1

04

a <<

，解20x x a -+>，得0x <<，或x >，

解20x x a -+<，得

1122

x <<，

此时()f x 在??

上单调递减.

在? ??上单调递增，在?+∞????

上单调递增. 综上，当1

4

a ≥

时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，

当1

04a <<时， ()f x 在??上单调递减，在? ??上单调

递增，在?+∞????

上单调递增. （2）由（2）知1

04

a <<

时， ()f x 存在两个极值点12,x x ， 且12,x x 是方程20x x a -+=的两根，所以12121,x x x x a +=?=，所以

()()()()()2221211122212121212111ln ln ln 222

f x f x x x a x x x a x x x x x x x a x x +=

-++-+=+--++ 111ln ln 22

a a a a a a =--+=--， 令()()11

ln (0),ln 024g x x x x x g x x =--<<=<'，

所以()g x 在10,4?? ???上单调递减，所以()132ln2

44g x g --??>= ???

，

所以()()1232ln2

4

f x f x --+>

22.解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥

∵BE ⊥平面ABCD ∴BE AC ⊥

∴AC ⊥平面BEFD ∴平面ACF ⊥平面BEFD

（2）设AC 与BD 的交点为O ， (0)AB a a =>， 由（1）得AC ⊥平面BEFD ， ∵BE ⊥平面ABCD ∴BE BD ⊥， ∵//DF BE ，∴DF

BD ⊥，

∴()2

2

2

8BD EF DF BE =--=，∴BD =

∴()1

2BEFD S BE DF BD =

+?=四边形， ∵15cos BAD ∠=，∴222

28285

BD AB AD AB AD cos BAD a =+-??∠==

∴a =

∴2

2

2

3OA AB OB =-=，∴OA =

∴2

23ABCDEF A BEFD BEFD

V V S OA -==

?=四边形

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A

B =

（A ）{1}（B ）{1

2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是

（A ）(31)

-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，

（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8

（4）圆

22

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-

（B ）3

4-

（C ）3（D ）2

（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π

12个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π

12 (k ∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，

若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3

5，则sin 2α=

（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7

25

（10）从区间[]

0,1随机抽取2n 个数

1x ,

2

x ，…，

n

x ，

1

y ，

2

y ，…，

n

y ，构成n 个数对()11,x y ，

()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有

m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率

π的近似值为

（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n

（11）已知F1，F2是双曲线E 22

221x y a b

-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，

sin 211

3

MF F ∠=

,则E 的离心率为

（A

B ）

3

2

（C

D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=与()

y f x =图像的交点为

1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1

()m

i i i x y =+=∑

（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=

45，cos C=5

13

，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.

（3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[][]0.9=0lg99=1，.

（I ）求111101b b b ，，；

（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

1 2 3 4 ≥5 保费

0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数

1 2 3 4 ≥5

概率

0.30 0.15 0.20 0.20 0.10

0. 05

（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5

4，

EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=

（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:22

13

x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.

（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.

（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x

x 2f (x)x 2

-=

+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2

x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；

(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25.

（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ；

（II ）证明：当a,b ∈M 时，∣a+b ∣＜∣1+ab ∣。