第五章-定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念
设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入若干个分点
b x x x x a n n ==- 110把区间[]b a ,分成n 个小区间[]10,x x ，[]21,x x ，
，
[]n n x x ,1-，则各个小区间的长度依次为011x x x -=?，122x x x -=?， ，
1--=?n n n x x x ，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ（i i i x x ≤≤-ξ1），做函数值)(i f ξ与小区间长i x ?的乘积)(i f ξi x ?（n i ,,2,1 =）并作出和∑=?=n
i i i x f S 1)(ξ。记{}n x x x ???=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎
样划分，也不论i ξ怎样选取，只要当0→λ时，极限∑=→?n
i i
i x f 1
)(lim ξλ存在，则函数)(x f 在[]b a ,上可积，记为∑?=→?=n
i i
i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ。
其中[]b a ,称为积分区间，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。
（1）定积分的实质是和式极限，是一个确定的数值。它只与被积函数和积分区间有关，与积分变量无关。
（2）区间的划分和点的选取是任意的，但是在实际过程中经常“均分，端点取”
（3）函数)(x f 可积的充分条件：
①若函数)(x f 在[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。 ②若函数)(x f 在[]b a ,上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在 []b a ,上可积。
（4）函数)(x f 可积的必要条件：
若函数)(x f 在[]b a ,上可积，则函数)(x f 在[]b a ,上有界。 （5）定积分的几何意义：dx x f b
a ?)(表示由曲线)(x f y =，直线
a x =，
b x =以及x 轴所围成的面积的代数和。
备注：定积分的结果可正可负可为零。
例1：求极限????
??
-+
+-+
-∞→222
22
41
2411
41
lim n n n n n 例2：求极限??
? ??+++∞
→n n n n n n n sin 2sin 21sin 1lim
2 例3：求定积分dx x ?-1
21
例4：求定积分)())((a b dx x b a x b
a
?--
例5：设)(x f 连续且dx x f x x x f ?--=1
022)(13)(，求)(x f
5.2 定积分的性质 （1）dx x f dx x f a
b
b
a ??-=)()(
（2）0)(=?dx x f a
a
（3）[]dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a b
a ???±=±)()()()(
（4）dx x f k dx x kf b
a b
a ??=)()(
（5）dx x f dx x f dx x f b c
c a
b
a
???+=)()()(（c 也可以[]b a ,外）
备注：积分区间的可加性适用于被积函数中含有max ，min ，
，[]等符号以及被积函数为分段函数。
（6）a b dx b
a -=?（几何意义：由区间[]
b a ,的长为底，1)(≡x f 为 高矩形的面积）
（7）设b a ≤，)()(x g x f ≤（b a ≤），则dx x g dx x f b
a b
a
??≤)()(。
推论：①设b a ≤，0)(≥x f （b a ≤），则0)(≥?dx x f b
a
。
②设b a ≤，dx x f dx x f b
a
b
a
??≤)()(
（8）设b a ≤，M x f m ≤≤)(（b a ≤），则)()()(a b M dx x f a b m b
a -≤≤-?
（9）定积分中值定理：设函数
)(x f 在[]b a ,上连续，则存在
[]b a ,∈ε，使得)()()(εf a b dx x f b
a -=?。
备注：
dx x f a
b b
a ?-)(1称为函数)(x f 在[]
b a ,上的平均值。 例6：证明：01lim
1
02
=+?
∞→dx x
x n n
例7：估计下列定积分的值 （1）dx e x
x ?-0
22
（2）?+-1
3
2
4x
x dx
例
8：设dx x x x M ?-??
? ??++=4
/4/841tan ππ，()
d x x x x N ?-+++=4/4/28)1ln(sin ππ， ()
d x x
e x e x P x x ?
---+=4
/4
/8
cos cos tan
ππ，则有（）
（A ）M N P （B ）M P N （C ）P M N （D ）N M P 5.3 微积分基本公式 5.3.1 积分上限函数 设函数
)
(x f 在[]b a ,上连续，x 是[]b a ,上任意一点，则
dt t f x x a
?=)()(φ称为积分上限函数。
备注：dt t f x x
a
?=)()(φ的几何意义是由曲线)(x f y =，直线a x =，x
轴以及右侧直线可以移动的面积的代数和。 5.3.2 积分上限函数的性质
（1）若函数)(x f 在[]b a ,上可积，则dt t f x x
a ?=)()(φ在[]
b a ,上连续。 （2）若函数)(x f 在[]b a ,上连续，则dt t f x x
a ?=)()(φ在[]
b a ,上可导。
（3）微积分基本定理：
①[])()()(')(x x f dt t f dx d x a
???=?
②[][])()()()()('')()(x b x b f x a x a f dt t f dx
d x a x b -=? 备注：对积分上限函数求导时，如果被积函数中含有自变量
x ，则需先将自变量x 移到定积分符号外面来，能直接移到外
面来的就直接移，直接移不出来的利用换元积分法移出来。 （4）设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则dt t f x x
a ?=)()(φ是)(x f 在[]
b a ,上
的一个原函数。 5.3.3 牛顿-莱布尼茨公式
设函数)(x F 是连续函数)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，则 )()()()(a F b F x F dx x f b
a b
a
-==?
（1）牛顿-莱布尼茨公式架起了不定积分与定积分的桥梁。 （2）求定积分转化为求原函数在积分区间上的增量问题。 例9：求极限x
x dt
t x
x sin )11()1ln(lim
3
3
sin 0
2-++?
→
例10：试确定常数c b a ,,的值，使得)0()1ln(sin lim
3
≠=+-?→c c dt
t t x
ax x b x 例11：设??
?
??≤-≤≤=20,021,21
0,)( x x x x x x x f 或，求dt t f x x ?=0
)()(φ在),(+∞-∞内的表达式。
例12：设函数)(x g 连续且dt t g t x x f x
?-=02)()(2
1)(，求)('x f
例13：设dt t x tf x F x
?-=022)()(，求)('x F 例14：求下列定积分
（1）dx x ?-11 （2）?-3
2
4x
dx
例15：设函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，du u x f x u x F x
)()2()(0--=?。证明：（1）若)(x f 为偶函数，则)(x F 为x 的偶函数； （2）若)(x f 为单调减函数，则)(x F 为x 的单调增函数。 例16：设函数)(x f 连续，且20arctan 2
1)2(x dt t x tf x
=-?。已知1)1(=f ，
求dx x f ?2
1
)(
5.4 定积分的计算方法 5.4.1 换元积分法
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，且)(t x ?=满足： （1）b t a b a ≤≤==)(,)(,)(?β?α?
（2）)(t x ?=在[]βα,或[]αβ,上具有连续导数 则 []dt t t f dx x f b
a
)()()('??β
α
??=
备注：①利用换元积分法求定积分时，积分变量、被积表达式、积分上下限都需要发生变化（“三变”），最后的结果不需要进行回代；②积分上下限的变化原则是：上对上，下对下。
例17：求下列定积分 （1）dx x x
?-1
02
3
1（2）dx x
x
?
-1
4（3）dx x ?+40)tan 1ln(π
例18：设)(x f 连续，dx tx f t I t s
?
=0
)(，其中0,0 s t ，则I 的值（）
（A ）依赖于s 和t （B ）依赖于s ，t 和x （C ）依赖于t 和x ，不依赖s （D ）依赖s ，不依赖t
5.4.2 分部积分法
设函数)(),(x v x u 在[]b a ,具有连续导数，则du v uv udv b
a b
a b
a ??-=。 备注：定积分的分部积分法中的)(),(x v x u 的选择原则和不定积分的分部积分法中的)(),(x v x u 的选择原则相同。 例19：求下列定积分
（1）dx x x ?1
02
arctan （2）dx x x ?-+1
2
)2()
1ln(（3）dx x e e ?/1ln 例20：设dt t
t
x f x
?-=0sin )(π，求dx x f ?π0)( 例21：已知2
sin 0
π=?+∞
dx x x ，则=?∞
+dx x x
2
2sin 例22：设)(x f 在[]b a ,有二阶连续导数，0)()('==a f a f ，
证明：dx b x x f dx x f b a
b
a
??-=2'
'))((21)(
5.4.3 特殊定积分的计算公式（技巧） （1）设函数)(x f 在[]a a ,-上连续，则 ?????=??-为奇函数若为偶函数
若)(,
0)(,)(2)(0
x f x f dx x f dx x f a a
a
（2）设)(x f 是周期为T 的连续周期函数，则 R a dx x f dx x f T
T
a a ∈=??+,)()(0
N
n R a dx x f n dx x f T
nT
a a
∈∈=??+,,)()(0
备注：周期函数在它的任意长度为一个周期的积分区间内围成面积的代数和都相等。 （3）设函数)(x f 在[]1,0上连续，则 dx x f dx x f ??=20
2
0)(cos )(sin π
π
dx x f dx x xf ??=
π
π
π
)(sin 2)(sin
dx x f dx x f ??=20
)(sin 2)(sin π
π
（4）华里士公式 dx x dx x I n n
n ??==2020
cos sin π
π，21
--=
n n I n
n I ，20π=I ，11=I
例
23：设dt t e x F x x
t ?
+=π
2sin sin )(，则)(x F （）
（A ）为正常数（B ）为负常数（C ）恒为零（D ）不为常数 例24：求下列定积分 （1）()
dx x x x
?-+222
2
3
cos sin π
π（2）dx x ?
π
1000
8
sin （3）dx x ?+2
3
)
(tan 11π
（4）dx e
x x ?-+1
11cos （5）dx x
x
x ?+π
2cos 1sin 5.5 反常积分
5.5.1 无穷限的反常积分 （1）设函数
)
(x f 在[)+∞,a 上连续，若dx
x f b
a
b ?+∞→)(lim
存在，则
dx x f a
?
+∞
)(收敛；若dx x f b
a
b ?
+∞→)(lim
不存在，则dx x f a
?
+∞
)(发散。
（2）设函数)(x f 在(]b ,∞-上连续，若dx
x f b
a
a ?-∞→)(lim
存在，则
dx x f b
?
∞
-)(收敛；若dx x f b
a
a ?
-∞→)(lim
不存在，则dx x f b
?
∞
-)(发散。
（3）设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，dx x f dx x f dx x f a a
???+∞
∞-+∞
∞-+=)()()(，
只有当dx x f a
?∞-)(与dx x f a
?+∞
)(都存在时，则dx x f ?
+∞
∞
-)(收敛；反之则
dx x f ?
+∞
∞
-)(发散。
（4）?
??
??≤-=?∞
+1
1,11
1
p p p x dx p 发散， π
=?+∞
∞--dx e
x 2
dx e
x ?+∞
-0
2
例25：求下列定积分
（1）?+∞
++0
2
8
4x x dx
（2）?+∞
-++1
31x
x e e dx （3）dx x
x ?+∞
∞
-+2
1
5.5.2 无界函数的反常积分（瑕积分） （1）设函数
)(x f 在(]b a ,内连续，且在点a 的右领域内)(x f 无
界，对于任意给定的正数0 ξ，若dx x f b
a ?+→+
ξξ)(lim 0存在，则dx
x f b
a ?)(收敛，若dx x f
b a ?
+→+
ξξ)(lim 0不存在，则dx x f b
a ?)(发散。
（2）设函数)(x f 在[)b a ,内连续，且在点b 的左领域内)(x f 无
界，对于任意给定的正数0 ξ，若dx x f b a ?-→+
ξ
ξ)(lim
0存在，
则dx x f b
a
?)(收敛；若dx x f b a ?
-→+
ξ
ξ)(lim
0不存在，则dx x f b
a
?)(发散。
（3）设函数)(x f 在[]b a ,上连续（除点c 外），且在点c 的领域内
)(x f 无界，dx x f dx x f dx x f b
c
c
a
b
a
???+=)()()(，
只有当dx x f c
a
?)(与dx x f b
c
?)(都存在时，则dx x f b
a ?)(收敛；反之则dx x f b
a
?)(发散。
（4）???
??≥-=?1
1,11
11
p p p dx x p
发散， 备注：①常义积分中积分区间关于原点对称奇偶函数的积分性质是不能推广到广义积分中；②求定积分之前一定要分清是常义积分还是广义积分；③特别是无界函数的广义积分，一定要先找到瑕点，然后通过引入正数ξ使之成为常义积分，最后一定要求极限。 例26：求下列定积分 （1）dx x
x ?-14
21
sin 1π
（2）?-2/32/12
x
x dx
例27：下列运算正确的是（）
（A ）因为2
1x x +是奇函数，所以012
=+?+∞
∞
-dx x x
。 （B ）0
002tan arctan 21tan 2tan cos 1sec 1cos 10
022020
2=-==+=+=+???π
πππ
x x x d x dx x x dx （C ）设
?????=≠=0
,00
,1sin )(2
x x x
x x f ，因为)(x f 是奇函数，所以0)(11=?-dx x f （D ）2))1(1(1
1
1
1
12
-=---=-=--?x x dx 5.6 定积分的几何应用---（微元法） 5.6.1 平面图形的面积
（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积 5.6.2 旋转体的体积
例28：过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D 。求：（1）D 的面积；（2）求D 绕直线
e x =旋转一周所得旋转体的体积V
。
例29：求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方及
x 轴上方之间图形的面积。
例30：设曲线)0,0(2≥=x a ax y 与21x y -=交于点A ，过坐标原点
O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面图形。问a 为何值时，
该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？并求出最大体积。
第六章 定积分的应用
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤
第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21
第五章定积分及其应用
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
定积分在经济学中的应用
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
定积分的应用教案
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册
42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．
43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法
第十章 定积分的应用
第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ??
2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ?
(完整版)定积分在经济中的应用
定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
微积分李建平第五章+不定积分
第五章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数 在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念． 定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有 F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数． 例如在(1，+∞)内 , ［ln(x）］′ (1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2， 故ln(x ln(x） 的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C 由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个． 关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论． 定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有 F′（x)=f(x)． 这个结论告诉我们连续函数一定有原函数． 我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理： 定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式． 定理需要证明两个结论： (1) F(x)+C是f(x)的原函数； (2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．
定积分的应用
第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。
微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用
第六章定积分的应用
课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏 定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。 第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 曲边梯形设函数y f(x)在区间[a b]上非负、连续由直线x a、x b、y0及曲线y f (x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间[a b ]中任意插入若干个分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b 把[a b ]分成n 个小区间 [x 0 x 1] [x 1 x 2] [x 2 x 3] [x n 1 x n ] 它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 [x i 1 x i ]上任取一点 i 以[x i 1 x i ]为底、f ( i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲 边梯形(i 1 2 n ) 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即 A f ( 1)x 1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n ∑=?=n i i i x f 1 )(ξ 求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边 梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度 趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程 设物体作直线运动 已知速度v v (t )是时间间隔[T 1 T 2]上t 的连续函数 且v (t )0 计算在这段时间内物体所经过的路程S 求近似路程 第五章定积分 一、基本内容 (一)基本概念 1.定积分的定义: 设函数f (x)在［a, b］上有定义，任取分点a =Xo c Xj c X2 b b a f(x)dx = F(b)-F(a)=F(x) . 3. 定积分换元积分公式 设函数f(x)在［a,b ］上连续，函数x =^t)在区间［a ,P ］上单值且连续可导，其 值在［a,b ］上变化，且护(a ) =a,申(P ) =b ，则有 b P a f(x)dx =『 伴(t))?'(t)dt 在使用定积分换元公式时，要注意还原同时换积分限 4. 定积分的分部积分公式 设函数u =u(x),v =v(x)在［a,b ］上有连续导数uTx)V(x)，则 b b a u(X)dv(X)=u(X)v(X)|a (三) 广义积分 无穷区间上的广义积分 -be b 驭a f (x)dx. b lim f f (x)dx . c a ^I f g dx +J %! f (x)dx . 2 .无界函数的广义积分 (1) 设 f (x)在(a, b ］上连续，lim/(X)=处，贝 U X —j a 十 b b a f(x)dx =绞^+［七f(x)dx . ⑵设f(x)在［a,b)上连续，lim f(x)=处，贝U X —j b — b b 一名 ［f(x)dx = linn a f (x)dx . (3) 设 f (x)在［a,c)和(c,b ］上连续，lim f (x)=处，则 X T b C b ［f(x)dx = ［ f(x)dx+.C f(x)dx c Y b =lim.f f (x)dx + lim.f , f (x)dx . 二、练习题 5. 1计算下列定积分： 丑 1 ⑴為一dx. 三1 + COSX ⑴［f (x)dx=b b (2) J f(x)dx = a 二 -be ⑶ Lcf(x)dx = b - a v(x)du(x). 1 §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)， 第五章定积分综合练习题 一、填空： 1、函数)(x f 在],[b a 上有界是 )(x f 在],[b a 上可积的 条件，而) (x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 条件； 2、由定积分的几何意义，则 ? -1 21dx x = ； 3、设 ,18)(31 1 =? -dx x f ,4)(3 1 =?-dx x f 则=?3 1 )(dx x f ； 4、正弦曲线 x y sin =在 ],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积 是 ； 5、某汽车开始刹车，其运动规律为,510)(t t v -=问从刹车开始到停车，汽车驶过的距离是 ； 6、?=x tdt y 02sin ，则4 π= 'x y = ； 7、估计定积分? +4 /54 /2)sin 1(ππdx x 的值的范围是： ； 8、比较下列两个积分值的大小：? 2 1 ln xdx ?2 1 2)(ln dx x ； 9、)(x f ''在],[b a 上连续，则=''? b a dx x f x )( ； 10、无穷积分? +∞ 1 dx x p 收敛，则p 的取值范围是 . 二、计算下列各导数. 1、 ?+2 211x x dt t dx d 2、?? ???==??t t udu y udu x 00sin cos ，求dx dy . 三、计算下列各定积分. 1、 dx x x )1(2 1 +? 2、dx x ?+3 31211 3、dx x ?--2121211 4、 dx x ? 40 2 tan π 5、dx x x x ?-+++0 122 41133 6、dx x ?π20sin 四、求极限 2 )sin(0 2lim x tdt x x ?→. 五、用换元积分法求下列定积分： 1、?-+1 12 ) 511(1 dx x 2、?2 /6 /2 cos ππ udu 3、?+2 1 ln 1e x x dx 4、 ? -π θθ0 3 )sin 1(d 5、? -2 2 2dx x 6、? +41 1x dx 六、用分部积分法求下列定积分： 1、 ? e xdx x 1 ln 2、? 2 /30 arcsin xdx 3、?-1 dt te t 七、求定积分 ?10 dx e x 八、求定积分 ?2 /0 cos πxdx e x 九、求定积分 ? π 3cos 2sin xdx x . 十、求定积分 ? 4 /0 4tan πxdx . 十一、设 ,0 ,0,1)(2???≥<+=-x e x x x f x 求?-2 )1(dx x f . 十二证明：若函数)(x f 在],[a a -上连续，则?-=--a a dx x f x f 0)]()([. 十三证明：??+=+1 1 12211x x t dt t dt . 十四、判定无穷积分 ? +∞ 1 41 dx x 的收敛性，如果收敛，计算其值. 第五章 定积分 Chapter 5 Definite Integrals 5.1 定积分的概念和性质（Concept of Definite Integral and its Properties ） 一、定积分问题举例（Examples of Definite Integral ） 设在()y f x =区间[],a b 上非负、连续，由x a =，x b =，0y =以及曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。 Let ()f x be continuous and nonnegative on the closed interval [],a b . Then the region bounded by the graph of ()f x , the x -axis, the vertical lines x a =, and x b = is called the trapezoid with curved edge. 黎曼和的定义（Definition of Riemann Sum ） 设()f x 是定义在闭区间[],a b 上的函数，?是[],a b 的任意一个分割， 011n n a x x x x b -=<<<<=L ， 其中i x ?是第i 个小区间的长度，i c 是第i 个小区间的任意一点，那么和 ()1 n i i i f c x =?∑，1i i i x c x -≤≤ 称为黎曼和。 Let ()f x be defined on the closed interval [],a b , and let ? be an arbitrary partition of [],a b ,011n n a x x x x b -=<<<<=L , where i x ? is the width of the i th subinterval. If i c is any point in the i th subinterval, then the sum ()1 n i i i f c x =?∑，1i i i x c x -≤≤, Is called a Riemann sum for the partition ?. 二、定积分的定义（Definition of Definite Integral ） 定义 定积分（Definite Integral ） 设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 中任意插入若干个分点 011n n a x x x x b -=<<<<=L ，把区间[],a b 分成n 个小区间： [][][]01121,,,,,,,n n x x x x x x -L 各个小区间的长度依次为110x x x ?=-，221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。在每个小区定积分在生活中的应用
同济版高等数学教案第五章定积分
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10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积
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